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1、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $B D$ 上一点，且满足 $B E = B C$ ，连接 $C E$ 并延长交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ，过 $B$ 点作 $B G ⊥ A E$ 于点 $G$ ，延长 $B G$ 交 $A D$ 于点 $H$ ．在下列结论中：① $A H = F D$ ；② $S_{△ A E O} = S_{△ A E F}$ ；③ $A E$ 垂直平分 $P H$ ；④ $D C = (\sqrt{2} + 1) D F$ ，其中正确的结论有(填正确的序号)．

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = 50 °$ ，那么 $∠ A$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $135 °$ C、 $50 °$ D、 $130 °$

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3、已知，在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上，点 $D$ 在 $C B$ 的延长线上，且 $D E = C E$ ．

(1)、【特殊情况，探索结论】
如图1，当点 $E$ 为 $A B$ 的中点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你直接写出结论： $A E$ ______ $D B$ （填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、【特例启发，解决问题】
如图2，若点 $E$ 为 $A B$ 上任意一点，过 $E$ 作 $E F ∥ B C$ 交 $A C$ 于 $F$ ，求证： $A E = D B$ ；

(3)、【拓展结论，设计新题】
如图3，若点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上，若 $△ A B C$ 的边长为 $2$ ， $A E = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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4、经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”．

(1)、如图①，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 36 °$ ，平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ．求证： $△ A B C$ 是“黄金三角形”．

(2)、如图②，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，求证： $△ A B C$ 是“黄金三角形”．

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5、完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解： $∵ a + b = 3$ ，
$∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ，即 $a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ，
又 $∵ a b = 1$ ，
$∴ a^{2} + b^{2} = 7$ ．
根据上面的解题思路与方法；解决下列问题：

(1)、若 $x - y = 7$ ， $x^{2} + y^{2} = 31$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ ， $B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 10$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 80$ ，求图中阴影部分面积．

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6、如图，已知 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 均是等边三角形，点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一条直线上， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A E$ 与 $C D$ 交于点 $G$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，连接 $O C$ 、 $F G$ ，则下列结论：① $A E = B D$ ；② $C F = C G$ ；③ $F G ∥ B E$ ；④点 $O$ 为 $A E$ 的中点，⑤ $∠ A O B = 60 °$ ，其中正确的有．（填写序号）

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7、如图，在 $△ M P N$ 中， $H$ 是高 $M Q$ 和 $N R$ 的交点，且 $P M = H N$ ，若 $M H = 3$ ， $P Q = 4$ ，则 $Q N$ 的长为．

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8、一个零件的形状如图，按规定 $∠ A = 90 °$ ， $∠ B = ∠ D = 26 °$ ，判断这个零件是否合格，只要检验 $∠ B C D$ 的度数就可以了．量得 $∠ B C D = 140 °$ ，这个零件（填“合格”或“不合格”）．

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9、在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板 $G E F$ 的顶点 $G$ 放置在直线 $A B$ 上，旋转三角板 $(∠ F = 90 °)$ ．

(1)、如图1，在 $G E$ 边上任取一点 $P$ （不同于点 $G$ ， $E$ ），过点 $P$ 作 $C D ∥ A B$ ，若 $∠ 2 = 110 °$ ，求 $∠ 1$ 的度数；

(2)、如图2，过点 $E$ 作 $C D ∥ A B$ ，请探索并说明 $∠ A G F$ 与 $∠ C E F$ 之间的数量关系；

(3)、将三角板绕顶点 $G$ 转动，过点 $E$ 作 $C D ∥ A B$ ，并保持点 $E$ 在直线 $A B$ 的上方，在旋转过程中，探索 $∠ A G F$ 与 $∠ C E F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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10、按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形 $A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D, E$ 是 $A C$ 上一点，且 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ．请说明： $D E ∥ B C$ ．
解： $∵ C D ⊥ A B$ （已知）， $∴ ∠ A D C =$ _____（_____）． $∴ ∠ 1 +$ _____ $= 90 °$ ．
$∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ （已知）， $∴ ∠ 2 =$ _____（_____）． $∴ D E ∥ B C$ （_____）．

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11、下列命题中假命题是（）

A、平移不改变图形的形状和大小 B、负数的平方根是负数 C、对顶角相等 D、在同一平面内，若 $a ∥ b, a ⊥ c$ ，则 $b ⊥ c$

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12、下面是小明同学解不等式 $\frac{2 x - 1}{3} > \frac{3 x - 2}{2} - 1$ 的过程，请阅读并完成相应任务．
解∶去分母得∶ $2 (2 x - 1) > 3 (3 x - 2) - 6$ ， ……第一步
去括号得∶ $4 x - 2 > 9 x - 6 - 6$ ， ……第二步
移项得∶ $4 x - 9 x > - 6 - 6 + 2$ ， ……第三步
合并得∶ $- 5 x > - 10$ ， ……第四步
系数化为1得： $x > 2$ …第五步
任务一：以上解题过程中，第步开始出现错误，这一步错误的原因是．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集：．
任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式： $\frac{x - 2}{5} - \frac{x + 1}{2} > 1$

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13、若一个数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 $10 = 1^{2} + 3^{2}$ ，所以10是“完美数”，再如： $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“完美数”．

(1)、通过计算判断45是否为“完美数”；

(2)、已知 $S = 4 x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的 $k$ 的值．

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14、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + 4$ 与正比例函数 $y = 3 x$ 交于点 $A (1, m)$ ．

(1)、求m和k的值．

(2)、若点 $B (3, n)$ 在直线 $y = k x + 4$ 上，连接 $O B$ ，求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、结合图象，直接写出关于 $x$ 的不等式 $k x + 4 < 3 x$ 的解集．

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15、解不等式： $3 x - 1 \geq 2 (x + 2)$ ，并把解集表示在数轴上；

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16、如图， $△ A B C$ 的面积为16， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 边于点 $E$ ， $F$ ，若点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，点 $P$ 为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ P C D$ 周长的最小值为．

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17、把多项式 $2 x^{2} + 4 x y$ 分解因式，应提取的公因式是．

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18、如图，已知等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 40 °$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交腰 $A C$ 于点 $E$ ，则 $∠ A B E$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $40 °$ C、 $30 °$ D、 $20 °$

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19、下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $8 a^{2} b^{3} c = 2 a^{2} \cdot 2 b^{3} \cdot 2 c$ B、 $x^{2} y + x y^{2} + x y = x y (x + y)$ C、 $3 a + 1 = a (3 + \frac{1}{a})$ D、 $3 x^{3} + 27 x = 3 x (x^{2} + 9)$

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20、
在平面内，对于 $∠ P$ 和 $∠ Q$ ，给出如下定义：若存在一个常数 $t (t ＞ 0)$ ，使得 $∠ P + t ∠ Q = 180 °$ ，则称 $∠ Q$ 是 $∠ P$ 的“ $t$ 系数补角”．例如， $∠ P = 80 °$ ， $∠ Q = 20 °$ ，有 $∠ P + 5 ∠ Q = 180 °$ ，则 $∠ Q$ 是 $∠ P$ 的“ $5$ 系数补角”．
【概念理解】
（1）若 $∠ P = 90 °$ ，在 $∠ 1 = 60 °$ ， $∠ 2 = 45 °$ ， $∠ 3 = 30 °$ 中， $∠ P$ 的“ $3$ 系数补角”是；
【初步认识】
（2）在平面内， $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 为直线 $A B$ 上一点，点 $F$ 为直线 $C D$ 上一点．如图1，点 $G$ 为平面内一点，连接 $G E$ ， $G F$ ， $∠ D F G = 50 °$ ，若 $∠ B E G$ 是 $∠ E G F$ 的“ $6$ 系数补角”，求 $∠ B E G$ 的大小．
【问题解决】
（3）连接 $E F$ ．点 $M$ 、 $N$ 为直线 $A B$ 与直线 $C D$ 间的动点（点 $M$ 、 $N$ 不在直线 $E F$ 上）， $∠ A E N = \frac{1}{3} ∠ A E M$ ， $∠ C F N = \frac{1}{3} ∠ C F M$ ． $∠ E M F$ 是 $∠ E N F$ 的“ $2$ 系数补角”，此时 $∠ E N F$ 的度数？

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