相关试卷

1、我们把圆心在三角形的一边上，且与其他两边都相切的圆叫做这个三角形的“边切圆”，其圆心叫做这个三角形该边上的“边心”，如图1，圆心 $O$ 是 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上的“边心”．

(1)、请你判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）．
①任何一个三角形都有三个“边切圆”；_____
②“边心”一定在三角形边的垂直平分线上；_____
③若三角形的一个“边切圆”的圆心与外接圆圆心重合，则该三角形是等腰直角三角形．_____

(2)、如图2， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $O$ 在 $B C$ 边上，且 $\frac{O B}{O C} = \frac{A B}{A C}$ ，以 $O$ 为圆心， $O C$ 为半径画圆，求证： $⊙ O$ 是 $Rt △ A B C$ 的“边切圆”；

(3)、如图3， $O$ 是 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上的“边心”， $⊙ O$ 与 $A B$ ， $A C$ 边的切点为 $F, E, E F$ 与 $A O$ 交于点 $I, I$ 恰好是 $△ A B C$ 的内切圆圆心．
①求证： $∠ B I C = ∠ B F I$ ；
②令 $⊙ O$ 的半径为 $R$ ， $△ A B C$ 的内切圆半径为 $r$ ，试用含 $R$ ， $r$ 的式子表示 $B F \cdot E C$ 的值．

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2、平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2 (a, b$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 2, 2)$ ．

(1)、求该二次函数图象的顶点坐标（用含 $a$ 的式子表示）；

(2)、若平面内一点 $P (1, y_{0})$ ，将 $P$ 点向左平移 $3 k (k > 0)$ 个单位长度，或者将 $P$ 点向右平移 $k (k > 0)$ 个单位长度，或者将 $P$ 点向上平移 $2 k (k > 0)$ 个单位长度，平移后的三个对应点都在二次函数图象上，试求 $k$ 和 $y_{0}$ 的值；

(3)、当 $- 2 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 的最大值为 $m$ ， $y$ 的最小值为 $n$ ，令 $\frac{1}{s} = \frac{a}{m} - \frac{a}{n}$ ，若 $m \cdot n < 0$ ，试求 $s$ 的取值范围．

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 边上， $A D = 2$ ， $A E = 1, E F = 2, D F = 3$ ．

(1)、判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由；

(2)、求线段 $C F$ 的长．

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4、时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买

A, B

两种型号的机器人模型．

根据以下素材，探索解决任务：

机器人模型购买方案设计
素材1	$A$ 型机器人模型单价比 $B$ 型机器人模型单价多200元
素材2	用2000元购买 $A$ 型机器人模型和用1200元购买 $B$ 型机器人模型的数量相同
素材3	学校准备购买 $A$ 型和 $B$ 型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元
问题解决
任务1	确定模型单价	A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
任务2	拟定购买方案	若要 $A$ 型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案．

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5、如图，点 $E$ ， $F$ 在 $B C$ 上， $B E = C F, A B = D C, ∠ B = ∠ C$ ．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ D C E$ ；

(2)、连接 $A E$ ，若 $∠ A F B = 40 °$ ， $∠ D = 60 °$ ， $A B = A E$ ，求 $∠ A E D$ 的度数．

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6、为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示会，现有五个项目：A．美丽镶嵌，B．七彩勾股树，C．数独，D．调查活动，E．数学史．为了解学生最喜爱的项目（每人只能选一个项目），现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)、这次学校共抽取了_____名学生进行调查；图2中D选项所对应的圆心角度数为_____；请补齐条形统计图；

(2)、为了解学生对数学史的认识，对被抽取的一部分学生进行测试，所得成绩分别为80，74，75，76，76，79，则这组数据的中位数是_____；众数是_____；

(3)、若参加成果展示会的学生共有640人，请你估计其中最喜爱“数独”项目的学生人数．

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7、如图，一艘小船从 $A$ 处出发向正北方向航行，在 $A$ 处测得灯塔 $C$ 在北偏东 $30 °$ 方向，航行2小时后到达 $B$ 处，测得灯塔 $C$ 在南偏东 $45 °$ 方向， $A$ 处与灯塔 $C$ 的距离 $A C$ 为40海里，求小船航行的平均速度（结果保留根号）．

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8、先化简，再求值： ${(x + 2)}^{2} - (x + 2) (x - 2) + (6 x^{2} + 3 x) \div x$ ，其中 $x = - \frac{1}{2} .$

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9、计算： $\sqrt{8} - 2 cos 45 ° + {(3.14 - π)}^{0} + {(- 1)}^{2025}$ ．

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10、如图， $P$ 是直线 $l$ 外一点，按以下步骤作图：
①以点 $P$ 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 $l$ 于点 $B$ ， $D$ ；
②分别以点 $B$ 、点 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $E$ ；
③作直线 $P E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ．
若 $B F = 2$ ， $P E = 6$ ，则四边形 $P B E D$ 的面积为．

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11、《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，求李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客？设该店有客房 $x$ 间，则根据题意可列出关于 $x$ 的一元一次方程为： $7 x + 7 =$ ．

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12、已知一次函数 $y = m x + n$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的方程 $m x + n = 0$ 的解为 $x =$ ．

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13、 $2025$ 年 $3$ 月 $12$ 日是我国第 $47$ 个植树节，某林业部门为了研究某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
移植的棵数 $n$
$200$
$500$
$800$
$2000$
$12000$
成活的棵数 $m$
$187$
$446$
$730$
$1790$
$10836$
成活的频率 $\frac{m}{n}$
$0.935$
$0.892$
$0.913$
$0.895$
$0.903$
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是．（结果精确到 $0.1$ ）

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14、甲、乙、丙、丁四位同学参加盲猜对位游戏，游戏规则是：箱内箱外各有颜色为红、绿、黑、蓝的 $4$ 个瓶子．由玩家对调箱外瓶子的顺序，主持人会提示几个瓶子的颜色与箱内瓶子颜色对上．以下是四位同学从左到右的摆放颜色顺序：
甲：黑、绿、红、蓝，主持人提示：对 $1$ 个；
乙：红、绿、黑、蓝，主持人提示：对 $0$ 个；
丙：蓝、绿、红、黑，主持人提示：对 $0$ 个；
丁：黑、蓝、绿、红，主持人提示：对 $1$ 个．
假设箱内四个瓶子的序号从左至右依次是①②③④，则根据以上信息，下列关于箱内四个瓶子的推断正确的是（）

A、②号瓶子的颜色可能是黑色 B、③号瓶子一定是蓝色 C、②号瓶子的颜色一定不是红色 D、绿色瓶子在黑色瓶子的左边

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15、甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（）
甲
乙
丙
丁
平均数
$\begin{array}{l} 90 \end{array}$
$\begin{array}{l} 90 \end{array}$
$\begin{array}{l} 85 \end{array}$
$\begin{array}{l} 85 \end{array}$
方差
$\begin{array}{l} 4.2 \end{array}$
$\begin{array}{l} 5.4 \end{array}$
$\begin{array}{l} 4.2 \end{array}$
$\begin{array}{l} 5.9 \end{array}$

A、甲 B、 $乙$ C、丙 D、丁

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16、关于反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、图象分布在第一、三象限 B、在各自的象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、函数图象关于 $y$ 轴对称 D、图象经过 $(- 1 ， - 3)$

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17、如图，直线 $l ∥ m$ ，直角三角板 $A B C$ 的直角顶点 $C$ 在直线 $m$ 上，直线 $l$ 经过顶点 $B$ ，且与 $A C$ 边交于点 $D$ ．若 $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ 1 = 65 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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18、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 6 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A、 $- 36$ B、36 C、 $- 9$ D、9

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19、下列分式变形正确的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x}{y}$ B、 $\frac{x - 2}{y - 2} = \frac{x}{y}$ C、 $\frac{- 1 + y}{3} = - \frac{1 + y}{3}$ D、 $\frac{1 + y}{x y} = \frac{x + x y}{x^{2} y}$

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20、如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、四棱柱 B、三棱柱 C、圆锥 D、圆柱

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移植的棵数 $n$	$200$	$500$	$800$	$2000$	$12000$
成活的棵数 $m$	$187$	$446$	$730$	$1790$	$10836$
成活的频率 $\frac{m}{n}$	$0.935$	$0.892$	$0.913$	$0.895$	$0.903$

	甲	乙	丙	丁
平均数	$\begin{array}{l} 90 \end{array}$	$\begin{array}{l} 90 \end{array}$	$\begin{array}{l} 85 \end{array}$	$\begin{array}{l} 85 \end{array}$
方差	$\begin{array}{l} 4.2 \end{array}$	$\begin{array}{l} 5.4 \end{array}$	$\begin{array}{l} 4.2 \end{array}$	$\begin{array}{l} 5.9 \end{array}$