相关试卷

1、如图1，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，延长 $A B$ 至点E，使得 $B E = A B$ ，连接 $B D$ 和 $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $B E C D$ 是平行四边形．

(2)、如图2，将 $△ C B E$ 沿直线 $B C$ 翻折点E刚好落在线段 $A D$ 的中点F处，延长 $C F$ 与 $B A$ 的延长线相交于点H，并且 $C F$ 和 $B D$ 交于点G，试求线段 $C H 、 F G 、 G B$ 之间的数量关系．

(3)、如图3，将 $△ C B E$ 沿直线 $B C$ 翻折，点E刚好落在线段 $A D$ 上的点F处，若 $A D = 6$ ， $D C = 3$ ，且 $F D = 2 F A$ ，求 $S_{△ D F C}$ 的面积．

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2、2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买 $A 、 B$ 两种机器人进行销售．已知每个 $B$ 种机器人比 $A$ 种机器人贵5万元，用1200万元购进 $A$ 种机器人的数量是用650万元购进 $B$ 种机器人数量的2倍．

(1)、求购买一个 $A$ 种机器人、一个 $B$ 种机器人各需多少万元？

(2)、一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批 $A$ 、 $B$ 两种机器人共100个，且 $A$ 种机器人数量不超过 $B$ 种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当 $A$ 种机器人提价 $15 % ， B$ 种机器售价为购买价的 $\frac{6}{5}$ 倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．

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3、如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式 $x^{2} + 2 x - 3.$
原式 $= (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1) .$
例如：求代数式 $x^{2} + 4 x + 6$ 的最小值．
原式 $= x^{2} + 4 x + 4 + 2 = {(x + 2)}^{2} + 2. ∵ {(x + 2)}^{2} \geq 0$ ， $∴$ 当 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 4 x + 6$ 有最小值，最小值是 $2.$
根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $m^{2} - 4 m - 5 =$ ______求代数式 $x^{2} - 6 x + 12$ 的最小值为______；

(2)、若 $y = - x^{2} + 2 x - 3$ ，当 $x =$ ______时，y有最______值 $($ 填“大”或“小” $)$ ，这个值是______；

(3)、当a，b，c分别为 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6 a - 10 b - 6 c + 43 = 0$ 时，求 $△ A B C$ 的周长．

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4、如图，等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、在线段 $A C$ 上求作点D，使得点D到 $A B$ 和 $B C$ 的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）所作的图形中，连接 $B D$ ，若 $A D = B D$ ，求 $∠ A$ 的度数．

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5、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．

(1)、画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A₁B₁C₁；

(2)、将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A₂B₂C₂ ，请画出△A₂B₂C₂ ．

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6、先化简，再求值： $(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 1}$ ，其中 $a = - 2.$

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7、解不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 \leq 2 x ① \\ x - 1 < \frac{1 + x}{3} ② \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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8、如图，将等边三角形 $A B C$ 沿射线BC向右平移一定的距离得到 $△ D E F .$ 若 $A B = 2$ ， $E C = 2 B E$ ，则图中阴影部分的面积为．

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9、关于x的分式方程 $\frac{2 x}{x - 3} = \frac{m x + 3}{3 - x}$ 无解，则m的值为（）

A、3 B、2 C、 $- 3$ 或 $- 2$ D、 $- 2$

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10、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 1 < 8 \\ x < m + 2 \end{array}$ 的解集为 $x < 3$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 3$ B、 $m \leq 3$ C、 $m \geq 1$ D、 $m \leq 1$

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11、用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 $45 °$ ”时，应先假设（）

A、有一个锐角小于 $45 °$ B、每一个锐角都小于 $45 °$ C、有一个锐角大于 $45 °$ D、每一个锐角都大于 $45 °$

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12、下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）

A、 $m (x + y) = m x + m y$ B、 $x^{2} + 16 x + 64 = {(x + 8)}^{2}$ C、 $x^{2} + y^{2} - 36 = x^{2} + (y + 6) (y - 6)$ D、 $a y + b y + c = y (a + b) + c$

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13、【综合与实践】
【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形 $A B C$ ，其中 $∠ A C B = 90 °, A C = B C$ ．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关．
【任务一】
（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线 $D E$ ，这条直线恰好经过点C．他测量发现， $A D ⊥ D E, B E ⊥ D E$ ．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明： $A D = C E$ ，且 $C D = B E$ ．则可通过求 $△ A C D ≌ △ C B E$ 即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程；
【任务二】（2）如图2，小明使用他的 $G P S$ 设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为 $(0, 2)$ ，点C的坐标为 $(1, 0)$ ．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标；
【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为 $(2, 1)$ ，点C的坐标为 $(4, 2)$ ．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标．

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14、如图，地块 $△ A B C$ 中，边 $A B = 40 m, A C = 30 m$ ．

(1)、尺规作图：现要在地块 $△ A B C$ 中修建绿化带 $A D$ ，使 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，请作出 $A D$ ，保留作图痕迹；

(2)、过点D作 $D E ⊥ A B, D F ⊥ A C$ ，则 $D E$ $D F$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”“ $=$ ”）

(3)、若地块 $△ A B D$ 的面积为 $320 m^{2}$ ，求地块 $△ A C D$ 的面积．

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15、如图，A、C、F、D在同一直线上， $A B = D E, ∠ A = ∠ D, A F = C D$ ，求证：

(1)、 $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、 $B C ∥ E F$ ．

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16、如图， $A D$ ， $B C$ 相交于点O， $A D = B C$ ， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ B A C$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 38 °$ ，求 $∠ C A O$ 的度数．

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17、如图，已知 $A B = C D, A E = C E, B E = D E$ ．求证： $∠ B E D = ∠ A E C$ ．

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18、如图，已知 $△ A B E ≌ △ A C D$ ．

(1)、若 $B E = 6, D E = 2$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、若 $∠ D A E = 20 °$ ，求 $∠ A E C$ 的度数．

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19、已知如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E，F分别在三边上，E是 $A C$ 的中点， $B D = 2 D C, A D, B E, C F$ 交于一点G， $S_{△ B G D} = 16 ， S_{△ A G E} = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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20、如图，将直角三角形纸片 $A B C$ 的直角C沿 $E F$ 折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果 $∠ F E P = 48 °$ ，则 $∠ B F P =$ $°$ ．

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