相关试卷

1、如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 42 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、 $84 °$ B、 $86 °$ C、 $88 °$ D、 $90 °$

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2、在平面直角坐标系中，点 $P (2, - 3)$ 关于直线 $x = 1$ 的对称点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, - 3)$ B、 $(- 2, - 3)$ C、 $(1, - 3)$ D、 $(0, - 3)$

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3、如图，将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形 $A B C D$ ，连接 $A C$ ，测得 $∠ 1 = 38 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $18 °$ B、 $19 °$ C、 $38 °$ D、 $42 °$

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4、下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2 x^{3})}^{2} = 4 x^{5}$ B、 $x^{2} y \cdot y = x^{3} y$ C、 $4 x y - x = 4 y$ D、 ${(3 x + 1)}^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1$

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5、 $D e e p S e e k - R 1$ 是幻方量化旗下 $A I$ 公司深度求索（ $D e e p S e e k$ ）研发的推理型． $D e e p S e e k - R 1$ 拥有卓越的性能，在数学、代码和推理任务上可与 $O p e n A I o l$ 媲美．其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据即可显著提升模型性能．此外， $D e e p S e e k - R 1$ 构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式，提升模型推理能力.2025年1月20日， $D e e p S e e k - R 1$ 模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日， $D e e p S e e k$ 的下载量已接近 $4000$ 万．将 $4000$ 万用科学记数法表示为（）

A、 $4 \times 10^{6}$ B、 $40 \times 10^{6}$ C、 $4 \times 10^{7}$ D、 $0.4 \times 10^{8}$

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6、实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $|a| > |b|$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b > 0$ D、 $a b < 0$

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7、几何探究题

(1)、发现：在平面内，若 $B C = a, A C = b$ ，其中 $a > b$ ．
当点 $A$ 在线段BC上时（如图1），线段AB的长取得最小值，最小值为    ▲    ；
当点 $A$ 在线段BC延长线上时（如图2），线段AB的长取得最大值，最大值为    ▲    .

(2)、应用：点 $A$ 为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ ，连接CD、BE.
①证明： $C D = B E$ ；
②若 $B C = 3, A C = 1$ ，则线段CD长度的最大值为    ▲     ．

(3)、拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，点 $P$ 为线AB外一动点，且 $P A = 2, P M = P B, ∠ B P M = 9 0^{°}$ ．请直接写出线段AM长的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

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8、教科书中这样写道：“形如 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$ ．
解：原式 $= (x^{2} + 2 x + 1) - 4 = (x + 1)^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$
再如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值．
解： $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 (x + 1)^{2} - 8$ ，可知当 $x = - 1$ 时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $x^{2} - 6 x - 7 =$ ▲ ．（直接写出结果）

(2)、当 $x$ 为何值时，多项式 $- 2 x^{2} - 4 x + 5$ 有最大值？并求出这个最大值．

(3)、利用配方法，尝试求出等式 $a^{2} + 5 b^{2} - 4 a b - 2 b + 1 = 0$ 中a ， b的值．

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9、根据以下素材，探索完成任务

为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品
素材1	若购进 $A$ 种纪念品8件， $B$ 种纪念品3件，需要950元；若购进 $A$ 种纪念品5件， $B$ 种纪念品6件，需要800元．
素材2	若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元
素材3	若销售每件 $A$ 种纪念品可获利润20元，每件 $B$ 种纪念品可获利润30元
问题解决
任务1	探索商品单价	求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
任务2	探究购买方案	求出该商店共有几种进货方案？
任务3	确定最优方案	在所有进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

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10、如图，在四边形ABCD中，BD平分 $∠ A B C, D A = D C, D M ⊥ B A$ 交BA的延长线于点 $M, D N ⊥ B C$ 于点 $N$ ．

(1)、求证：Rt $△ A D M ≅ R t △ C D N$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 6 0^{°}, B D = 6$ ，求四边形ABCD的面积．

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11、如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 的顶点都在格点上．

(1)、将 $△ A B C$ 向右平移4个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于点 $O$ 的中心对称图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、若将 $△ A B C$ 绕某一点旋转可得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，旋转中心的坐标为 ▲ ．

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12、

(1)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x + 1) > 5 x - 1 \\ \frac{x - 1}{2} ⩽ \frac{2 x - 1}{3} \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来：

(2)、先化简 $(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a - 1}$ ，再从 $- 2, 0, 1, 2$ 中选取一个适合的数代入求值．

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13、

(1)、分解因式：① $x^{3} - 9 x$ ；② $9 (x - y)^{2} - 12 (x - y) + 4$ ．

(2)、解分式方程：① $\frac{3}{x} = \frac{2}{x + 1}$ ；② $\frac{1}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$ ．

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14、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 6 0^{°}$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点， $A B = 4, B C = 6$ ，则 $P A + P B + P C$ 的最小值是．

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15、如图，Rt△ABC中， $∠ B A C = 9 0^{°}, A B = A C, D 、 E$ 为BC边上两点， $∠ D A E = 4 5^{°}$ ，过 $A$ 点作 $A F ⊥ A E$ ，且 $A F = A E$ ，连接DF、BF ．下列结论：① $△ A B F ≅ △ A C E$ ， ②AD平分 $∠ E D F$ ；③若 $B D = 4, C E = 3$ ，则 $A B = 6 \sqrt{2}$ ；④若 $A B = B E, S_{△ A B D} = \frac{1}{2} S_{△ A D E}$ ，其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、如图，在等边三角形ABC中， $B C = 8$ ，点 $D$ 是AB的中点，过点 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $E$ ，则BE的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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17、下列命题是真命题的是（）

A、有一个角是60°的三角形是等边三角形 B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、用反证法证明：“已知 $△ A B C, A B = A C$ ，求证： $∠ B < 9 0^{°}$ ． ”第一步应先假设 $∠ B > 9 0^{°}$ D、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上

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18、如果关于 $x$ 的方程 $\frac{4 x}{x - 2} - 1 = \frac{k}{2 - x}$ 有增根，则 $k$ 的值为（）

A、-10 B、-8 C、-6 D、-4

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧相交于点M、N ．作直线MN ，交AC于点 $D$ ，交AB于点 $E$ ，连接BD ．若 $A B = 7, A C = 12, B C = 10$ ，则 $△ B C D$ 的周长为（）

A、18 B、19 C、22 D、25

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20、把分式 $\frac{2 x - 3 y}{x + y}$ 中的x ， y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的4倍 B、扩大为原来的8倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ D、不变

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