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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 55 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，点 $E$ ，点 $F$ 分别在线段 $A C$ ， $C D$ 上运动，且满足 $A E = C F$ ，当 $B E + A F$ 最小时， $∠ A F D$ 的度数为．

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2、若 $x^{2} - 4 (a + 1) x + 16$ 是一个完全平方式，则a的值为．

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3、如图，当 $△ A B C ≌ △ D E F$ 时，则 $x + y =$ ．

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4、已知点 $P (- 2, 1)$ ，则点 $P$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是．

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5、计算 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times \dots \dots \times (1 - \frac{1}{2024^{2}}) (1 - \frac{1}{2025^{2}})$ 的值是（）

A、 $\frac{2025}{2024}$ B、 $\frac{2026}{2025}$ C、 $\frac{1013}{2025}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + 4}{x - 3} = \frac{m}{x - 3} + 2$ 无解，则 $m$ 的值是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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7、如图， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $△ A B C$ 三条边上的中点，若 $△ A B C$ 的面积是12，则阴影部分的面积和是（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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8、下列运算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{3} = a^{7}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 ${(3 a^{2})}^{2} = 6 a^{4}$ D、 $a^{4} + a^{2} = a^{8}$

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9、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ B、 $x^{2} + 2 x + 3 = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $x^{2} - x y + y^{2} = {(x - y)}^{2} + x y$ D、 $3 x - 3 y = 3 (x - y)$

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10、两根木条 $A, B$ 按如图所示的方式放在地面上，若 $∠ 3 = 80 °, ∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $125 °$ B、 $100 °$ C、 $80 °$ D、 $55 °$

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11、现有两根木棒，它们的长分别是 $3 cm$ 和 $4 cm$ ．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（）

A、 $1 cm$ B、 $3 cm$ C、 $7 cm$ D、 $9 cm$

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12、“横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，再一次向世界展现了中国基建的实力，主桥侧面的三角形钢架结构如图，这样的结构蕴含的数学原理是（）

A、垂线段最短 B、两点确定一条直线 C、三角形具有稳定性 D、三角形任意两边之和大于第三边

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13、产自中国的“手撕钢”，厚度仅 $0.000015$ 米，约是纸厚度的六分之一，达到世界领先水平，目前广泛应用于手机折叠屏、航天压力传感器、汽车制造等高端领域，数据 $0.000015$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.5 \times 10^{- 4}$ B、 $1.5 \times 10^{- 5}$ C、 $15 \times 10^{- 6}$ D、 $0.15 \times 10^{- 4}$

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14、要使分式 $\frac{1}{x - 5}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 5$ B、 $x > 5$ C、 $x < 5$ D、 $x \neq - 5$

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15、黔东南州，素以“苗乡侗寨”闻名，是山水与人文交织的仙境．下列四个黑体字是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，A，B，C三点在同一直线上，等边三角形 $A B E$ 和等边三角形 $B C D$ 在线段 $A C$ 同侧，连接 $A D$ ，交 $B E$ 于点M，连接 $C E$ ，交 $B D$ 于点N．

(1)、如图1，当 $B$ 是 $A C$ 的中点， $A C = 8$ 时， $A E$ 的长为， $∠ A B D$ 的度数为；

(2)、如图2，当 $B$ 不是 $A C$ 的中点时，求证： $△ B C E ≌ △ B D A$ ；

(3)、在（2）的条件下，连接 $M N$ ，试探究 $M N$ 与 $A C$ 之间的位置关系，并说明理由．

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17、贵州的花江峡谷大桥以 $625$ 米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款 $2.5$ 万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工；
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工．

(1)、设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示）

(2)、请你列方程求出这项工程的规定工期．

(3)、若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 于点D， $E F ⊥ A B$ 于点F， $E G ⊥ A G$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $G$ ，且 $E F = E G$ ，连接 $A E$ ．求证：

(1)、 $A E$ 平分 $∠ B A G$ ；

(2)、 $A B = A C + 2 B F$ ．

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19、如图，在平面直角坐标系中（不完整），每个小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 关于y轴对称．

(1)、在图中补全y轴和原点O，并直接写出点F关于x轴对称的点的坐标．

(2)、若A，B，C是三个村庄，现要在公路边（x轴上）建一货栈P，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是 $P \to A \to B \to C \to P$ 或 $P \to C \to B \to A \to P$ ．试判断在公路边是否存在一点P，使送货路线之和最短？若存在，请在图中画出点P所在的位置；若不存在，请说明理由．

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20、数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．

(1)、请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．
方法1：；方法2：

(2)、观察图2，请你写出代数式 ${(a + b)}^{2} ， a^{2} + b^{2} ， a b$ 之间的等量关系：

(3)、根据（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知 $a + b = 5 ， a^{2} + b^{2} = 15$ ，求 $a b$ 的值；
②已知 ${(2025 - a)}^{2} + {(a - 2026)}^{2} = 7$ ，求 $(2025 - a) (a - 2026)$ 的值．

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