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1、如图，四边形ABCD 是平行四边形， $∠ C = 6 0^{\circ} ， \frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{13}}{6} ，$ 点 F 在BC 上，且 $C F = \frac{1}{3} B C ，$ E为边CD上的一动点，连接 EF，AE.将△CEF沿直线EF 翻折，点C的对应点为点G，连接BG.若点 B，G，E在同一条直线上，则 $\frac{A E}{D E}$ 的值为.

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2、如图，四边形ABCD是平行四边形，将边 AD绕点D 逆时针旋转60°得到ED，线段DE交边BC于点 F，连接BE.若∠C+∠E=150°，BE=2，CD=2 $\sqrt{3}$ 则线段 BC的长为.

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3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4.D为△ABC所在平面内的一个动点，且满足∠BDC=90°，E为线段AD 的中点，连接CE，则线段CE长的最大值为.

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4、如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形 ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴.直线y=-x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为.

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5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，D为AB的中点，P为边AC上一动点，将△BPD沿着PD 所在的直线翻折，点 B 的对应点为点E.若△PDE与△ABC重合部分的面积等于△PAB面积的 $\frac{1}{4}$ ，则AP 的长为.

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6、如图，在平行四边形 ABCD中，AB=4，沿对角线AC翻折，点 B 的对应点为B'，B'C与AD 相交于点E，此时△CDE恰好为等边三角形，则重叠部分(即图中阴影部分)的面积为.

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7、如图，两个平行四边形重叠部分的面积相当于大平行四边形面积的 $\frac{1}{6}$ ，相当于小平行四边形面积的 $\frac{2}{3}$ ，则大平行四边形的面积与小平行四边形的面积的最简整数比为.

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8、因式分解：

(1)、 $a^{4} + 64 b^{4};$

(2)、 $x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} .$

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9、把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作“配方法”。例如，用配方法求x²+6x+11的最小值。
解： x²+6x+11= x²+6x+9+2=(x+3)²+2≥2，
∴x²+6x+11的最小值为2.
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、用配方法因式分解： $a^{2} - 12 a + 35;$

(2)、用配方法因式分解： $x^{4} + 4;$

(3)、求 $4 x^{2} + 4 x + 3$ 的最小值.

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10、因式分解：

(1)、 ${(x^{2} + 3 x)}^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8;$

(2)、 $(x^{4} - 4 x^{2} + 1) (x^{4} + 3 x^{2} + 1) + 10 x^{4} .$

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11、阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，简化原多项式的结构，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
例：用换元法因式分解： $(x^{2} - 4 x + 1) (x^{2} - 4 x + 2) - 12 .$
解：设 $x^{2} - 4 x = y ，$
则原式=(y+1)(y+2)-12
$= y^{2} + 3 y - 10$
=(y+5)(y-2)
$= (x^{2} - 4 x + 5) (x^{2} - 4 x - 2)$ .
请你用换元法对多项式 $(x^{2} - 3 x + 2) (x^{2} - 3 x - 5) - 8$ 进行因式分解.

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12、一个等腰三角形的两边长a，b满足 $9 a^{2} - b^{2} = - 13 ， 3 a + b = 13 ，$ 则这个等腰三角形的周长为.

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13、如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE的长为.

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14、若m+n=3，mn=1，则 $m^{3} n + m n^{3} + 2 m^{2} n^{2} =$ .

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15、已知 $a^{2} b = 2 ，$ 则 $- a b (a^{5} b^{2} - a^{3} b - a) =$ .

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16、已知 $x^{2} - 2 y^{2} - 4 = 0 ，$ 则 $- 2 x^{2} + 4 y^{2} - 3 =$ .

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17、阅读材料：
$x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$
$= (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - a^{2} - 3 a^{2}$
$= {(x + a)}^{2} - 4 a^{2}$
$= {(x + a)}^{2} - {(2 a)}^{2}$
=(x+3a)(x-a).
像这样因式分解的方法称为“配方法”.
利用“配方法”，解决下列问题：

(1)、因式分解： $a^{2} - 8 a + 15 =$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的三边长是a，b，c，且满足 $a^{2} + b^{2} - 14 a - 8 b + 65 = 0 ，$ C为奇数，求 $△ A B C$ 的周长的最小值.

(3)、当x为何值时，多项式 $- 2 x^{2} - 4 x + 3$ 有最大值?并求出这个最大值.

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18、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如： $4 = 2^{2} - 0^{2}, 12 = 4^{2} - 2^{2}, 20 = 6^{2} - 4^{2},$ 因此4，12，20都是“神秘数”.

(1)、36是“神秘数”吗?为什么?

(2)、设两个连续偶数为2k十2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗?为什么?

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19、已知2⁹⁶-1可被60~70之间的两个整数整除，求这两个整数的和.

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20、简便计算：

(1)、 $1.9 9^{2} + 1.99 \times 0.01;$

(2)、 $202 4^{2} + 2024 - 202 5^{2};$

(3)、 $80 0^{2} - 1600 \times 798 + 79 8^{2};$

(4)、 $\frac{202 0^{2} - 200 1^{2} - 1 9^{2}}{2001 \times 19};$

(5)、 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times (1 - \frac{1}{4^{2}}) \times \dots \times (1 - \frac{1}{9^{2}}) \times (1 - \frac{1}{1 0^{2}}) \times \dots \times (1 - \frac{1}{n^{2}}) .$

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