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1、阅读材料：点 $A$ ， $B$ 在数轴上分别表示有理数 $a$ ， $b$ ， $A$ ， $B$ 两点之间的距离可表示为 $A B = |a - b|$ ．例如： $7$ 与 $- 1$ 两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为 $|7 - (- 1)| = 8$ ， $|x - 6|$ 的几何意义是数轴上表示有理数 $x$ 的点与表示 $6$ 的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．
如图，已知数轴上两点 $A$ 、 $B$ 对应的数分别为 $- 1$ 和 $2$ ，数轴上另有一个点 $P$ 对应的数为有理数 $x$ ，

(1)、请根据阅读材料填空：点 $P$ 、 $A$ 之间的距离 $P A =$ ________（用含 $x$ 的式子表示）；若该距离为 $4$ ，则 $x =$ ________．

(2)、根据几何意义，解决下列问题：
$①$ 若点 $P$ 在线段 $A B$ 上，则 $|x + 1| + |x - 2| =$ ________；
$②$ 若 $|x + 1| + |x - 2| = 7$ ，求点 $P$ 表示的有理数 $x$ ；
$③$ 求 $y = |x + 5| + |x + 1| + |x - 2|$ 的最小值以及此时 $x$ 的值（直接写出答案即可）．

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2、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 3 \sqrt{3}$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 上一点，在 $B C$ 的延长线上取一点 $E$ ，使得 $∠ D E B = 30 °$ ，线段 $D E$ 交边 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $C E = C F$ ．

(2)、若点 $F$ 为 $D E$ 的中点，求 $A D$ 的长度．

(3)、如图2，连结 $A E$ ，当 $B D$ 的长为何值时， $A E + A F$ 的值最小，请说明理由．并求此时 $△ F C E$ 的面积．

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3、【问题背景】如图 $1$ ， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 为 $B C$ 中点．点 $E$ 是线段 $B D$ 上一个动点，在线段 $E C$ 上取一点 $F$ 使得 $∠ E A F = 45 °$ ．
【提出问题】当点 $E$ 在线段 $B D$ 上移动时， $E F$ 的长度是否发生变化？
【初步思考】小明通过尝试画出 $E$ 在不同位置时的图形，发现 $E F$ 的长度发生了变化．于是他采用以下思路进行说理：
思路：求出 $E$ 在两个不同位置时， $E F$ 的长度．
$①$ 先求出点 $E$ 在特殊位置时 $E F$ 的长度：
如图 $2$ ，当点 $E$ 与点 $B$ 重合时，易求得 $E F = \frac{1}{2} B C = 4$ ．
$②$ 再求出点 $E$ 不与两端点 $B$ ， $D$ 重合时 $E F$ 的长度：
如图 $3$ ，小明在 $A C$ 右侧作 $∠ C A G = ∠ B A E$ ，且 $A G = A E$ ．连接 $F G$ ， $C G$ ．可证得： $△ A B E ≌ △ A C G (SAS)$ ．请你根据以下问题帮小明继续完成探究：
（1）求证： $E F = F G$ ．
（2）当 $B E = 2$ 时，求 $E F$ 的长度．
【延伸思考】如图 $4$ ，当点 $E$ 运动到线段 $D C$ 上时，点 $F$ 落在线段 $D C$ 的延长线上．如果题干中其余条件不变．请解决以下问题：
（3）当 $B E = \frac{16}{3}$ 时， $E F =$ _____．（直接写出答案）

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4、如图， $△ A B C$ 外角 $∠ E A C$ 的角平分线上取一点 $P$ 使得 $P B = P C$ ，作 $P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ， $P E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $B E = C D$ ．

(2)、若 $∠ E P B = 35 °$ ， $∠ A C B = 15 °$ ，求 $∠ P B C$ 的度数．

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5、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 90 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 是 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ．小明：以点 $D$ 为圆心， $D E$ 长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $F$ ，连结 $D F$ ，则 $D E ⊥ D F$ ．
小华：小明，你的作法有问题．应当以点 $A$ 为圆心， $C E$ 长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ （如图2），则 $D E ⊥ D F$ ．
小明：哦．．．我明白了！

(1)、指出小明作法中存在的问题．

(2)、给出小华作法中 $D E ⊥ D F$ 的证明．

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6、如图，已知点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上， $A C = D E$ ， $A B ∥ E C$ ， $∠ A C B = ∠ E$ ．求证： $B C = C E$ ．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ．结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段 $C P$ 的长是．

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8、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，分别以四边形 $A B C D$ 的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 和 $S_{4}$ ，若 $S_{1} = 5 π$ ， $S_{2} = 9 π$ ， $S_{4} = \frac{3}{4} S_{3}$ ，则 $S_{4}$ 的值是．

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9、如图，将两副直角三角板直角顶点重合，使得 $∠ A B C = 105 °$ ，则 $∠ 1 =$ 度．

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10、如图，在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上取点 $E$ ，使 $A E = B E$ ．过点 $C$ 作 $C D ⊥ A E$ 于点 $D$ ，若 $C D$ 平分 $∠ B C A$ ， $A D = 1$ ， $A C = 3$ ，则 $B C =$ ．

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11、如图， $△ A B C ≌ △ D E F$ ， $A$ 与 $D$ ， $B$ 与 $E$ 分别是对应点，根据图中给定的数量条件，则 $∠ F =$ 度．

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12、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A = 35 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是．

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13、命题“如果 $a = 2$ ，那么 $|a| = 2$ ”的逆命题为．

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14、如图1是一款儿童攀爬架，图2是其侧面示意图，连接 $B D$ ，测量得 $∠ A B D = ∠ C = 45 °$ ， $A B ⊥ A D$ ，且点 $A$ 到地面 $B C$ 的距离是点 $D$ 到地面 $B C$ 距离的2倍， $B C = 1.6$ 米，则 $C D$ 的长为（）．

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5} m$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5} m$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10} m$ D、 $\sqrt{2} m$

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15、如图，一张长方形纸条 $A B C D$ ，将纸条分别沿 $E F$ 和 $E G$ 折叠，使顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 分别落在 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ 处，点 $B^{'}$ ， $C^{'}$ ， $E$ 在同一条直线上， $B^{'} E$ 交 $A D$ 于点 $H$ ，若求 $F G$ 的长度，只要知道下列选项中哪条线段的长（）

A、 $E G$ B、 $E C^{'}$ C、 $E H$ D、 $E F$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A D$ ， $B E$ 上的中点，已知 $△ A B C$ 的面积为16，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{16}{5} {cm}^{2}$ B、 $6 {cm}^{2}$ C、 $7 {cm}^{2}$ D、 $8 {cm}^{2}$

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 、 $A C$ 的中垂线分别交 $B C$ 于点 $D$ 和点 $E$ ，已知 $B D = 5$ ， $C E = 4$ ，若 $A E ⊥ B C$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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18、具备下列条件的 $△ A B C$ 中，不是直角三角形的是（）

A、三边的长度分别为1，2， $\sqrt{5}$ B、 $∠ A = ∠ B + ∠ C$ C、 $A B : B C : A C = 5 : 12 : 13$ D、 $A B = A C$ ， $∠ A = 45 °$

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19、如图，在△ABC中，∠B=65°，∠DCA=100°，则∠A的度数是( )

A、55° B、45° C、35° D、25°

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20、为了保护环境，国家大力支持新能源，以下是四个新能源汽车的 $l o g o$ （图标），其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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