相关试卷

1、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8 .$ 点 $P$ 为边 $A C$ 上异于 $A$ 的一点，以 $P A$ ， $P B$ 为邻边作 $▱ P A Q B$ ，则线段 $P Q$ 的最小值是．

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2、取直线 $y = - x$ 上一点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $①$ 过点 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $y = \frac{1}{x}$ 于点 $A_{2} (x_{2}, y_{2})$ ； $②$ 过点 $A_{2}$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $y = - x$ 于点 $A_{3} (x_{3}, y_{3})$ ；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(1, - 1)$ ，则点 $A_{2025}$ 的坐标是．

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3、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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4、在平面直角坐标系中，将点 $P (3,4)$ 向下平移 $2$ 个单位长度，得到的对应点 $P'$ 的坐标是．

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5、写出使分式 $\frac{1}{2 x - 3}$ 有意义的 $x$ 的一个值．

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6、在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 $y ($ 厘米 $/$ 天 $)$ 和光照强度 $x ($ 勒克斯 $)$ 之间存在一定关系．在低光照强度范围 $(200 \leq x < 1000)$ 内， $y$ 与 $x$ 近似成一次函数关系；在中高光照强度范围 $(x \geq 1000)$ 内， $y$ 与 $x$ 近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（）

A、当 $x \geq 1000$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 B、当 $x = 2000$ 时， $y$ 有最大值 C、当 $y \geq 0.6$ 时， $x \geq 1000$ D、当 $y = 0.4$ 时， $x = 600$

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7、如图，在平面直角坐标系中， $A$ ， $C$ 两点在坐标轴上，四边形 $O A B C$ 是面积为 $4$ 的正方形．若函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ，则满足 $y \geq 2$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $0 < x \leq 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $0 < x \leq 4$ D、 $x \geq 4$

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8、在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是 $2$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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9、明代数学家吴敬的 $《$ 九章算法比类大全 $》$ 中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有 $3$ 个头 $6$ 只手的哪吒若干，有 $1$ 个头 $8$ 只手的夜叉若干，两方交战，共有 $36$ 个头， $108$ 只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有 $x$ 个，夜叉有 $y$ 个，则根据条件所列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 36 \\ 8 x + 6 y = 108 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 36 \\ 6 x + 8 y = 108 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 36 \\ 8 x + 6 y = 108 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 36 \\ 6 x + 8 y = 108 \end{array}$

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10、某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、已知 $a \neq 0$ ，则下列运算正确的是（）

A、 $- 2 a + 3 a = 5 a$ B、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ C、 $a^{2} - a = a$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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12、好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省 $2024$ 年全年接待游客超 $9$ 亿人次．数据“ $9$ 亿”用科学记数法表示为（）

A、 $9 \times 1 0^{7}$ B、 $0.9 \times 1 0^{8}$ C、 $9 \times 1 0^{8}$ D、 $0.9 \times 1 0^{9}$

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13、我国“深蓝 $2$ 号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图，数轴上表示 $- 2$ 的点是（）

A、 $M$ B、 $N$ C、 $P$ D、 $Q$

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16、综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点 $B^{'}$ 处，折痕交AB于点E ，再沿着过点， $B^{'}$ 的直线折叠，使点D落在 $B^{'} C$ 边上的点 $D^{'}$ 处，折痕交CD于点F ．将纸片展平，画出对应点 $B^{'}$ 、 $D^{'}$ 及折痕CE、 $B^{'} F$ ，连接 $B^{'} E$ 、 $B^{'} C$ 、 $D^{'} F$ ．

(1)、【初步猜想】确定CE和 $B^{'} F$ 的位置关系及线段BE和CF的数量关系．
创新小组经过探究，发现 $C E ∥ B^{'} F$ ，证明过程如下：
由折叠可知 $∠ D B^{'} F = ∠ C B^{'} F = \frac{1}{2} ∠ D B^{'} C$ ， $∠ E C B^{'} = ∠ E C B = \frac{1}{2} ∠ B C B^{'}$ ．由矩形的性质，
可知 $A D ∥ B C$ ， $∴ ∠ D B^{'} C = ∠ B C B^{'}$ ． $∴$ ① ▲ ． $∴ C E ∥ B^{'} F$ ．
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为② ▲ ．
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明 $△ A B^{'} E ≌ △ D^{'} C F$ ，得到 $B^{'} E = C F$ ，再由 $B^{'} E = B E$ 可得结论．
方法二：过点 $B^{'}$ 作AB的平行线交CE于点G ，构造平行四边形 $C F B^{'} G$ ，然后证 $B^{'} G = B^{'} E$ 可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．

(2)、【推理证明】请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程．

(3)、【尝试运用】如图2，在矩形ABCD中， $A B = 6$ ，按上述操作折叠并展开后，过点 $B^{'}$ 作 $B^{'} G ∥ A B$ 交CE于点G ，连接 $D^{'} G$ ．当 $△ B^{'} D^{'} G$ 为直角三角形时，求出BE的长．

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17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 关于直线 $x = - 3$ 对称，与x轴交于 $A (- 1, 0)$ 、B两点，与y轴交于点C ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P为抛物线对称轴上一点，连接BP ，将线段BP绕点P逆时针旋转 $90 °$ ，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；

(3)、在线段OC上是否存在点Q ，使 $2 A Q + \sqrt{2} C Q$ 存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．

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18、国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g ，其核心营养素如下：
食品类别
能量（单位：Kcal）
蛋白质（单位：g）
脂肪（单位：g）
碳水化合物（单位：g）
A
240
12
7.5
29.8
B
280
13
9
27.6

(1)、若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？

(2)、若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g ，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？

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19、如图，一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (1, 4)$ 、 $B (4, m)$ 两点，与x轴交于点C ，点D与点A关于点O对称，连接AD ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式：

(2)、点P在x轴的负半轴上，且 $△ A O C$ 与 $△ P O D$ 相似，求点P的坐标．

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20、如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D ，过点B作 $B E ∥ D C$ ，交⊙O于点E ，连接AE、AC．

(1)、求证： $\hat{C E} = \hat{B C}$ ；

(2)、若 $∠ B A E = 60 °$ ， ⊙O的半径为2，求AC的长．

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食品类别	能量（单位：Kcal）	蛋白质（单位：g）	脂肪（单位：g）	碳水化合物（单位：g）
A	240	12	7.5	29.8
B	280	13	9	27.6