相关试卷

1、我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值．
对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如：
$x^{2} - 2 (a - 1) x + 2 a^{2} - 8 a + 12$
原式 $= x^{2} - 2 (a - 1) x + {(a - 1)}^{2} - {(a - 1)}^{2} + 2 a^{2} - 8 a + 12$
$= {[x - (a - 1)]}^{2} - a^{2} + 2 a - 1 + 2 a^{2} - 8 a + 12$
$= {(x - a + 1)}^{2} + a^{2} - 6 a + 9 + 2$
$= {(x - a + 1)}^{2} + {(a - 3)}^{2} + 2$ ．
所以，当 $a = 3$ ， $x = 2$ 时，此式的最小值为2．
试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值：

(1)、 $- 3 x^{2} + 6 x + 10$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 2 x - 6 y + 8$ ．

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2、如图，某型号订书机的主要部件托板 $O A$ 与手柄 $O B$ 的长度相等，均为 $10.7 cm$ ，其中托板分为弹簧 $O D$ ，长为 $1.2 cm$ 的推动器 $D E$ 和书钉 $E A$ 三段，连杆的一端通过销子 $F$ 与手柄相连，另一端可在 $D A$ 段滑动，当托板与手柄的夹角 $∠ A O B$ 张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端 $D$ 并随着 $∠ A O B$ 的增大拉动推动器向销子 $O$ 方向移动．现测得销子 $O$ ， $F$ 之间的距离为 $3.5 cm$ ，连杆与推动器的长度之和等于销子 $F$ 到手柄端点 $B$ 的距离．

(1)、如图①，当连杆勾住点 $D$ 时，若 $D F ⊥ O B$ ，求此时书钉的长度（结果精确到 $0.1 cm$ ，参考数据： $\sqrt{48.25} \approx 6.946$ ， $\sqrt{23.75} \approx 4.873$ ）；

(2)、如图②，已知一条新书钉的长度为 $3.5 cm$ ，当装好一条新书钉且连杆勾住点 $D$ 时，求 $cos ∠ A O B$ ．

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3、按要求解答

(1)、计算∶ $- 1^{2} + {(- 2)}^{3} \times \frac{1}{8} - \sqrt[3]{- 27} \times (- \sqrt{\frac{1}{9}})$

(2)、先化简，再求值 $[(x + 2 y) (x - 2 y) - {(x + 4 y)}^{2}] \div 4 y$ ，其中 $x = 5$ ， $y = 2$ ．

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4、如图，点E在菱形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠，使点D的对应点F恰好落在边 $B C$ 上．若 $cos B = \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{D E}{C E}$ 的值是．

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5、如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点O为位似中心的位似图形，若 $O A : O D = 1 : 3$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的面积比是．

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6、已知 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 是反比例函数 $y = \frac{- 5}{x}$ 图象上的三个点，若 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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7、某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中 $70.5 \sim 80.5$ 这一分数段的频率是（）

A、20 B、0.24 C、0.18 D、0.4

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8、如图中的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，该几何体的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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9、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、如图①，现将 $△ A B C$ 沿 $B D$ 翻折，使点 $C$ 落在斜边 $A B$ 上点 $E$ 处，若 $A C = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、如图②，现将 $△ A B C$ 沿直线 $F G$ 翻折，使点 $A$ 落在点 $C$ 处，若 $∠ A = 30 °$ ，求证： $A B = 2 B C$ ；

(3)、如图③，作 $A M$ 平分 $∠ B A C$ ，动点 $P$ 在 $A M$ 上运动，动点 $Q$ 在 $A C$ 上运动，若 $∠ A = 30 °$ ， $A C = 6cm$ ，则 $C P + P Q$ 的最小值为________ $cm$ ．

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10、如图 $1$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 4, 0)$ 、 $B (3, 0)$ ， $C$ 为 $y$ 轴正半轴上一点，且 $B C = 6$ ．

(1)、猜想 $∠ O B C$ 度数，并写出证明过程．

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿射线 $A B$ 方向运动，速度为每秒 $3$ 个单位长度，同时点 $Q$ 在边 $B C$ 上从点 $B$ 向点 $C$ 运动，速度为每秒 $2$ 个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为 $t$ 秒，在运动过程中： $△ P Q B$ 是直角三角形，求 $t$ 的值；

(3)、点 $M$ 为坐标轴上一点，当 $△ M B C$ 是等腰三角形时，请直接写出这样的 $M$ 点有个．

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11、规定：当三角形中有一个内角 $α$ 是另一个内角 $β$ 的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中 $α$ 称为“倍角”．

(1)、判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”．

(2)、已知 $△ A B C$ 为“2倍角三角形”，且 $△ A B C$ 为锐角三角形， $∠ B$ 为“倍角”，求 $∠ B$ 的取值范围．

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12、已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt $△ A B C$ ，使 $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = n$ ， $A C = m$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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13、解不等式并把解集在数轴上表示出来： $\frac{4 (1 + x)}{3} - 1 \leq \frac{5 + x}{2}$ ．

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14、如果关于x的方程 $\frac{x}{6} - \frac{6 m - 1}{3} = x - \frac{5 m - 1}{2}$ 的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为．

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15、如图， $△ A B C$ 的面积为 $2 {cm}^{2}$ ． $A P$ 垂直于 $∠ A B C$ 的平分线 $B P$ 于点P．则 $△ P B C$ 的面积是．

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16、如图，点A、B、C在一条直线上， $△ A B D$ 和 $△ B C E$ 均为等边三角形，连接 $A E$ 和 $C D$ ， $A E$ 分别交 $C D$ 、 $B D$ 于点M、P， $C D$ 交 $B E$ 于点Q，连接 $P Q$ 、 $B M$ ．下列结论：① $△ A B E ≌ △ D B C$ ；② $∠ D M A = 60 °$ ；③ $△ B P Q$ 为等边三角形；④ $P Q ∥ A C$ ．则所有正确结论的序号是（）．

A、① B、①② C、①②③ D、①②③④

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17、学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她 $17 : 00$ 从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了 $t$ 分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在 $17 : 08$ 之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（）

A、 $\frac{500 - 60 t}{100} + t < 8$ B、 $\frac{500 - 60 t}{100} + t > 8$ C、 $\frac{60 t - 500}{100} + t < 8$ D、 $\frac{60 t - 500}{100} + t > 8$

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18、下列命题中，其逆命题不成立的是（）

A、角平分线所在直线上的点到这个角的两边的距离相等 B、全等三角形的对应角相等 C、两直线平行，同旁内角互补 D、若 $△ A B C$ 是钝角三角形，则 $∠ C > 90 °$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $E D ⊥ A B$ 于点 $D$ ．如果 $∠ A = 30 °$ ， $A E = 12 cm$ ，那么 $C E$ 等于（）

A、 $2 \sqrt{3} cm$ B、 $4 cm$ C、 $6 cm$ D、 $8 cm$

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $D$ 、 $E$ ．若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $△ D B C$ 的周长为（）

A、12 B、14 C、15 D、16

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