• 1、【探究发现】

    某数学小组的同学在学习完一次函数后,掌握了函数的探究路径,即:定义一图象一性质一应用.他们尝试沿着此路径探究下列问题:

    已知y=2|x﹣2|﹣2,如表是y与x的几组对应值.

    x

    ﹣2

    ﹣1

    0

    1

    2

    3

    4

    y

    6

    4

    2

    0

    ﹣2

    a

    2

    (1)、a=
    (2)、描点连线:请在平面直角坐标系中描点,并用光滑的曲线依次连接.根据函数图象写出该函数的一条性质:   ▲   
    (3)、【拓展应用】

    若点A(m,p),B(n,p)均在该函数图象上,请写出m,n满足的数量关系:

    (4)、结合函数y=2|x﹣2|﹣2的图象,请写出不等式2|x﹣2|﹣2>x﹣1的解集:
  • 2、目前,龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标,抢抓低空经济发展先机.某航模店看准商机,推出了A和B两款飞机模型.该店计划购进两种模型共200个,购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍.A、B两款飞机模型的售价、进价如表所示:

    进价

    售价

    A模型

    20元

    30元

    B模型

    30元

    45元

    (1)、该航模店至少购进多少个A款飞机模型?
    (2)、如果B模型的进价上调2元,A模型的进价不变,但限定B模型的数量不少于A模型的数量,两种模型的售价均不变.请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润.
  • 3、在2025年春晚舞台上,来自杭州宇树科技的人形机器人,身着花袄、手持花绢,踏着节奏明快的舞步,与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”.这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演,背后是科技与传统文化的碰撞融合.如图,它们的队形设计充满数学奥秘,表演中,舞台可近似为一个平面直角坐标系,三个机器人A、B、C构成△ABC,其初始位置坐标分别为A(1,4),B(3,1),C(4,4),另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M(5,5)成中心对称.

    (1)、在图中画出△DEF;
    (2)、为了完成队形变换,机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A1B1C1 , 请画出△A1B1C1
    (3)、队形继续进行变换,△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2 , 请写出此时B2的坐标
  • 4、解不等式组5x13(x+1)2x12+5x141 , 并写出所有的整数解.
  • 5、因式分解:
    (1)、14a29b2
    (2)、4x2﹣8xy+4y2
  • 6、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,按以下步骤作图:①分别以点A和B为圆心、大于12AB长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交边BC于点D.若BC=2AC=8,则CD的长为

  • 7、若关于x的不等式组2x+2x+6xm的解集是x<4,则m的取值范围是
  • 8、若点A(﹣2025,2024)与点B(a,b)关于原点O成中心对称,则a+b=
  • 9、分解因式:7b3﹣21b2
  • 10、如图,将含有60°角的三角板ABC绕顶点C(∠ACB=60°)逆时针旋转一个角度α(0°<α<90°)得到△EDC,若AB,CE相交于点F,AE=AF,则旋转角α=(    )

    A、30° B、35° C、40° D、45°
  • 11、校园湖边一角的形状如图所示,其中AB,BC,CD表示围墙,若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭,使点P到三面墙的距离都相等.则点P在(    )

    A、线段AC、BD的交点 B、∠ABC、∠BCD角平分线的交点 C、线段AB、BC垂直平分线的交点 D、线段BC、CD垂直平分线的交点
  • 12、某水果店要购进苹果和香蕉两种水果,苹果的单价为15元/千克,香蕉的单价为8元/千克.已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克.如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克,且购买这两种水果的总费用少于500元,设购买苹果的质量为x千克,依题意可列不等式组为(    )
    A、x+(3x4)4015x+8(3x4)500 B、x+(3x4)4015x+8(3x4)500 C、x+(3x4)4015x+8(3x4)500 D、x+(3x4)4015x+8(3x4)500
  • 13、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,连接CD.则∠BCD等于(    )

    A、40° B、20° C、30° D、70°
  • 14、如图,在平面直角坐标系中,平移△ABC至△A1B1C1的位置.若顶点A(﹣3,4)的对应点是A1(2,5),则点B(﹣4,2)的对应点B1的坐标是(    )

    A、(1,3) B、(1,1) C、(3,1) D、(2,2)
  • 15、如图,数轴上的点A与点B所表示的数分别为a,b,则下列不等式成立的是(    )

    A、a﹣2>b﹣2 B、a3b3 C、﹣2a>﹣2b D、5a+2>5b+2
  • 16、如图,在△ABC中,AB=AC,D,P分别为AC,BC的中点,连结BD,E为BD的中点,过点D作DM⊥BC,垂足为点M,交EP的延长线于点N,连结AE,AN。

    (1)、若AB=8,求EP的长;
    (2)、证明:CD=PN;
    (3)、当AE⊥EN时,求SAENSABC的值。
  • 17、已知二次函数y=ax2+bxa0的图象经过点(4,0)和(1,3),点P(x1 , y),Q(x2 , y1)是该二次函数图象上的两个动点,满足0<x1<2<x2<4,y1x1+y2x2=4
    (1)、求该二次函数的表达式;
    (2)、求x1+x2的值;
    (3)、已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M,一条平行于x轴的直线过点A(0,t)交函数图象于B,C两点,且BC=3PM,求BC的最大值及此时对应的t值。
  • 18、如图,已知AB是半圆O的直径,点C,D在半圆上,且AD平分∠BAC,DE⊥AC交AC的延长线于点E。

    (1)、求证:DE是⊙O的切线;
    (2)、若ED=4,AB=10,求cos∠BAC的值。
  • 19、【阅读理解】

    对于两个函数,当自变量x任取一个值时,它们所对应的函数值之和为2,我们称这两个函数互为“关联函数”。例如:y=x与y=2-x互为“关联函数”。

    (1)、【初步探究】

    如图,函数y=kx经过点(1,2),求该函数的“关联函数”表达式:

    (2)、【深入思考】

    在(1)条件下,函数图象的一段y=kx(-2≤x≤0)向上平移m个单位长度后,与它的“关联函数”的图象有交点.求m的最小值。

  • 20、某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间t(单位:小时),随机抽取了本校部分学生进行问卷调查。要求抽取的学生在A,B,C,D,E五个选项中只选一项,并将抽查结果绘制成如下两幅统计图,请根据图中信息回答问题:

    (1)、求所抽取的学生总人数;
    (2)、若该校共有学生1800人,请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足40≤t<60的人数。
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