相关试卷

1、下列各组数值中，是二元一次方程 $x + 2 y = 2$ 的一个解的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$

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2、4的算术平方根是（）

A、2 B、4 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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3、在实数 $| - 3.14 |$ ， $- 3$ ， $- \sqrt{3}$ ， $π$ 中，最小的数是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 3$ C、 $| - 3.14 |$ D、 $π$

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4、若一次整式A，B满足 $k A + B = t$ （k，t是常数， $k \neq 0$ ），我们称整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
如：对于一次整式 $x - 3$ ， $4 x - 1$ ，因为 $- 4 (x - 3) + (4 x - 1) = 11$ ，所以整式 $x - 3$ 与 $4 x - 1$ “按序关联”，关联系数为 $- 4$ ，关联结果为11．

(1)、为了进一步探究一次整式A，B“按序关联”的性质，小星制作了以下表格，请你把它补充完整：
整式A
整式B
A与B关联系数
关联结果
$2 x - 1$
$6 x + 5$
$- 3$
$6 x + 5$
$2 x - 1$
$2 x - 1$
$- 6$
16

(2)、请你从小星制作的表格中发现规律，回答下列问题：
已知一次整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
①猜想一次整式B与A“按序关联”的系数及结果，并说明理由；
②猜想一次整式A与nB（常数 $n \neq 0$ ）“按序关联”的系数及结果；

(3)、已知一次整式 $A = a x + b$ 与 $B = c x + d$ 关联系数为 $k_{1}$ ，关联结果为 $t_{1}$ ， A与2B关联系数为 $k_{2}$ ，关联结果为 $t_{2}$ ．若 $k_{1} + k_{2} = 6$ ， $t_{1} - t_{2} = 6$ ，且总存在x的值，使整式A与 $B + 2 x$ 的值相等，求a，b的取值范围．

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5、综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 $180^{\circ}$ ，图2是其侧面示意图．
已知支架 $A B$ 长为 $2.5$ 米，且垂直于地面 $B C$ ，悬托架 $A E = D E = 0.5$ 米，点 $E$ 固定在伞面上，且伞面直径 $D F$ 是 $D E$ 的4倍．当伞面完全张开时，点 $D, E, F$ 始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄 $D$ 沿着 $A B$ 移动，以保证太阳光线与 $D F$ 始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角 $α$ （太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
16点
17点
太阳高度角（度）
90
75
60
45
30
15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点 $Q$ ．
任务1：
（1）某一时刻测得 $A D = 0.8$ 米，
①请直接写出 $tan ∠ A D E =$ ________；
②请求出此时影子 $G H$ 的长度；
任务2：
（2）这天14点，小明坐在离支架3米处的 $Q$ 点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．

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6、
某校数学兴趣小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
竖直高度y/m
1.1
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
m
1.1
…
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型】
（1）根据表格直接写出顶点坐标与m的值．
【应用模型】
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，发球点高度不变，改变发球位置，设解析式为 $y = a x^{2} + b x + c .$ 发球点与球网的水平距离是 $5 m$ ．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过 $2.1 m$ ，且球的落地点与球网的水平距离小于 $6 m$ ．求b的取值范围．

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7、嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图．
设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，小聪按照以下步骤进行作图：
①在 $A B$ 和 $B C$ 上分别截取 $B M$ 和 $B N$ ，使 $B M = B N$ ，分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线 $B O$ 交 $A C$ 于点D；
②分别以点C和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线 $P Q$ 分别交 $A C$ ， $B C$ 于点E和点F．
根据以上作图，若 $∠ A = 54 °$ ， $∠ C = 18 °$ ， $A D = 4$ ， $B C = 10$ ，则 $C F$ 的长为．

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9、如图， $A B ∥ C D$ ，直线 $E F$ 与 $A B$ 、 $C D$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ， $∠ E F D$ 的平分线与 $A B$ 交于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $G H ⊥ E F$ 于点 $H$ ， $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2 =$ 度．

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10、如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点A，C分别在 $x$ 轴的负半轴， $y$ 轴的正半轴上，点 $B$ 在第二象限．将矩形 $O A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，使点 $B$ 落在 $y$ 轴上，得到矩形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $B C$ 与 $O A^{'}$ 相交于点 $M$ ．若经过点 $M$ 的反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象交 $A B$ 于点 $N$ ，矩形 $O A B C$ 的面积为8， $\tan ∠ A^{'} O B^{'} = \frac{1}{2}$ ，则 $B N$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，四边形 $B E F G$ 是边长为4的正方形，点E在边 $A D$ 上，点C在边 $F G$ 上．若 $B C = 5$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{18}{5}$

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12、下列各式计算错误的是（）

A、 $4 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 5$ D、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$

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13、豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（ $Q u e s t \cdot M o b i l e$ ）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在3.1亿．数据3.1亿用科学记数法可表示为（）

A、 $3.1 \times 10^{- 8}$ B、 $3.1 \times 10^{7}$ C、 $3.1 \times 10^{9}$ D、 $3.1 \times 10^{8}$

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14、魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作 $+ 300$ 米，则向西走800米可记作（）

A、 $+ 800$ 米 B、 $- 800$ 米 C、 $+ 300$ 米 D、 $- 300$ 米

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 45^{\circ}$ ， $A D$ ， $B E$ 分别为 $△ A B C$ 的高．

(1)、如图1，若 $B D = \sqrt{3}$ ， $A C = 5 \sqrt{6}$ ，连接 $D E$ ， $B E =$ ___________， $D E =$ ___________；

(2)、如图2，连接 $D E$ ，将 $D E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 到 $E F$ ，连接 $D F$ ， $G$ 为线段 $D F$ 上一点，连接 $C G$ ．若 $∠ E C G = ∠ A D E$ ，求证： $A B = 2 C G$ ；

(3)、如图3，若 $C B = C A = 2 \sqrt{2}, P$ 是线段 $A D$ 上一动点，将线段 $C P$ 绕着点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 至线段 $C Q$ ，连接 $P B$ ， $P E$ ， $D Q$ ．当 $D Q$ 取得最小值时，请直接写出 $△ B E P$ 的面积．

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16、【知识回顾】
一般地，两数和的完全平方公式为： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，如果我们将 ${(a - b)}^{2}$ 写成 ${[a + (- b)]}^{2}$ ，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下： ${(a - b)}^{2} = {[a + (- b)]}^{2} = a^{2} + 2 a \cdot (- b) + {(- b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ．

(1)、【类比推理】
已知两数的立方和公式为 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ ，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： $a^{3} - b^{3} = a^{3} + {(- b)}^{3} =$ ___________．

(2)、【应用公式】
因式分解： $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ ．

(3)、【拓展提升】
如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形 $A B C D$ ，设 $S_{四边形 A B C D} = S_{1}$ ， $S_{四边形 E F G H} = S_{2}$ ， $S_{四边形 M N P Q} = S_{3}$ ．若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 30$ ，则① $S_{2} =$ ___________．
②若该直角三角形两条边长分别为 $m$ 和 $n$ ，且 $S_{3} = 2$ ，先将代数式 $m^{6} + 2 m^{4} n^{2} + 2 m^{2} n^{4} + n^{6}$ 进行因式分解，然后求出代数式的值．

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17、综合实践

背景一	深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的 $\frac{7}{9}$ ．
背景二	经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元．

(1)、该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？

(2)、该文创店所获得的最大利润是多少？

(3)、实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降

m (10 < m < 25)

元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？

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18、平面直角坐标系中 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (- 4, 5)$ ， $B (- 5, 2)$ ， $C (- 1, 3)$ ．

(1)、已知 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 与 $△ A B C$ 关于点 $D$ 成中心对称．
①若点 $D$ 与原点 $O$ 重合，请在图中画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．
②若把①中的点 $D$ 沿 $x$ 轴向右平移1个单位长度，则①中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 向右平移个单位长度；若把①中的点 $D$ 沿 $y$ 轴向上平移1个单位长度，则①中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 向上平移个单位长度．

(2)、直接写出 $A$ 点关于点 $(m, n) (m > 0, n > 0)$ 的对称点的坐标．

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19、解不等式及不等式组：

(1)、解不等式： $\frac{5 x + 1}{3} - \frac{3 x - 1}{2} \geq 1$ ，并将不等式的解集在数轴上表示；

(2)、解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x \leq x + 4 \\ 2 (x + 5) > 6 \end{matrix}$ ，并写出所有正整数解．

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20、因式分解：

(1)、 $4 {(a - b)}^{3} + 8 {(b - a)}^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - (a + 1) x + a$ ．

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整式A	整式B	A与B关联系数	关联结果
$2 x - 1$	$6 x + 5$	$- 3$
$6 x + 5$	$2 x - 1$
$2 x - 1$		$- 6$	16

时刻	12点	13点	14点	15点	16点	17点
太阳高度角（度）	90	75	60	45	30	15

水平距离x/m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	…
竖直高度y/m	1.1	1.8	2.3	2.6	2.7	2.6	2.3	m	1.1	…