相关试卷

1、在等腰△ABC中，AB=AC，点D为底边BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，旋转角为∠α，连接DE.

(1)、如图1，若∠α=∠BAC=90°，BD<CD，连接CE，试探究以下问题：
①求∠ACE的度数；
②过点D作DF⊥BC，DF交CA的延长线于点F，连接BF.点M是DE的中点，点N是BF的中点，连接CM，MN.请用等式表示线段CM与MN的数量关系，并证明.

(2)、如图2，若∠BAC=120°，∠α=60°，AB=4，连接BE，CE.当CE取得最小值时，在直线AB上取一点P（不与点A重合），连接PE， $△ A P E$ 关于直线PE的轴对称图形为△QPE，连接BQ，求线段BQ的最大值.

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2、已知抛物线的解析式为 $y = a x^{2} - 4 a x - 5 a,$ 该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，其顶点为D.

(1)、若点C的坐标为（0，5），请解决以下问题：
①求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
②过点B的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为点E，求△BDE的面积.

(2)、已知M（1，4），N（6，4），若该抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象，求a的取值范围.

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3、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是半圆的中点.过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E，连接AD，CD，设CD与AB交于点P.

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、求证：∠ADC=∠E；

(3)、若 $\frac{S_{△ A C D}}{S_{△ C D E}} = \frac{2}{7}, A C = 1,$ 求A，E两点间的距离.

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4、如图，某社区计划将一块长为20m、宽10m的矩形空地改造成居民共享菜园，为方便居民照料和采摘，需要在菜园内部修建宽度相同的步道（图中阴影部分）.已知步道将菜园分成9个面积均为16m²的矩形种植区，请求出步道的宽度.

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5、某博物馆为增强参观趣味性，推出了“文物盲盒”抽奖活动，每个盲盒中装有一件仿制文物纪念品，共有四种类型：青铜器、陶瓷、书画、玉器，且每种类型出现的可能性相等，小华和小明各购买了一个盲盒.

(1)、小华抽到“青铜器”的概率是；

(2)、求小华和小明抽到同一种纪念品的概率.

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6、如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上.

(1)、作出△ABC关于原点对称的图形△A₁B₁C₁；

(2)、将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A₂B₂C，画出△A₂B₂C，并求旋转过程中线段AC扫过的面积.

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7、已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3 .$
x
…

…
y
…

…

(1)、补全表格，并画出二次函数的图象；

(2)、观察该图象，直接回答以下问题：
①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围；
②当y<0时，写出x的取值范围.

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8、在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x = b^{2} （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）$ 的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中 $∠ A C B = 9 0^{\circ}, B C = \frac{a}{2}, A C = b,$ 在斜边上截取 $B D = \frac{a}{2},$ 则AD的长就是所求方程的正根.根据上述图解法作出关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x = 16 （ a ＞ 0 ）$ 的图解，若 $\frac{B D}{A D} = \frac{3}{2},$ 则a的值为.

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9、在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分.如图所示，跳台宽度为3m，水池边与跳台支柱之间的宽度为1m（见图中标注）.该运动员的起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距离水面11.25m，此时与点A的水平距离为0.5m.根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为m.

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10、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AB=AD，延长BA，CD交于点E.若∠EAD=40°，则∠B的度数为.

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11、已知x=3是一元二次方程 $x^{2} - m x + 15 = 0$ 的一个根，则该方程的另一个根为x=.

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12、若事件A为必然事件，则事件A发生的概率P（A）=.

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13、在平面直角坐标系中，点A（3，-4）关于原点的对称点的坐标是.

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14、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象与x轴的一个交点A位于（-2，0）和（-1，0）之间，顶点P为（1，n）.下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③3b>2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则 $n = - \frac{3}{a} .$ 其中正确结论的序号是（）.

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、②③④

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15、如图，△ABC为等边三角形，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED.已知BD=7，△AED的周长是15，则△ABC的边长是（）

A、4 B、7 C、8 D、10

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16、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知这个正六边形的边心距OM的长为3，则⊙O的半径为（）.

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、6

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17、数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（）

A、白球 B、红球 C、黄球 D、黑球

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18、圆形拱门屏风是我国古代家庭中常见的装饰兼隔断，既好看又实用，还带着浓浓的中式韵味.如图是一款圆形拱门屏风的示意图，其中拱门最下端AB在地面上，C为AB的中点，D为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心O，若⊙O的半径为1m，CD=1.8m，则AB的长度为（）.

A、0.6m B、0.8m C、1m D、1.2m

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19、用配方法解方程 $x^{2} - 6 x - 2 = 0$ 时，通过配方后可得 ${(x - m)}^{2} = n$ 的形式，则m的值是（）.

A、3 B、-3 C、6 D、-6

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20、已知⊙O的半径为3，P为⊙O内一点，则OP的长度可能是（）.

A、2 B、3 C、4 D、5

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x	…						…
y	…						…