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1、数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长度为半径画弧，交于点 $P$ 和点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $P Q$ 于点 $C$ ；以原点 $O$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交数轴于点 $M$ ，则点 $M$ 对应的数是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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2、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与 $x$ 轴交于A， $B$ 两点（点A在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、作直线 $A C$ ， $P$ 是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当 $∠ P A B = ∠ A C O$ 时，求点 $P$ 的横坐标；
②如图2，过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $Q$ ，作 $P M ⊥ P Q$ ，交抛物线于另一点 $M$ （点 $M$ 在点 $P$ 的右侧），以 $P Q$ ， $P M$ 为邻边构造矩形 $P Q N M$ ，求该矩形周长的最小值．

(2)、将线段 $A B$ 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段 $E F$ ，若抛物线 $y = a (- x^{2} + 2 x + 3)$ （ $a \neq 0$ ）与线段 $E F$ 只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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3、光从真空射入介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦值与折射角 $β$ 的正弦值的比值 $\frac{\sin α}{\sin β}$ 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

(1)、若光从真空射入某介质，入射角为 $α$ ，折射角为 $β$ ，且 $\sin α = \frac{3}{4}$ ， $β = 30 °$ ，求折射率；

(2)、现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点 $A$ ， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形 $A_{1} D_{1} D_{2} A_{2}$ 对角线交点 $O$ 处射入，其折射光线恰好从点 $C$ 处射出，如图②，已知 $α = 60 °$ ， $C D = 10 \sqrt{6}$ ，求 $O D$ 的长．

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4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长．

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5、因式分解： $9 a^{3} - a =$ ．

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6、下列运算正确的是（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$ C、 $2 a b + a = 2 a^{2} b$ D、 $a^{3} b^{2} \div a^{2} b = a b$

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7、中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、下列四个数中，无理数是（）

A、0 B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、1

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9、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 与一次函数 $y = m x + 1$ 的图象交于点 $A (2, 3)$ ，点B是反比例函数图象上一点， $B C ⊥ x$ 轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接 $A B$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = m x + 1$ 的表达式；

(2)、当 $O C = 4$ 时，求 $△ A B D$ 的面积．

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10、如图，平面直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 3)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (2, 0)$ ，若点 $P (a, b)$ 是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上任意一点， $△ A B C$ 经过平移后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点P的对应点为 $P_{1} (a + 5, b - 3)$ ．

(1)、画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三个顶点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标．

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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11、如图， $△ A B C$ 内接于⊙o，直径AE交BC于点 $D$ ，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 9 0^{°}$ 。

(1)、求证： $C D = C E$ 。

(2)、设 $∠ 1$ 的度数为x，求 $∠ B A E$ 的度数（用含x的代数式表示）。

(3)、若 $C A = C B$ ，求 $\frac{A D}{D E}$ 的值。

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12、已知x的二次函数 $y = x^{2} + 2 a x + 3 a$ 。

(1)、当函数图象经过点（2，5)时。
①求该二次函数的表达式。
②若将平面内一点A（m，n)向左平移5个单位或向右平移4个单位，都恰好落在函数 $y = x^{2} + 2 a x - 3 a$ 的图象上，求m的值。

(2)、设点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 是该函数图象上的两点，且 $x_{1} + x_{2} = 3$ 。
求证： $y_{1} + y_{2} \geq \frac{9}{2}$ 。

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13、2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动。为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程s（km）关于时间（（h）的变化情况如图所示。

(1)、分别求出小丽和小明骑行的速度。

(2)、求线段BC所在直线的函数表达式。

(3)、求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程。

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14、如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD<BC。小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在BC上作点E，使得四边形ABED是矩形。
小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。

(1)、请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。

(2)、请判断小明作法是否正确，并说明理由。

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15、随着科技的进步，越来越多的学习软件进入我们的生活，帮助学生学习知识。某校对学生最喜爱的学习辅助软件进行了抽样问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
“你最喜爱的学习辅助软件”调查问卷
问题：在以下五个软件中，你最喜爱的是____.
（A)作业帮（B)橙果错题集
（C)小猿搜题（D)豆包（E)DeepSeek
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求本次调查中最喜爱豆包软件的学生人数，并补全条形统计图。

(2)、已知该校有学生1500人，根据统计信息，估算该校最喜爱DeepSeek软件的学生人数。

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16、如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，AD=2，BD=1，DE⊥AC，垂足为E。

(1)、求 DE 的长。

(2)、求 tan∠DCE的值。

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17、计算： $(\frac{1}{2})^{- 1} - \sqrt{4} + | - 3 |$

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18、若关于x的一元二次方程x²+2x+m=0有两个相等的实数根，则m=。

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19、如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，B为切点，连结AC。若BC=3，AC=5，则直径AB的长为。

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20、一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中有3个红球，2个白球，从布袋里随机摸出一个球，则摸出白球的概率为。

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