相关试卷

1、若 $\sqrt{3 x - 3}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

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2、如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数 $y = \frac{1}{x} （ x ＞ 0 ）$ 的图象与边AC交于点M，与边BC交于点 N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM 与△CON 的面积一定相等；
②△MON 与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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3、如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（）

A、80° B、100° C、110° D、120°

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4、 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为( $4 \times 1 0^{5} k m ，$ 则该小行星与地球的最近距离约为（）

A、 $1.8 \times 1 0^{5} k m$ B、 $1.8 \times 1 0^{6} k m$ C、 $1.8 \times 1 0^{7} k m$ D、 $1.8 \times 1 0^{10} k m$

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5、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则实数a的值为（）

A、- 4 B、-1 C、1 D、4

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6、一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7、若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（）

A、60 B、90 C、120 D、150

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8、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、a >-1 B、a+b=0 C、a-b > 0 D、|a|>|b|

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9、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答：

(1)、【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $O A_{1}$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $O C_{1}$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系为；

(2)、【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线 $m$ 、 $n$ 经过正方形 $A B C D$ 的对称中心 $O$ ，直线 $m$ 分别与 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，直线 $n$ 分别与 $A B 、 C D$ 交于点 $G 、 H$ ，且 $m ⊥ n$ ，若正方形 $A B C D$ 边长为10，求四边形 $O E A G$ 的面积；

(3)、【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形 $C E F G$ 的顶点 $G$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，顶点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 12$ ， $C E = 4$ ．在直线 $B E$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A P F$ 为直角三角形？若存在，请直接写出 $B P$ 的长度；若不存在，说明理由．

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11、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点O在边 $B C$ 上，以O为圆心 $B O$ 为半径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与射线 $B D$ 的另一个交点为E，直线 $C E$ 与射线 $A D$ 交于点F．

(1)、设 $B O = x$ ， $B E = y$ ，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

(2)、如图2，连接 $A O$ ，当 $A O ∥ C E$ 时，请求出 $⊙ O$ 的半径；

(3)、如果射线 $E C$ 与 $⊙ O$ 的另一个交点为Q，连接 $O Q$ ，问是否存在 $△ C O Q$ 为直角三角形，若存在，请直接写出 $R t △ C O Q$ 的面积；若不存在，请说明理由．

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12、如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (0, 3)$ 在抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上，该抛物线的顶点为 $C$ ．点 $P$ 为该抛物线上一点，其横坐标为 $m$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当 $B P ⊥ y$ 轴时，求 $△ B C P$ 的面积；

(3)、当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时时，求出m的取值范围并写出这个定值；

(4)、在抛物线对称轴上是否存在一点E，使 $△ A B E$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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13、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 过点 $(- 2, - 5)$ 和 $(2, 3)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交 $B C$ 于点Q，求 $P Q$ 的最大值及此时点P的坐标；
②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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14、在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 $L_{1}$ ： $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 2$ 交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 是“共根抛物线”，其顶点为P．

(1)、若抛物线 $L_{2}$ 经过点 $(1, - 5)$ ，求抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；

(2)、当 $△ B P C$ 的周长最小时，求抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；

(3)、是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以 $A C$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线 $L_{2}$ 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

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15、如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 交于 $A (1, 4)$ 、 $B (4, m)$ 两点，延长 $A O$ 交反比例函图象于点 $C$ ，连接 $O B$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数表达式．

(2)、求 $△ A O B$ 的面积．

(3)、在x轴上是否存在点P，使得 $△ P A C$ 是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

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16、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + b$ 与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，线段 $O A$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 的一个根．请解答下列问题：

(1)、求点D的坐标；

(2)、若线段 $B C$ 的垂直平分线交直线 $A D$ 于点E，交x轴于点F，交 $B C$ 于点G，点E在第一象限， $A E = 3 \sqrt{2}$ ，连接 $B E$ ，求 $t a n ∠ A B E$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，点M在直线 $D E$ 上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出 $△ E M N$ 的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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17、同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)、【问题一】如图①，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $O A_{1}$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $O C_{1}$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系为；

(2)、【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 $m$ 、 $n$ 经过正方形 $A B C D$ 的对称中心 $O$ ，直线 $m$ 分别与 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，直线 $n$ 分别与 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $G$ 、 $H$ ，且 $m ⊥ n$ ，若正方形 $A B C D$ 边长为8，求四边形 $O E A G$ 的面积；

(3)、【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 $C E F G$ 的顶点 $G$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，顶点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 6$ ， $C E = 2$ ．在直线 $B E$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A P F$ 为直角三角形？若存在，求出 $B P$ 的长度；若不存在，说明理由．

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18、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 8$ ， $E$ 是 $A D$ 边上的一点，连接 $C E$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上的点 $F$ 处，延长 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求线段 $A E$ 的长；

(2)、求证四边形 $D G F C$ 为菱形；

(3)、如图2， $M$ ， $N$ 分别是线段 $C G$ ， $D G$ 上的动点（与端点不重合），且 $∠ D M N = ∠ D C M$ ，设 $D N = x$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使 $△ D M N$ 是直角三角形？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19、如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (4, 0)$ 和点 $C (0, 2)$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式及点 $A$ 的坐标；

(2)、如图1，若点 $D$ 是线段 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得 $△ B D E$ 是以 $B D$ 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点 $P$ 是第一象限内抛物线上的动点，过点 $P$ 作 $P Q ∥ y$ 轴，分别交 $B C$ 、 $x$ 轴于点 $M$ 、 $N$ ，当 $△ P M C$ 中有某个角的度数等于 $∠ O B C$ 度数的2倍时，请求出满足条件的点 $P$ 的横坐标．

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20、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $B (4, 0)$ ， $C (- 2, 0)$ 两点．与y轴交于点 $A (0, - 2)$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若点P是直线 $A B$ 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 $A B$ 于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求 $\frac{1}{2} P K + P D$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 $△ M A B$ 是以 $A B$ 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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