相关试卷

1、在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 $A$ 、 $B$ 两种农作物为原料开发了一种有机产品． $A$ 原料的单价是 $B$ 原料单价的 $1.5$ 倍，若收购 $100 kg$ 的 $A$ 原料会比收购 $100 kg$ 的 $B$ 原料多花费 $150$ 元．生产该产品每盒需要 $A$ 原料 $2 kg$ 和 $B$ 原料 $4 kg$ ，每盒还需其他成本 $9$ 元，市场调查发现：该产品每盒的售价是 $60$ 元时，每天可以销售 $500$ 盒；每涨价 $1$ 元，每天少销售 $10$ 盒．

(1)、求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；

(2)、设每盒产品的售价是 $x$ 元（ $x > 60$ 且 $x$ 是整数），每天的利润是 $w$ 元，求 $w$ 关于 $x$ 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

(3)、求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，则最大利润是多少元？

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2、如图，二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y₂=mx+n的图象过点A、C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）根据图象写出y₂＜y₁时，x的取值范围．

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3、“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况．
抽取的头盔数
500
1000
1500
2000
3000
4000
合格品数
491
986
1470
1964
2949
3932
合格品频率
0.982
0.986
0.980
a
b
0.983

(1)、求出表中a=_______，b=_______；

(2)、从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）；

(3)、如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？

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4、已知线段 $a$ 、 $b$ 满足 $a : b = 3 : 2$ ，且 $a + 2 b = 21$ ．

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若线段 $x$ 是线段 $a$ 、 $b$ 的比例中项，求 $x$ 的值．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D ⊥ A C$ ，点 $E$ 为 $B D$ 的中点，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ，且有 $A F = C F$ ，过 $F$ 点作 $F H ⊥ A C$ 于点 $H$ ．若 $F H = \sqrt{3}$ ，则 $B C$ 的长为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在线段 $C A$ 上， $C D = 2$ ， $A D = 7$ ， $∠ B D C = 3 ∠ B A C$ ，则 $B C =$ （）．

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{7}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{5}$

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7、当 $a b < 0$ ，函数 $y = a x^{2}$ 与 $y = a x + b$ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8、已知 $A (- 3, y_{1})$ ， $B (0, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 是抛物线 $y = {(x + 2)}^{2} + m$ 上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ B、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$

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9、如图， $A B ∥ C D$ ， AC，BD相交于点E， $A E = 1$ ， $E C = 2$ ， $C D = 3$ ，则AB的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、1 D、2

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10、请阅读下面解方程 ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 (x^{2} + 1) - 3 = 0$ 的过程．
解：设 $x^{2} + 1 = y$ ，则原方程可变形为 $y^{2} - 2 y - 3 = 0$ ．
解得 $y_{1} = 3$ ， $y_{2} = - 1$ ．
当 $y = 3$ 时， $x^{2} + 1 = 3$ ， $∴ x = \pm \sqrt{2}$ ．
当 $y = - 1$ 时， $x^{2} + 1 = - 1$ ， $x^{2} = - 2$ ，此方程无实数解．
∴原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{2}$ ， $x_{2} = - \sqrt{2}$ ．
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程： ${(\frac{x}{x - 1})}^{2} - 2 (\frac{x}{x - 1}) - 15 = 0$ ．

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11、 $2025$ 年 $4$ 月 $24$ 日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为 $30$ 元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为 $40$ 元时，每天可销售 $280$ 件；当销售单价每增加 $1$ 元，每天的销售数量将减少 $10$ 件．设火箭模型的销售单价增加 $x$ 元．

(1)、当天火箭模型的销售量为_____件；

(2)、求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是 $3610$ 元．

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12、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °, B C = 4, A B = 8$ ．

(1)、利用尺规作 $A C$ 的垂直平分线 $D E$ ，垂足为 $E$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求 $D E$ 的长度．

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13、2025年11月，深圳将迎来第十五届全国运动会，简称“十五运会”．十五运会是粤港澳三地承办的我国规模最大、水平最高、影响最广的综合性运动会．若某校将承担本次运动会的志愿服务工作，其服务项目有：“后勤保障”“礼仪指引”“裁判辅助”“检录服务”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，“裁判辅助”对应的圆心角是___________；

(3)、本次志愿服务需要后勤保障人员300人，已知该校共有2400名师生，有 $60 %$ 的师生参加志愿者服务，请预估后勤保障人员是否足够？

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14、解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$

(2)、 $x (x - 5) = 2 x - 10$

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15、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 3) x + k^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，以，已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 在满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 1$ ，则 $k$ 的值为．

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16、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 6, B D = 8$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长为．

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17、新知定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”.

(1)、理解应用
如图1，在▱ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则▱ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点.若 $D E = \frac{1}{3} C D, D E = \sqrt{7}, B P = 6,$ 则DP =；AD=.

(2)、问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足 $A E = \frac{1}{3} A B .$ 若CE=CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由.

(3)、拓展延伸
如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB=6，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长度.

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18、如图1左图所示是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即 $F_{A} \times L_{1} = F_{B} \times L_{2}) .$ 受桔槔的启发，小轩组装了如图1右图所示的装置，其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端 $L_{1} = 1 m,$ 距右端 $L_{2} = 0.4 m,$ 在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A.

(1)、若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为N；

(2)、为了让装置有更多的使用空间，小轩准备调整装置，当重物B的质量变化时， $L_{2}$ 的长度随之变化.设重物B的重量为xN，L₂的长度为ycm.则：
①y关于x的函数解析式是 ▲ ；
②根据下表，填空：
x/N
…
10
20
30
40
50
…
y/cm
…
8
a
83
2
b
…
a= ▲ ， b= ▲ ；
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)、在（2）的条件下，若点A的坐标为（20，0），点B的坐标为（0，2），在函数的图象上存在点C使得S_△ABC=40，请直接写出所有满足条件的点C的坐标.

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19、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.

(1)、求证：四边形ADCE是矩形；

(2)、连接BE，若AC=10，BC=12，求BE的长

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20、综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD（规格：AB=40cm，BC=100cm），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示.

(1)、若收纳盒高是10cm，则该收纳盒底面的边EF=cm，EH=cm；

(2)、如图3，若收纳盒的底面积是350cm² ，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒?（不考虑倾斜放入且要盖上盖子）

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抽取的头盔数	500	1000	1500	2000	3000	4000
合格品数	491	986	1470	1964	2949	3932
合格品频率	0.982	0.986	0.980	a	b	0.983

x/N	…	10	20	30	40	50	…
y/cm	…	8	a	83	2	b	…