相关试卷

1、下列事件中属于必然事件的个数是（）
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则 $|a| > 0$ ；④367个人中至少有2个人生日相同．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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2、下列计算正确的是（）

A、 ${(- x^{5})}^{2} = {(- x^{2})}^{5}$ B、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$ C、 ${(x^{3})}^{3} = x^{6}$ D、 $2 x^{3} \cdot x^{2} = 2 x^{5}$

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3、平面直角坐标系中，若函数图象上存在点 $P (x, y)$ ，其坐标满足 $2 (| x | + | y |) = k$ （ $k$ 为常数且 $k > 0$ ），则称此函数为“ $k -$ 定周函数”，点 $P$ 为“ $k -$ 定周点”．

(1)、在下列关于 $x$ 的函数中，是“ $2 -$ 定周函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，否则请打“×”．
① $y = 2 x + 1$ ；② $y = \frac{4}{x}$ ；③ $y = - x^{2} + 2$ ；

(2)、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} + a$ 是“ $8 -$ 定周函数”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、已知点 $A$ ， $B$ 是直线 $y = \frac{1}{3} x - \frac{5}{3}$ 上的两个“ $6 -$ 定周点”．问：在第一象限内是否存在“ $6 -$ 定周点” $P$ ，使得 $∠ A P B$ 度数最大？若存在，请求出此时点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $E$ ．其中 $A B = A D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $B C < C D$ ．

(1)、填空：① $∠ B C A =$ ；② $\frac{B E}{A E} - \frac{C E}{D E} =$ ；③ $\frac{B C + D C}{A C} =$ ；

(2)、若四边形 $A B C D$ 的面积为25，求点 $A$ 到 $C D$ 的距离；

(3)、若圆 $O$ 的半径为1，点 $I$ 为 $△ B C D$ 的内心，若 $O I = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $\frac{B E}{D E}$ 的值．

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5、某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌 $A B$ 的高度，他站在距离办公楼底部 $E$ 处6米远的地面 $C$ 处，测得宣传牌的底部 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，同时测得办公楼窗户 $D$ 处的仰角为 $30 °$ （ $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度 $i = 1 ∶ 1.5$ 的斜坡从 $C$ 走到 $F$ 处，此时 $D F$ 正好与地面 $C E$ 平行．

(1)、求 $D E$ 的长度（结果保留根号）；

(2)、若工程人员在 $F$ 处又测得宣传牌顶部 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求宣传牌 $A B$ 的高度．（结果精确到0.1米， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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6、如图所示，在 $▱ A B C D$ 中， $B F ⊥ A D$ 于 $F$ ， $B E ⊥ C D$ 于 $E$ ，且 $B F = B E$ ．

(1)、求证： $▱ A B C D$ 为菱形；

(2)、若 $∠ D = 120 °$ ， $A F = 3 c m$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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7、2026年5月24日23时08分，神舟二十三号载人飞船成功发射升空．航天主题周边商品随之迎来热销．某文创商店购进飞船模型、纪念徽章两类商品进行售卖．每个飞船模型的进价是纪念徽章进价的 $1.5$ 倍．

(1)、已知商店用 $1200$ 元购进的飞船模型数量，比用 $1200$ 元购进纪念徽章的数量少 $20$ 个．求纪念徽章和飞船模型每个的进价分别是多少元？

(2)、商店计划再次购进这两款周边共 $300$ 个，进货总资金不超过 $8100$ 元，求最多能购进多少个飞船模型？

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8、某校组织学生开展了“诵经典诗文，抒家国情怀”竞赛活动．竞赛项目有： $A$ 经典背诵、 $B$ 诗文解读、 $C$ 知识抢答、 $D$ 即兴抒怀．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)、本次被调查的学生共有名；

(2)、在扇形统计图中“ $B$ 项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ▲ ，并把条形统计图补充完整；

(3)、从本次被调查的甲、乙、丙、丁这四名学生中，随机抽出 $2$ 名同学去做风采展示代表，请用列表或画树状图的方法求出恰好甲和乙被抽中的概率．

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9、如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ 为半圆 $O$ 上一点，以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $B A$ 于点 $M$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ，分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 的内部相交于点 $D$ ，画射线 $B D$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求证： $B D$ 平分 $∠ A B C$ ；

(2)、若 $∠ C A B = 50 °$ ，求 $∠ C B D$ 的度数．

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10、解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) \leq 1 + 2 x ① \\ x + 3 > \frac{x + 3}{2} ② \end{array}$ ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

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11、计算： $- 1^{2026} + 3 t a n 30 ° - \sqrt{27} + | 2 \sqrt{3} - 3 |$

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12、2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话：
小文：我要送3本书给小远；
小明：我要送5本书给小远；
小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半；
小远：谢谢三位好朋友！
请问，此时小志手中还有本书籍．

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13、已知一定质量的氧气的体积 $V$ （ $m^{3}$ ）是密度 $ρ$ （ $k g / m^{3}$ ）的反比例函数，其图象如图所示，则当 $ρ = 1.5 k g / m^{3}$ 时的氧气的体积 $V =$ $m^{3}$ ．

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14、为了解某校学生参与课后服务的情况，从该校全体2400名学生中，随机调查了80名学生，统计结果显示有12名学生未参与课后服务．由此，估计该校全体学生中，未参与课后服务的学生有名．

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15、圆锥的底面直径为 $6 c m$ ，母线长为 $8 c m$ ，则该圆锥的侧面积是 $c m^{2}$ ．

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16、因式分解： $m^{2} - 9 n^{2} =$ ．

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17、魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 $π$ 的近似值为 $3.1416$ ．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得 $π$ 的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得 $π$ 的估计值为（）

A、3 B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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18、《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有 $x$ 名农户，下列方程符合题意的是（）

A、 $6 x - 4 = 8 x + 6$ B、 $6 x + 4 = 8 x - 6$ C、 $6 x + 4 = 8 x + 6$ D、 $6 x - 4 = 8 x - 6$

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19、如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $O D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，若 $O E = 2$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $A B =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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20、将含 $60 °$ 角的直角三角板按如图方式摆放，已知 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 15 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $45 °$ B、 $35 °$ C、 $20 °$ D、 $15 °$

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