相关试卷

1、如图，在等边三角形OAB中，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上， $S_{△ O A B} = 4 \sqrt{3}$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象的一支经过点 $A$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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2、为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，长沙市某中学针对九年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程。课程开设后学校花费6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元。设第一批面粉采购量为 $x$ 千克，依题意所列方程正确的是（）

A、 $\frac{9600}{1.5 x} - \frac{6000}{x} = 0.4$ B、 $\frac{9600}{x} - \frac{6000}{1.5 x} = 0.4$ C、 $\frac{6000}{1.5 x} - \frac{9600}{x} = 0.4$ D、 $\frac{6000}{x} - \frac{9600}{1.5 x} = 0.4$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，若 $∠ B = 9 0^{°}, A B = 3, B C = 4$ ，则 $t a n A =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4、如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点．若∠AOB=42°，则∠ACB=（）

A、 $2 1^{°}$ B、 $4 2^{°}$ C、 $4 8^{°}$ D、 $9 6^{°}$

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5、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + k = 0$ 有2个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k \geq 4$ B、 $k > 4$ C、 $k \leq 4$ D、 $k < 4$

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6、若式子 $^{\frac{\sqrt{x}}{x}}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围为（）

A、 $x < 0$ B、 $x \leq 0$ C、 $x > 0$ D、 $x \geq 0$

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7、下列四个数中，是负数的是（）

A、 $| - 8 |$ B、-8 C、 $- (- 8)$ D、 $(- 8)^{2}$

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8、阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点 $+$ 定长”：
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 56 °$ ， D是 $△ A B C$ 外一点，且 $A D = A C$ ，求 $∠ B D C$ 的度数．
解：由题意，若以点 $A$ （定点）为圆心， $A B$ （定长）为半径作辅助圆 $⊙ A$ （可在图1中画出辅助圆 $⊙ A$ ），则点 $C$ 、 $D$ 必在 $⊙ A$ 上， $∠ B A C$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆心角，而 $∠ B D C$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角，从而可容易得到 $∠ B D C =$ ________ $°$ ．
②类型二，“定角 $+$ 定弦”：
如图2， $Rt △ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 12$ ， $B C = 8$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 内部的一个动点，且满足 $∠ P A B = ∠ P B C$ ，求线段 $P C$ 长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵ $∠ A B C = 90 °$ ，
∴ $∠ A B P + ∠ P B C = 90 °$ ，
∵ $∠ P A B = ∠ P B C$ ，
∴ $∠ A B P + ∠ P A B = 90 °$ ，
∴ $∠ A P B =$ _______ $°$ ，（定角）
∴点 $P$ 在以 $A B$ （定弦）为直径的 $⊙ O$ 上，
如图2，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $P$ ，此时 $P C$ 最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边上一动点（点P不与B，C重合），连接 $A P$ ，作点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点 $M$ ，则线段 $M C$ 的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形 $A B C D$ 中， $A D = 10$ ，动点E，F分别在边 $D C$ ， $C B$ 上移动，且满足 $D E = C F$ ．连接 $A E$ 和 $D F$ ，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点 $P$ 的运动路径长．

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9、对于二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 和一次函数 $y = - x + 1$ ，我们把 $y = t (x^{2} - 4 x + 3) + (1 - t) (- x + 1)$ 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线 $y = t (x^{2} - 4 x + 3) + (1 - t) (- x + 1)$ 的顶点坐标为 .
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值.
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .
【应用】二次函数 $y = - 3 x^{2} + 5 x - 2$ 是二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 和一次函数 $y = - x + 1$ 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.

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10、如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 为半径作圆，交 $B C$ 于点 $P$ ．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作出线段 $B P$ 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若（1）中所作的垂直平分线与边 $A B$ 交于点 $Q$ ，连接 $P Q$ ．求证： $P Q$ 是 $⊙ A$ 的切线．

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11、如图，小明所在的数学小组测量计算学校国旗旗杆的高度，小明先在教学楼前台阶的底部点C处，测得旗杆顶端A的仰角为 $63 °$ ，然后他上到台阶顶端点D处，再测旗杆顶端A的仰角为 $45 °$ ，已知教学楼前台阶的斜坡 $C D$ 的坡度为 $1 : 2.4$ ，台阶斜坡 $C D$ 的铅直高度 $D E$ 为2米，求旗杆 $A B$ 的高度．（参考数据： $\sin 63 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63 ° \approx 2.00$ ）

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12、为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？

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13、计算： ${(- 1)}^{2025} + {(3.14 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - |- 4|$ ．

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14、在平面直角坐标系中，若点 $(b, a)$ 与点 $(- 3, 4)$ 关于原点对称，则 $b - a =$ ．

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15、已知方程 $x ^{2} - 3 x + m = 0$ 的一个根是1，则它的另一个根是．

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16、如图，已知 $m ∥ n$ ， $A B = B C$ ，下列数量关系中正确的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 3$ B、 $∠ 2 = ∠ 3$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ D、 $∠ 3 + ∠ 4 = 180 °$

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17、某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点 $A$ 是一只探照灯，距离地面高度 $A B = m$ ，照射角度 $∠ M A N = α$ ，在地平线 $l$ 上的照射范围是线段 $M N$ ，此灯的光照区域 $△ A M N$ 的面积最小值是多少？

(1)、小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设 $α = 90 °$ ， $m = 4$ ，构造 $△ A M N$ 的外接圆 $⊙ O$ ，可得 $O A \geq A B$ ，即 $O A$ 的最小值为4，又 $M N = 2 O A$ ，故得 $M N$ 的最小值为__________，通过计算可得 $△ A M N$ 的面积最小值为__________．

(2)、当 $α = 45 ° ， m = 4$ 时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：
解：作 $△ A M N$ 的外接圆 $⊙ O$ ，作 $O H ⊥ M N$ 于H，设 $M N = 2 x$

(3)、请你写出原题中的结论：光照区域 $△ A M N$ 的面积最小值是__________________________．（用含 $m ， α$ 的式子表示）

(4)、如图3，探照灯A到地平线l距离 $A B = 4$ 米，到垂直于地面的墙壁n的距离 $A D = 6$ 米，探照灯的照射角度 $∠ M A N$ ，且 $∠ M A N = 45 °$ ，光照区域为四边形 $A M C N$ ，点M、N分别在射线 $C D 、 C B$ 上，设 $△ A C M$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C N$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $4 S_{1} + 9 S_{2}$ 的最大值．

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18、已知抛物线 $y = x^{2} - 2 b x + c$ ．

(1)、若点 $(2, c)$ 在抛物线上．
①求抛物线的对称轴；
②当 $0 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的最大值为 $4$ ，求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y = x^{2} - 2 b x + c$ （ $0 < b < 1$ ）最大值与最小值的差为 $\frac{3}{4}$ ，求 $b$ 的值．

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19、综合与实践
【发现并提出问题】
在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？
【分析并解决问题】
探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系
（1）以正方形 $O A B C$ 的顶点O为坐标原点， $O A$ ， $O C$ 所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为 $(4, 4)$ ，再以正方形 $O A B C$ 的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形 $D E F G$ ，使它与正方形 $O A B C$ 位似，且相似比为 $1 : 2$ ，然后按图2的方式将正方形纸片 $O A B C$ 沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子．
请在图1中画出正方形 $D E F G$ ，此时盒子的高h为______；
探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系
（2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形 $A B C D$ 中，若 $A B = a$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，则盒子的高 $P Q$ 为______；（用含a的代数式表示）
【推广并创新应用】
探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系
（3）如图6，矩形硬纸片 $A B C D$ 中， $A B = m$ ， $A D = n$ ，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高 $P Q$ ．（用含有m，n的代数式表示）

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20、已知点 $A (a, b)$ 与点 $B$ 关于 $x$ 轴对称，将点 $A$ 向左平移3个单位长度得到点 $C$ ．若 $B, C$ 两点都在函数 $y = 2 x + 1$ 的图象上，求点 $A$ 的坐标．

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