相关试卷

1、【对等角六边形】定义：在凸六边形 $A B C D E F$ 中，满足 $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ E$ ， $∠ C = ∠ F$ ，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”．

(1)、如图1，对等角六边形 $A B C D E F$ 的对边 $A B$ ， $D E$ 的位置关系是_____；

(2)、如图2，六边形 $A B C D E F$ 是对等角六边形，若 $C D = A F$ ，求证： $B C = E F$ ．

(3)、如图3，在对等角六边形 $A B C D E F$ 中，对角线 $A D 、 B E 、 C F$ 交于点 $O$ ，已知 $S_{六边形 A B C D E F} = 15$ ，求四边形 $A D E F$ 的面积．

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2、【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分 $A C B$ 和矩形 $A D E B$ 的三边构成．隧道的最高点 $C$ 到地面 $D E$ 距离为5.4米，两侧墙面高 $A D = B E = 3$ 米，地面跨度 $D E = 10$ 米．

(1)、【初步探究】如图2，过点 $M$ 作 $M P ⊥ l$ ，已知斜坡的坡角 $α = 10^{\circ}$ ，求涉水线离坡底的距离 $M N$ （精确到0.01米， $sin 10^{\circ} \approx 0.174$ ， $cos 10^{\circ} \approx 0.985$ ， $tan 10^{\circ} \approx 0.176$ ）．

(2)、【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线 $A C B$ 的解析式．

(3)、【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部 $A C B$ 在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高 $h$ 米”（即最大安全限高），求 $h$ 的值（精确到0.1米）．

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3、如图，过 $⊙ O$ 外一点 $D$ 作 $⊙ O$ 的两条切线 $D B$ ， $D C$ ，切点是 $B$ ， $C$ ， $A B$ 为直径，连接 $O D ， O C ， A C$ ．

(1)、求证： $∠ C O D = ∠ B O D$ ；

(2)、 $A C = 2 ， O C = \sqrt{5}$ ，求 $O D$ 的长．

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4、某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用该两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两款产品的学生用户各20名，对两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（成绩用 $x$ 表示，共分四组：A. $60 < x \leq 70$ ， B. $70 < x \leq 80$ ， C. $80 < x \leq 90$ ， D. $90 < x \leq 100$ ）．下面给出了部分信息．
抽取的对甲款产品的所有评分数据：65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99．
抽取的对乙款产品的评分数据中 $C$ 组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90．
抽取的对乙款产品的评分扇形统计图
抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表
产品
中位数
众数
方差
甲
86.5
$b$
92.2
乙
$a$
89
70.6
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ______， $b =$ _____， $m =$ _____；

(2)、若甲、乙两款教育辅助产品的平均数都相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．

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5、广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的点 $A (\sqrt{3} ， 1)$ 为顶点，作菱形 $A O C D$ ，点 $D$ 在 $x$ 轴上，以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径作 $\overset{⌢}{A C}$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、则菱形 $A O C D$ 的边长为______；

(3)、求图中阴影部分的周长（结果保留 $π$ ）．

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6、计算、化简：

(1)、 $(- 3) \times 2 + {(1 - \sqrt{6})}^{0}$ ；

(2)、 $(x + 1) (x - 1) + x^{2} + 1$ ．

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7、如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ， $P$ 是 $B C$ 上一点， $B P = A B$ ．若 $A P = 10$ ，则点 $C$ 到 $A P$ 的距离为．

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8、2025年世界泳联跳水世界杯总决赛在国家游泳中心“水立方”举办．在男子双人10米跳台决赛中，共有来自中国、美国、英国、加拿大的4对选手参赛．赛后，跳水爱好者小赵计划从这4对选手中随机抽取2对的比赛录像进行回看，那么小赵恰好选中中国和英国这2对选手的概率是．

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9、写出一个使函数 $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x}$ 有意义的 $x$ 的值，则 $x$ 的值可以是（写出一个符合要求的 $x$ 的值）．

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10、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $N$ 在 $A D$ 上，将矩形沿 $N P$ 折叠，使点 $B$ 落在顶点 $D$ 处．若 $△ D N P$ 刚好是等边三角形，则 $\frac{A D}{A B}$ 的值为（）

A、 $2 : 1$ B、 $\sqrt{3} : 1$ C、 $2 : \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} : 1$

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11、如图，在某城市中心花园的景观区，规划了三块正方形主题花坛，分别是种植牡丹的花坛 $A B C D$ 、种植月季的花坛 $D E F G$ 和种植雏菊的花坛 $G H I J$ ．已知 $S_{正方形 A B C D} = 10, S_{正方形 G H I J} = 1$ ，且三块花坛沿同一直线方向依次衔接排列，则正方形DEFG的边长可能是（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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12、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则点 $M (a b ， c)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、关于 $x$ 的方程 $(k^{2} + 1) x^{2} + 2 k x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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14、如果 $m x^{2} > n x^{2}$ ，那么下列不等式正确的是（）

A、 $m + x > n + x$ B、 $\frac{m}{x} > \frac{n}{x}$ C、 $- |m| < - |n|$ D、 $m n < n^{2}$

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15、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $B C = 8$ ， $A C = 10$ ，则 $\tan B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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16、如图， $A B ∥ C D$ ，将一把含 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 的直角顶点 $C$ 放在 $C D$ 上，延长 $A C$ 到点 $E$ ，则 $∠ D C E$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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17、计算 $\frac{6 x - 5}{3 x - 1} - \frac{3}{1 - 3 x}$ 的结果等于（）

A、2 B、 $x$ C、 $\frac{6 x - 8}{3 x - 1}$ D、 $\frac{6 x - 2}{9 x^{2} + 1}$

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18、下图是一个圆柱，则它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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19、2025年，广西蔗糖产业迎来丰收年．据相关部门统计，2024-2025年榨季，广西糖料蔗种植面积1135万亩、同比增加11万亩，食糖产量646.5万吨、同比增加28.36万吨．将数“1135万”用科学记数法表示为（）

A、 $11.35 \times 10^{6}$ B、 $1.135 \times 10^{7}$ C、 $1.135 \times 10^{8}$ D、 $0.1135 \times 10^{8}$

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20、下列调查中，适合采用全面调查的是（）

A、了解某班同学的绘画成绩 B、了解秋季水果市场上苹果的质量情况 C、了解我省中学生的课外阅读量 D、了解某品牌某批次手机的防水能力

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产品	中位数	众数	方差
甲	86.5	$b$	92.2
乙	$a$	89	70.6