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1、把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式： $a^{2} + 6 a + 5$
原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 4 = {(a + 3)}^{2} - 4 = (a + 3 + 2) (a + 3 - 2) = (a + 5) (a + 1)$
②利用配方法求最小值：求 $a^{2} + 6 a + 5$ 最小值．
解： $a^{2} + 6 a + 5 = a^{2} + 2 a \cdot 3 + 3^{2} - 3^{2} + 5 = {(a + 3)}^{2} - 4$ ，因为不论 $x$ 取何值， ${(a + 3)}^{2}$ 总是非负数，即 ${(a + 3)}^{2} \geq 0$ ，所以 ${(a + 3)}^{2} - 4 \geq - 4$ ，所以当 $a = - 3$ 时， $a^{2} + 6 a + 5$ 有最小值，最小值是 $- 4$ ．
根据上述材料，解答下列问题：

(1)、填空： $x^{2} - 12 x +$ ________ $= (x -$ ________ $)^{2}$ ；

(2)、将 $x^{2} - 16 x + 5$ 变形为 ${(x + m)}^{2} + n$ 的形式，并求出 $x^{2} - 16 x + 5$ 的最小值；

(3)、若 $M = 7 a^{2} + 18 a + 10$ ， $N = 6 a^{2} + 24 a$ ，其中 $a$ 为任意实数，试比较 $M$ 与 $N$ 的大小，并说明理由．

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2、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 3, 3)$ ， $B (- 4, 0)$ ， $C (- 1, 1)$ ，请回答下列问题：

(1)、将 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘 $- 1$ ，所得的点分别记为 $D$ ， $E$ ， $F$ ；在平面直角坐标系中画出 $△ D E F$ ；并判断 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 关于谁对称？

(2)、在平面直角坐标系中画出 $△ D E F$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ M N P$ （其中点 $D$ ， $E$ ， $F$ 的对称点分别为点 $M$ ， $N$ ；若点 $G (m, n)$ 是线段 $M N$ 上的任意一点，直接写出点 $G$ 在线段 $D E$ 上的对应点的坐标．

(3)、在 y 轴上确定一点Q，使 $A Q + C Q$ 的值最小．

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3、计算与分解因式

(1)、计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} - {(π - 3)}^{0} - |- 3| + {(- 1)}^{2022}$

(2)、分解因式： ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y^{2}$ ．

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4、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 为边 $A C$ 的中点， $B D = 12 cm$ ， $P$ 为中线 $B D$ 上的动点，则 $P C + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是．

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5、如图， $A M ⊥ M N$ 于 $M$ ，且 $M N : N C = 1 : 2$ ， $A N = A C$ ，若 $∠ N A C = 40 °$ ，则 $∠ M A N =$ ．

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6、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点O， $∠ A C B$ 的外角平分线所在直线与 $∠ A B C$ 的平分线相交于点D，与 $∠ A B C$ 的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（）个．
① $∠ B O C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ；② $∠ D = \frac{1}{2} ∠ A$ ；③ $∠ E = ∠ A$ ；④ $∠ E + ∠ D C F = 90 ° + ∠ A B D$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，例如： $f (3) = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$ ，则 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{1}{2024}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \dots + f (2024) + f (2025)$ 的值为（）

A、2025 B、2024 C、 $2023.5$ D、 $2024.5$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $D$ 是线段 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A D$ ，且 $A E = A D$ ，连接 $E C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，若 $B D = 3.3$ ， $B F = 2.5$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、8.3 B、8.5 C、8.7 D、9.1

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9、若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 $a b - a c = b^{2} - b c$ ，则这个三角形一定是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形

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10、2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种邮票．某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套．其中，“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，已知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元．聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程
聪聪： $\frac{970}{x} - \frac{1050}{35 - x} = 55$
明明： $\frac{970}{y + 55} + \frac{1050}{y} = 35$
下列判断正确的是（）

A、聪聪设的未知量 $x$ 表示“小版邮票册”的单价 B、聪聪设的未知量 $x$ 表示“小版邮票册”的数量 C、明明设的未知量 $y$ 表示“小版邮票册”的单价 D、明明设的未知量 $y$ 表示“小版邮票册”的数量

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $∠ B = 36 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 的中点，则下列结论：① $△ A C D$ 是等腰三角形；② $D E ⊥ B A$ ；③ $A C = B D$ ；④ $C D = D E$ ．其中正确的有（）

A、①③④ B、①② C、①②③ D、①②③④

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12、将分式 $\frac{m n}{m - n}$ 中的 $m$ 、 $n$ 都扩大为原来的3倍，则分式的值（）

A、不变 B、扩大3倍 C、扩大9倍 D、缩小3倍

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13、若点 $M (a, 3)$ 和点 $N (4, b)$ 关于y轴对称，则 ${(a + b)}^{2025}$ 的值为．

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14、长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $C E$ ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 $B D$ 的长为 $15$ 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为 $25$ 米；
③牵线放风筝的小明的身高为 $1.6$ 米．

(1)、求风筝的垂直高度 $C E$ ；

(2)、如果小明想风筝沿 $C D$ 方向下降 $12$ 米，则他应该往回收线多少米？

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15、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $sin A$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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16、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与x轴交于点 $A (- 4, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线关系式；

(2)、已知P是直线 $A C$ 下方抛物线上一动点，连接 $P A, P C$ ，求四边形 $A P C B$ 面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴 $D E$ 交x轴于点E，M是直线 $A C$ 上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D在边 $A C$ 上， $∠ D B C = ∠ B A C$ ． $⊙ O$ 经过A、B、D三点．连接 $D O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点E，连接 $A E$ ， $D E$ 与 $A B$ 交于点F．

(1)、求证： $C B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A B = E B$ ；

(3)、若 $B E = 5 \sqrt{6}$ ， $B C = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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18、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 的两个实数根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 16 + x_{1} x_{2}$ ，求 $k$ 的值．

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19、随着通信技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、更便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”的调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)、这次共抽查了________名学生；在扇形统计图中，表示“ $Q Q$ ”的扇形圆心角的度数为_________．

(2)、请将条形统计图补充完整．

(3)、若该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名．

(4)、某天，甲、乙两名同学都想从“微信”“ $Q Q$ ”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．

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20、如图，在 $▱ A B C D$ 中，E是 $C D$ 的中点， $A E$ 的延长线与 $B C$ 的延长线相交于点F．求证： $C F = B C$ ．

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