相关试卷

1、1比例线段
四条线段a，b，c，d中，如果a 与b 的比等于c与 d 的比，即①   ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
2比例的性质
⑴基本性质：
$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ ⇔ad=②  (a，b，c，d 都不为0)；
⑵比例中项：
如果三个数 a，b，c满足比例式 $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ ⇔③   ，那么b 就叫做a，c的比例中项.
3黄金分割
如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和PB，使AP>PB，且④   ，那么称线段 AB 被点 P 黄金分割，点 P 叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段 AP与整条线段AB 的比叫做黄金比，黄金比 $\frac{A P}{A B} =$ ⑤  ≈⑥  .
4由平行线截得的比例线段
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例.
如图，若l₁∥l₂∥l₃ ，则 $\frac{A B}{A C} = \frac{D E}{D F} ， \frac{B C}{A C} =$ ⑦   ， $\frac{A B}{B C} =$ ⑧    .

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2、如图是由 8个全等的直角三角形拼成的正方形 ABCD，其中三角形的直角边长分别为a，b.

(1)、正方形 ABCD 的面积为，正方形IJKL 的面积为；(用含a，b 的式子表示)

(2)、根据正方形 ABCD 的面积及正方形IJKL 的面积之间的关系，可得((a+b)² ， ab， ${(a - b)}^{2}$ 之间的等量关系为；

(3)、请通过计算证明上述等量关系；

(4)、记正方形ABCD，正方形 EFGH，正方形IJKL 的面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ，若 $S_{1} + S_{2} +$ S₃=30，Rt△AEH 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求 ${(a - b)}^{2}$ 的值.

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3、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点 E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆的面积为 S₁ ， △ABC 的面积为 S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是( )

A、 $\frac{5 π}{2}$ B、3π C、5π D、 $\frac{11 π}{2}$

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4、如图所示，在Rt△ABC 中， ∠C=90°，AC=8，BC=6.若BD 平分 ∠ABC，交AC 于点D，则AD=.

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5、如图，在△ABC中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG⊥CE 于点G，且EG=GC.若∠BCE=18°，则∠B 的度数是.

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6、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA 在第一象限，且与x 轴正半轴的夹角为30°，C 为OA 的中点，BC=1，则点 A的坐标为.

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7、如图，在 Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D，∠BCD =22.5°，E 是斜边 AB 的中点，且 CD =1，则AB 的长为( )

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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8、

命题	一般地，判断某一件事情的句子叫做命题.正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题.命题一般由和两部分组成
互逆命题	在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题要判定一个命题是真命题需证明
命题真假判断	要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法
反证法	在证明一个命题时，先假设，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法

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9、如图，在正方形网格中有两条直线 AC与BC，点 A，B，C 均在格点上，则∠BAC 的度数为.

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10、

勾股定理	直角三角形两条直角边的平方和等于
勾股定理的逆定理	如果三角形中两边的平方和等于第三边的，那么这个三角形是直角三角形

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11、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，∠B=30°，AC=5，则CD= ， ∠ADC=°.

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12、

直角三角形 △ACD，△BCD均为等腰三角形	性质	直角三角形的两个锐角：∠A+∠B=
		直角三角形斜边上的中线等于；CD= AB
		在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
	判定	有一个角是的三角形是直角三角形
		有两个角的三角形是直角三角形
	拓展	$(1) S_{R t △ A B C} = \frac{1}{2} c h = \frac{1}{2} a b ，$ 其中a，b为两直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高线长； (2)Rt△ABC 内切圆半径 $r = \frac{a + b - c}{2} ，$ 外接圆半径 $R = \frac{c}{2} ，$ 即等于斜边的一半

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13、如图，在平面直角坐标系中，点A(3，1)，点P 在x 轴上，若以 P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有( )

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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14、若等腰三角形一腰上的高是另一腰长的一半，则顶角的度数是.

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15、如图，等边三角形 ABC 的边长为4，D是AC 上一点，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC于点E，若线段 BE=x，Rt△CDE 的面积y是线段 BE 的长度x 的二次函数，则这个函数的顶点式是.(写出自变量的取值范围)

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16、【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在△ABC 中，若 AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=AC，即知 AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD 替换为AB+BD=AC+CD，还能推出∠B=∠C吗?
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方法.
小军
小民
证明：分别延长 DB，DC 至 E，F 两点，使得……
证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC 均
为直角三角形
根据勾股定理，得
【问题解决】

(1)、完成①的证明；

(2)、把②中小军、小民的证明过程补充完整.

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17、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，E 是 AC 边上的一点，连结DE.若∠BAC=30°，∠CED=120°，DE=1，则AE 的长为.

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18、追本溯源
题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).

(1)、如图①，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，过点 D 作BC 的平行线，交AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由.

(2)、方法应用
如图②，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC，交边AD 于点E，过点 A 作AF⊥BE 交 DC的延长线于点 F，交 BC 于点G.
①图中一定是等腰三角形的有(▲)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3，BC=5，求CF 的长.

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19、如图，在△ABC 中，AB=AC，点 E，F 分别在边 AB，AC 上，且CB=CE=CF，连结BF.

(1)、若∠A=40°，求∠BFC 的度数；

(2)、若∠BFC +∠BEC = 126°，求∠A 的度数.

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20、
性质
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
逆定理
到线段两端距离相等的点在线段的上

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性质	线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
逆定理	到线段两端距离相等的点在线段的上