相关试卷

1、下列从左到右的变形，是因式分解的是（）

A、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ B、 $a^{2} - 3 a - 1 = a (a - 3) - 1$ C、 $2 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)$ D、 $6 a^{2} - 2 a = 2 a (3 a - 1)$

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2、下列式子是分式的是（）

A、 $\frac{2}{3} x$ B、 $\frac{2}{π}$ C、 $\frac{2}{3 x}$ D、 $\frac{2 + x}{3 - π}$

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3、下列说法：①10的平方根是 $\pm \sqrt{10}$ ；②负数和零没有立方根；③ $\sqrt{2} - 1$ 的相反数是 $1 - \sqrt{2}$ ；④16的算术平方根是4；⑤ $0.008$ 的立方根是 $0.2$ ，其中正确的有（）.

A、4个 B、3个 C、2个 D、5个

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4、如图1，在等边 $△ A B C$ 中，点D在 $A C$ 上，点E在 $A B$ 上，连接 $B D$ ， $C E$ 交于点F， $A E = C D$ ．

(1)、求 $∠ E F B$ 的度数；

(2)、如图2，连接 $A F$ ，若 $A F ⊥ F C$ ，求证： $C F = 2 B F$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，将 $D F$ 沿 $A F$ 对称，交 $A B$ 于点M，过点A作 $A F$ 的垂线交直线 $F M$ 于点N，若 $C F = 8$ ，求 $M N$ 的长．

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5、综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【提出问题】
问题1：探究图1中， $△ A O E$ 、 $△ B O E$ 、 $△ A O F$ 、 $△ C O F$ 、 $△ B O D$ 、 $△ C O D$ 这6个小三角形的面积关系？
问题2：探究图1中的 $A O : D O$ ， $B O : F O$ ， $C O : E O$ 的值是多少？
老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题．
【解决问题】
（1） $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 等底同高，可以得到它们面积的大小关系为： $S_{△ A B D}$ ______ $S_{△ A C D}$ （填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）；
（2）在 $△ A B C$ 中，由于点D是 $B C$ 边中点，那么 $△ A D C$ 的面积是 $△ A B C$ 的面积的 $\frac{1}{2}$ ，同理 $△ B C F$ 的面积是 $△ A B C$ 的面积的 $\frac{1}{2}$ ，这样 $△ A C D$ 的面积与 $△ B C F$ 的面积相等，减去公共部分可得 $△ B O D$ 的面积与______的面积相等，同样可得 $△ C O D$ 的面积与 $△ A O E$ 的面积相等，从而可得 $△ A O E$ 、 $△ B O E$ 、 $△ A O F$ 、 $△ C O F$ 、 $△ B O D$ 、 $△ C O D$ 这6个小三角形面积相等；
（3）由 $△ A O B$ 的面积是 $△ B O D$ 的面积的2倍，可得 $A O : D O =$ ______，同理可得： $B O : F O = C O : E O =$ ______；
【拓展应用】
（4）如图2，在 $△ A B C$ 中，点F是 $△ A B C$ 的重心，连接 $B F$ ， $C F$ 并延长分别交 $A C$ ， $A B$ 于点E，D，若 $B E ⊥ C D$ ， $C D = 21$ ， $B E = 9$ ，直接利用上面的结论，求四边形 $A D F E$ 的面积．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，过点D作 $D E ∥ A C$ 交 $A B$ 于点E，过点D作 $D F ⊥ A B$ 于点F．

(1)、求证： $A E = D E$ ；

(2)、如果 $A E = 4$ ， $B D = 3$ ，求 $E F$ 的长．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，在边 $A C$ 上求作点D，使 $B C = A B + D A$ ，小明发现作 $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于点D，点D即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明，并补全图形．
证明：过点D作 $D P ⊥ B C$ 于点P
∵ $∠ A = 90 °$ ， ∴ $D A ⊥ A B$
∵ $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，
∴ $D A = D P$ （推理依据：_______）
∵ $D P ⊥ B C$ ， ∴ $∠ C P D = ∠ B P D = 90 °$ ，
在 $Rt △ A B D$ 和 $Rt △ P B D$ 中，
$\{\begin{array}{l} D A = D P \\ B D = B D \end{array}$ ，
∴ $Rt △ A B D ≌ Rt △ P B D$ ，
∴ $P B = A B$ （推理依据：________）
∵ $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， ∴ $∠ C = 45 °$ ，
在 $Rt △ C P D$ 中， $∠ C D P = 90 ° - ∠ C = 45 °$ ，
∴ $∠ C = ∠ C D P$ ， ∴ $P C =$ ______（推理依据：________）
∵ $B C = P B + P C$ ， ∴ $B C = A B + D A$

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8、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 70 °$ ， $A D$ 、 $A E$ 分别是 $△ A B C$ 的角平分线和高线，补全图形并求 $∠ D A E$ 的度数．

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9、如图， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点O，且O是 $A C$ 中点，求证： $O D = O B$ ．

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10、如图，等边 $△ A B C$ 的周长是18， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D =$ ．

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11、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ B A C = 140 °$ ， $A B = A C$ ，根据图中尺规作图的痕迹推断，可以求得 $∠ D A C =$ 度．

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12、宋锦作为中国古代丝织技艺的杰出代表，凭借独特的织造结构与典雅的艺术风格，承载着深厚的中华传统文化底蕴与美学精髓．其纹样品类丰富、形态各异，在以下纹样中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图，四边形 $A B C D$ 是一块实践基地，已知 $∠ D = ∠ C A B = 90 °$ ， $A D = 12$ 米， $C D = 16$ 米，点E在 $A B$ 边上，连接 $C E$ ， $C E = 25$ 米．

(1)、求四边形 $A D C E$ 的面积；

(2)、若 $C E$ 将 $△ A B C$ 的周长平分，求 $B E$ 的长．

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14、已知小明家、超市、学校、书店依次在同一条直线上，超市、学校、书店离小明家的距离分别为 $0.4 km, 1.6 km, 2 km$ ．小明放学后从学校出发，先匀速步行 $5 min$ 到达书店，在书店停留了 $15 min$ ，之后匀速骑行 $8 min$ 到达超市，在超市停留 $5 min$ 后，再匀速步行 $5 min$ 返回家．下面图中 $x$ 表示时间， $y$ 表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、①填表：
小明离开学校的时间 $/ min$
5
15
24
30
小明离家的距离 $/ km$

2

②填空：小明从超市返回家的速度为_____ $km / min$ ；
③当 $0 \leq x \leq 28$ 时，请直接写出小明离家的距离 $y$ 关于时间 $x$ 的函数解析式；

(2)、小明的哥哥小亮和小明在同一所学校上学，当小明离开书店时，小亮从学校出发匀速步行直接返回家，如果小亮比小明早 $2 min$ 返回家；那么他在返回家的途中 $(0.4 < y < 1.6)$ 遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）

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15、如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学楼顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36）

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16、已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $E F$ 切 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $B$ 作 $B H ⊥ E F$ 于点 $H$ ，交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $B D$ ．

(1)、如图①，若 $∠ B D H = 65 °$ ，求 $∠ A B H$ 的大小；

(2)、如图②，若 $C$ 为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点， $O B = 1$ ，求线段 $B D$ 的长．

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17、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $△ A B C$ 内接于圆，点 $A, B$ 均在格点上，且 $∠ A C B = 36 °$ ．
（I）线段 $A B$ 的长等于；
（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 $P$ ，使 $∠ A P B = 3 ∠ A C B$ ，并简要说明点 $P$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

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18、计算 $(\sqrt{14} + \sqrt{11}) (\sqrt{14} - \sqrt{11})$ 的结果等于．

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19、计算 ${(x y^{2})}^{2}$ 的结果为．

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20、如图，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转得到 $△ D B E$ ，点C的对应点为E，点A的对应点D落在 $A C$ 的延长线上，连接 $E C$ ．则下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ B A C = ∠ D B E$ B、 $A B = C E$ C、 $∠ B D E = ∠ B D C$ D、 $B C = E D$

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小明离开学校的时间 $/ min$	5	15	24	30
小明离家的距离 $/ km$		2