相关试卷

1、如图，点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B A C = 45 °, O B = 2$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $π - 4$ B、 $\frac{2 π}{3} - 1$ C、 $π - 2$ D、 $\frac{2 π}{3} - 2$

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $C D = 2 ， ∠ D B C = 30 °$ ．若将 $B D$ 绕点B旋转后，点D落在 $B C$ 延长线上的点E处，点D经过的路径 $\overset{⌢}{D E}$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{2}{3} π - 2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{3} π - \sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - 4 \sqrt{3}$

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3、抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图， $A C$ ， $B D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ， $D$ ，延长 $A C$ ， $B D$ 交于点 $P$ ．若 $∠ P = 135 °$ ， $⊙ O$ 的半径为 $8 cm$ ，则图中 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为 $cm$ ．（结果保留 $π$ ）

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4、如图，用一个半径为 $10$ cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升 $5 π$ cm，则滑轮旋转的角度为 $°$ ．

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5、如图，正五边形 $A B C D E$ 的边 $A B$ ， $A E$ 与 $⊙ O$ 分别相切于点 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 在 $\overset{⌢}{M N}$ 上，连接 $P M$ ， $P N$ ，则 $∠ M P N$ 的度数为．

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6、如图， $A C$ 圆 $O$ 内接正六边形的一边，点 $B$ 在弧 $A C$ 上，且 $B C$ 是圆 $O$ 内接正八边形的一边．此时 $A B$ 是圆 $O$ 内接正 $n$ 边形的一边，则 $n$ 的值是（）

A、12 B、16 C、20 D、24

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7、如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，点M在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，则 $∠ C M E$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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8、如图，已知直线 $y = \frac{4}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，且与 $x$ 轴的另一个交点为 $B$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、 $D$ 是第二象限内抛物线上的动点，设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ，求三角形 $A C D$ 面积 $S$ 的最大值及此时 $D$ 点的坐标；

(3)、若点 $P$ 在抛物线对称轴上，是否存在点 $P$ ， $Q$ ，使以点 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是以 $A C$ 为对角线的菱形？若存在，请求出 $P$ ， $Q$ 两点的坐标．

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9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 过点 $(- 1,2)$ ，且交 $x$ 轴于点 $A$ ， $B (1,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上的一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $A C$ 于点 $E$ ，求 $P E + D E$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

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10、图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图 $2$ ，发石车位于点 $O$ 处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形 $A B C D$ ，墙宽 $B C$ 为 $2$ 米，点 $B$ 与点 $O$ 的水平距离为 $23$ 米，垂直距离为 $6$ 米．以点 $O$ 为原点，水平方向为 $x$ 轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 $y = a {(x - 15)}^{2} + k$ 的一部分．

(1)、若发射石块在空中飞行的最大高度为 $9$ 米．
①求抛物线的解析式（不用写出 $x$ 的取值范围）；
②石块能否飞越防御墙．

(2)、若要使石块恰好落在防御墙顶部 $B C$ 上（不包括端点 $B$ ， $C ）$ ，直接写出 $a$ 的取值范围．

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11、某公司购进一种商品进行销售，经过市场调研，整理出这种商品在第 $x (1 \leq x < 30)$ 天的售价与日销售量的相关信息如下表所示，且得到在第 $x (30 \leq x \leq 48)$ 天的日销售利润 $y$ （元）与 $x$ 的关系为 $y = - 80 x + 4800$ ．已知这种商品的进价为20元/千克．
时间 $x$ /天
$1 \leq x < 30$
售价/（元/千克）
$x + 30$
日销售量/千克
$- 2 x + 120$

(1)、求 $1 \leq x < 30$ 时，日销售利润 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、在 $1 \leq x \leq 48$ 时，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

(3)、公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠 $n$ 元 $(n < 9)$ 给“希望工程”，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x (1 \leq x \leq 28)$ 的增大而增大，直接写出 $n$ 的整数值．

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12、利用素材解决∶《桥梁的设计》

问题驱动	某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽 $A B = L$ ，称跨度，桥面最高点到 $A B$ 的距离 $C D = h$ 称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度 $L = 32$ 米，拱高 $h = 8$ 米．
设计方案	方案一	方案二
设计类型	圆弧型	抛物线型
图形
任务	⑴尺规作图∶已知 $\overset{⌢}{A B}$ ，通过尺规作图作 $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法） ⑵ $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的半径的值是_▲_米．	⑶以 $A B$ 所在直线为x轴， $A B$ 的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式．

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13、根据以下素材，探索完成任务．

如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？
素材1	图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台 $A B$ 长为 $1$ 米，平台 $A B$ 距地面 $18$ 米．以地面所在直线为 $x$ 轴，过点 $B$ 垂直于地面的直线为 $y$ 轴，取 $1$ 米为单位长度，建立如图2的平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为 $y = \frac{1}{5} x^{2} - 4 x + c$ ．
素材2	运动员（看成点）在 $B A$ 方向获得速度 $v$ 米 $/$ 秒后，从 $A$ 处向右下飞向滑道，点 $M$ 是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为 $t$ 秒，运动员与点 $A$ 的竖直距离为 $h$ 米，运动员与点 $A$ 的水平距离为 $l$ 米．
素材3	实验表明： $h = 6 t^{2}$ ， $l = v t$ ．
素材4	滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若 $5 \leq x \leq 7$ 时，飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在 $8 ~ 10$ 米的范围内即可获得奖励．
问题解决
任务1	确定滑道形状	根据图2，求滑道抛物线的解析式；
任务2	确定滑雪爱好者与滑道位置关系	根据图3，当 $v = 5$ ， $t = 1$ 时，判断此时滑雪爱好者是否在滑道上？
任务3	确定滑雪爱好者的滑雪方案	滑雪爱好者从 $A$ 处飞出，飞出的路径近似看成函数 $y = - \frac{1}{5} x^{2} + \frac{2}{5} x + t$ ，若该滑雪爱好者能够获得奖励，求整数 $t$ 的值．

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14、如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口 $H$ 离地面竖直高度 $O H$ 为 $1.5 m$ ．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 $D E F G$ ，其水平宽度 $D E = 3 m$ ，竖直高度 $E F = 0.5 m$ ．内边缘抛物线 $y_{2}$ 是由外边缘抛物线 $y_{1}$ 向左平移得到，外边缘抛物线 $y_{1}$ 的最高点 $A$ 离喷水口的水平距离为 $2 m$ ，高出喷水口 $0.5 m$ ．

(1)、求外边缘抛物线 $y_{1}$ 的函数表达式；

(2)、求内边缘抛物线 $y_{2}$ 与 $x$ 轴的正半轴交点 $B$ 的坐标；

(3)、要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 $O D$ 的取值范围．

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15、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 $26 m$ 长的篱笆围成一个矩形花园 $A B C D$ （篱笆只围 $A B$ ， $B C$ 两边），设 $B C = x m$ ．

(1)、若矩形花园 $A B C D$ 的面积为 $168 m^{2}$ ，求x的值；

(2)、若在P处有一棵树，树中心P与墙 $C D$ 、 $A D$ 的距离分别是 $13 m$ 和 $6 m$ ，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形 $A B C D$ 时，需将以P为圆心， $1.5$ 为半径的圆形区域围在内），求矩形花园 $A B C D$ 的面积S的最大值．

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16、如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3, y_{1})$ 、 $B (1, y_{2})$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + c \geq - k x + m$ 的解集是．

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17、如图抛物线 $y_{1} = a x^{2} + c$ 与直线 $y_{2} = k x + b$ 交于点 $A (- 4, p)$ ， $B (2, q)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + c + k x - b < 0$ 的解集是．

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18、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的解为．

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19、二次函数 $y = x^{2} + x - 2024$ 的图象与 $x$ 轴交于 $(a, 0)$ ， $(b, 0)$ 两点，则 $(a^{2} + 2 a - 2024) (b^{2} + 2 b - 2024)$ 的值是（）

A、2025 B、 $- 2025$ C、2024 D、 $- 2024$

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20、抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．若关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + 3 - t = 0$ （t为实数）在 $- 1 < x < 4$ 的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）

A、 $2 \leq t < 11$ B、 $t \geq 2$ C、 $6 < t < 11$ D、 $2 < t < 6$

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时间 $x$ /天	$1 \leq x < 30$
售价/（元/千克）	$x + 30$
日销售量/千克	$- 2 x + 120$