相关试卷

在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：

小聪：$\sqrt{4\times 25}=\sqrt{100}=10$ ， $\sqrt{4}\times \sqrt{25}=2\times 5=10$ ． 所以$\sqrt{4\times 25}=\sqrt{4}\times \sqrt{25}$ ．

小明：${\left(\sqrt{4\times 25}\right)}^2=4\times 25=100$ ， ${\left(\sqrt{4}\times \sqrt{25}\right)}^2={\left(2\times 5\right)}^2=100$ ．

这就说明$\sqrt{4\times 25}$和$\sqrt{4}\times \sqrt{25}$都是$4\times 25$的算术平方根，而$4\times 25$的算术平方根只有一个，所以$\sqrt{4\times 25}=\sqrt{4}\times \sqrt{25}$ ．

任务：

已知：如图，在三角形$ABC$中，$CD\perp AB$于点D，E是$AC$上一点，$\angle 1+\angle 2=90°$ ．

求证：$DE\text{∥}BC$ ．

证明：∵$CD\perp AB$（已知），

∴$\angle ADC=$__________（__________）．

∴$\angle 1+$__________$=90°$ ，

∵$\angle 1+\angle 2=90°$（已知），

∴$\angle CDE=$__________．

∴$DE\text{∥}BC$（__________）．

项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等，目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．

概念学习：

在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比$k=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{2}$ ．

任务一：

①如图3，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k=         ．

②如图4，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为$y=\frac{3}{4}x\left(0\le x\le 8\right)$ ， 其目标矩形的纵横比k=         ．

任务二：如图5和图6，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，最高点C与水面的距离CD为5米，其目标矩形的纵横比$k=\frac{1}{4}$ ， 求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．

任务三：如图7和图8，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为$y=\frac{8}{x}\left(1\le x\le m\right)$ ， 其中点M(1，8)，其目标矩形的纵横比$k=\sqrt{2}$ ， 求m 的值．

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系$xOy$ ， 对两点$A\left(x_1,y_1\right)$和$B\left(x_2,y_2\right)$ ， 用以下方式定义两点间距离：$d(A,B)=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$ ．

【数学理解】

（1）①已知点$A\left(-2,1\right)$ ， 则$d\left(O,A\right)=$_________．

②函数$y=-2x+4(0\le x\le 2)$的图象如图①所示，B是图象上一点，$d\left(O,B\right)=3$ ， 则点B的坐标是________．

（2）函数$y=\frac{4}{x}\left(x>0\right)$的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使$d\left(O,C\right)=3$ ．

（3）函数$y=x^2-5x+7(x\ge 0)$的图象如图③所示，D是图象上一点，求$d\left(O,D\right)$的最小值及对应的点D的坐标．

【问题呈现】如图1，$△ABC$内部有一点P，连接$PA、PB、PC$ ， 求$PA+PB+PC$的最小值．

【问题解快】小明是这样做的：他将$△APC$绕点C顺时针旋转$60°$得到$△EDC$ ， 连接$PD$ ， 可得$△PCD$为等边三角形，故$PC=PD$ ， 由旋转可得$PA=DE$ ， 因此$PA+PB+PC=DE+PB+PD$ ．

（1）由_______（数学依据）可知：$PA+PB+PC$的最小值与线段的_______的长度相等，此时$\angle BPC=$_______

（2）【类比应用】如图2，在$△ABC$中，$\angle ACB=60°,AC=6,BC=4,P$为$△ABC$内一点，连接$PA、PB、PC$ ， 求$PA+PB+PC$的最小值．

（3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中$\angle B=90°,\angle BAD=105°$ ， $AB=BC=40$米，$AD=40\sqrt{2}$米，规划部门计划在等腰$\text{Rt}△MNQ$区域种植花卉，其中$M、N$是边$AB、BC$上的两个动点，且始终保持$BM=CN$ ． 同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向$A、D、Q$处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得$PA+PD+PQ$最小，若存在，请求出$PA+PD+PQ$的最小值；若不存在，请说明理由．

（2）如图（2），在$△ABC$中，$AB=AC$ ， 点D、E分别在$AB、AC$上，且$BD=CE$ ， 请你只用无刻度的直尺画出$BC$边的垂直平分线，并说明理由.