相关试卷

1、2025年12月25日，首届粤港澳大湾区低空经济高质量发展大会在广州海珠区举行，“无人机送外卖”正式走进了人们的日常生活．若某外卖订单配送快递员骑行路程为 $10 km$ ，无人机走直线路程为 $8 km$ ，无人机速度是快递员速度的3倍，若两者同时配送，无人机比快递员早到22分钟．设外卖员配送速度为 $x km / h$ ，根据题意可列分式方程（）

A、 $\frac{10}{3 x} - \frac{8}{x} = 22$ B、 $\frac{10}{x} - \frac{8}{3 x} = 22$ C、 $\frac{10}{3 x} - \frac{8}{x} = \frac{11}{30}$ D、 $\frac{10}{x} - \frac{8}{3 x} = \frac{11}{30}$

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2、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（）

A、 $∠ B A D = ∠ B$ B、 $D E ⊥ A B$ C、 $D E = D C$ D、 $∠ B D E = ∠ B A C$

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3、如图是一次函数 $y = k x + b$ 的图象，当 $k x + b \geq 0$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < 3$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x \geq - 2$

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4、为了解我国古代数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》四本数学著作中选取一本进行阅读．他在这四本书名对应的卡片中随机抽取一张，恰好抽到书名为《九章算术》的卡片的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5、下列图案是国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、材料：对于一个关于 $x$ 的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例：
例：求 $x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值；
解：令 $x^{2} + 2 x + 5 = y$
$∴ x^{2} + 2 x + (5 - y) = 0$
$∴ Δ = 4 - 4 \times (5 - y) \geq 0$
$∴ y \geq 4$ ， $∴ x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值为 $4$ ．
请利用上述方法解决下列问题：
题一：如图1，在 $△ A B C$ 中， $B C = 10$ ，高 $A D = 8$ ，矩形 $E F P Q$ 的一边 $Q P$ 在边上， $E$ 、 $F$ 两点分别在 $A B$ 、 $A C$ 上， $A D$ 交 $E F$ 于点 $H$ ．设 $E Q = x$ ．
①用含 $x$ 的代数式表示 $E F$ 的长为________；
②求矩形 $E F P Q$ 的面积最大值．
题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为 $300$ 平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

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7、据统计， $2023$ 年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约 $4.5$ 万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强， $2025$ 年“五一”假期接待游客量达约 $7.605$ 万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有 $40$ 间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为 $200$ 元时可全部住满；每间客房每天定价每增加 $20$ 元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出 $40$ 元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用．

(1)、求 $2023$ 年“五一”到 $2025$ 年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率；

(2)、为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为 $8640$ 元？

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8、如图，三个边长均为3的正方形重叠在一起， $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是．

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9、某农科所在相同条件下进行麦粒发芽率的试验，结果如下表所示：
麦粒粒数n
100
200
500
1000
2000
5000
发芽麦粒粒数m
93
188
473
954
1906
4749
发芽麦粒频率 $\frac{m}{n}$
0.93
0.94
0.946
0.954
0.953
0.9498
根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）．

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10、方程 $x^{2} - 3 x = 2$ 两个根的积为．

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11、若方程 ${(x + 2)}^{2} = 2 x + 5$ 的二次项系数是1，则一次项系数是．

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12、如图，在长 $70 m$ ，宽 $40 m$ 的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是 $2450 m^{2}$ ，若设路宽为 $x m$ ，则 $x$ 应满足的方程是（）

A、 $(40 - x) (70 - x) = 350$ B、 $(40 - 2 x) (70 - 3 x) = 2450$ C、 $(40 - 2 x) (70 - 3 x) = 350$ D、 $(40 - x) (70 - x) = 2150$

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13、正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1）， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

(1)、作出 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 的 $△ A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、再作出 $△ A B_{1} C_{1}$ 关于原点O成中心对称的 $△ A_{1} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、 $A_{1}$ 的坐标为， $B_{1}$ 的坐标为，点 $C_{2}$ 的坐标为．

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14、
【问题提出】
如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除．
【问题探究】
以四位数为例，设 $\bar{a b c d}$ 是一个四位数，若 $a + b + c + d$ 可以被3整除，则这个数可以被3整除．
这个结论的论证过程表述如下：
$\bar{a b c d} = 1000 a + 100 b + 10 c + d = (999 a + 99 b + 9 c) + (a + b + c + d)$ ．显然 $(999 a + 99 b + 9 c)$ 能被3整除，因此，若 $(a + b + c + d)$ 能被3整除，则 $\bar{a b c d}$ 就能被3整除．
【类比探究】
判断一个三位数 $\bar{a b c}$ 能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征：
三位数
能否被7整除
特征
133
能
$13 - 2 \times 3 = 7$ ， 7能被7整除
224
能
$22 - 2 \times 4 = 14$ ， 14能被7整除
294
能
$29 - 2 \times 4 = 21$ ， 21能被7整除
148
不能
$14 - 2 \times 8 = - 2$ ， $- 2$ 不能被7整除
（1）根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数 $\bar{a b c}$ ，如果________可以被7整除，那么 $\bar{a b c}$ 就能被7整除；
（2）证明这个猜想的正确性．
【拓展应用】
结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是 $b$ ，除个位数字外的部分用 $a$ 表示，推理过程与上面相同，依然能得到当 $a - 2 b$ 是 $7$ 的倍数时，原数能被 $7$ 整除；
（3）①若一个正数 $m$ 能被 $7$ 整除， $m$ 的最后三位数为 $256$ ，求 $m$ 的最小值．
②四位数 $\bar{1 a b 9}$ ，既能被 $3$ 整除，也能被 $7$ 整除，直接写出 $a$ 与 $b$ 之间满足的关系．

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15、为响应第四届全民阅读大会“培育读书风尚，建设文化强国”的号召，并落实教育部等八部门关于深入实施青少年学生读书行动的要求，佛山市大力推进“书香校园”建设．某校数学实践小组围绕“我最喜爱的佛山文化读物”主题，对全校学生进行抽样调查，以了解学生们对本地特色文化书籍的阅读偏好．调查的读物类型包括：“ $A$ 美食文化类（如《寻味顺德》）”“ $B$ 龙舟/武术文化类”“ $C$ 香云纱/粤剧文化类”“ $D$ 佛山少儿绘本类”和“ $E$ 其他类”．调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据调查信息，回答下列问题：

(1)、本次调查共抽查了________名学生， $m$ 的值为________；

(2)、补全条形统计图；

(3)、若全校共有 $2000$ 名学生，估计该校最喜爱“龙舟/武术文化类”图书的学生有多少名？

(4)、假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是 $B C$ 的中点，以A为圆心的圆过点D．

(1)、求证： $B C$ 与 $⊙ A$ 相切；

(2)、若 $A B = 10$ ， $\sin B = \frac{1}{2}$ ，求阴影部分的面积．

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17、体育强则中国强，总书记对体育强国的建设始终高度重视，某校积极响应号召，组织班级篮球比赛．在比赛中，一名 $1.8$ 米的运动员，从A点跳离地面高度 $0.2$ 米时，球在头顶 $0.25$ 米处B点出手，当篮球运行的水平距离为 $2.5$ 米时，达到最大高度 $3.5$ 米，然后准确落入篮筐中心C点．已知篮筐中心到地面的距离为 $3.05$ 米，篮球在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．

(1)、请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式；

(2)、在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分．已知三分线与篮筐中心的水平距离为 $6.75 m$ ，请通过计算判断运动员此次投篮的得分．

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18、如图， $A C$ 是平行四边形 $A B C D$ 的一条对角线．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作对角线 $A C$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于点E，交 $C D$ 于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、应用与证明：在（1）的条件下，连接 $C E 、 A F$ ，求证：四边形 $A E C F$ 是菱形．

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19、计算： $\sqrt[3]{27} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} - |- 3| + {(- 1)}^{2026}$ ．

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20、将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边 $A C$ 上，记为点 $B^{'}$ ，折痕为 $E F$ ，已知 $A B = A C = 10$ ， $B C = 15$ ， $B^{'} F ∥ A B$ ，那么 $A B^{'}$ 的长度是．

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麦粒粒数n	100	200	500	1000	2000	5000
发芽麦粒粒数m	93	188	473	954	1906	4749
发芽麦粒频率 $\frac{m}{n}$	0.93	0.94	0.946	0.954	0.953	0.9498

三位数	能否被7整除	特征
133	能	$13 - 2 \times 3 = 7$ ， 7能被7整除
224	能	$22 - 2 \times 4 = 14$ ， 14能被7整除
294	能	$29 - 2 \times 4 = 21$ ， 21能被7整除
148	不能	$14 - 2 \times 8 = - 2$ ， $- 2$ 不能被7整除