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1、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，连接 $B E$ ，过点 $E$ 作 $B E$ 的垂线交 $C D$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $G$ ，若点 $F$ 是 $E G$ 的中点， $A B = 3$ ，则 $E G$ 的长度为（）

A、4 B、5 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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2、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $O P ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，若 $A B = 10$ ， $A C = 16$ ，则 $O P$ 的长为（）

A、2 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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3、关于x的函数 $y = k x - k$ 和 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ，它们在同一坐标系内的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4、在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多 $0.5$ 千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（）

A、 $\frac{30}{x} = \frac{25}{x - 0.5}$ B、 $\frac{30}{x} = \frac{25}{x} + 0.5$ C、 $\frac{30}{x} + 0.5 = \frac{25}{x}$ D、 $\frac{30}{x + 0.5} = \frac{25}{x}$

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 5, A D = 7$ ， $∠ A D C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、解分式方程 $\frac{2}{x - 1} - 3 = \frac{5}{x - 1}$ ，去分母得（）

A、 $2 - 3 (x - 1) = 5$ B、 $2 - 3 x - 3 = 5$ C、 $2 - 3 x - 1 = 5$ D、 $2 - 3 (x - 1) = - 5$

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7、若分式 $\frac{| x | - 1}{x - 1}$ 的值等于0，则x的值为（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、±1

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8、如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000009米，将数据0.000009用科学记数法表示为（）

A、 $0.9 \times 1 0^{- 5}$ B、 $0.9 \times 1 0^{- 6}$ C、 $9 \times 1 0^{- 6}$ D、 $9 \times 1 0^{- 5}$

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9、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、点 $B (x_{2}, y_{2})$ ，若满足点 ${\begin{array}{l} x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \\ y_{0} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \end{array}$ ，则称点A、B关于点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对称；若函数 $C_{1}$ 图象上所有点关于点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对称的点均在函数 $C_{2}$ 的图象上，则称函数 $C_{1}$ 与函数 $C_{2}$ 关于点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对称．

(1)、已知点 $A (3, 4)$ ，则点A关于原点 $O (0, 0)$ 、关于点 $P (- 1, 2)$ 的对称点的坐标分别是，，关于点 $Q (a, b)$ 对称的点的坐标是（用含a、b的式子表示）；

(2)、已知抛物线 $C_{1}$ ： $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $y = x^{2} + m x + 5$ 关于点R对称，抛物线 $C_{1}$ 的顶点为M ，若将点M向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的点 $M^{'}$ ， $M^{'}$ 恰好在抛物线 $C_{2}$ 上，求点R的坐标；

(3)、已知抛物线 $C_{3}$ ： $y = x^{2} - 2 m x + 5$ 关于点 $S (m, 2)$ 对称的抛物线为 $C_{4}$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时，抛物线 $C_{4}$ 的最大值和最小值之差为3，求m的值．

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10、定义：已知直线l： $y = k (x - x_{0}) + y_{0}$ （k为常数）绕定点 $P (x_{0}, y_{0})$ 旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为“旋转簇直线”的不动点，

(1)、求直线l： $y = k x - 2 k + 3$ 的不动点坐标；

(2)、已知直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与x、y轴分别交于点A、B ．
①如图1，直线l： $y = k x - 2 k + 3$ （k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q ，且点Q在点B上方，当 $∠ A P Q = 45 °$ 时，求点Q坐标；
②如图2，直线 $l_{2}$ 与x正半轴交于点C ，与直线 $l_{1}$ 相交于第一象限内的点D ，且恒有 $\frac{4}{A C} + \frac{\sqrt{5}}{A D} = 1$ ，试问直线 $l_{2}$ 是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．

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11、如图，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $\frac{A D}{A B} = k$ ，点E、F分别为 $B C$ 、 $C D$ 上两点，连接 $A E$ 、 $A F$ ．

(1)、如图1，当 $k = 1$ 时，连接 $E F$ ，且 $∠ E A F = 45 °$ ．
①已知 $C E = 6$ ， $C F = 8$ ，求 $E F$ 的长；
②已知 $B E = C E = 3$ ，求 $D F : C F$ 的值；

(2)、如图2，若 $A F$ 平分 $∠ D A E$ ，且 $D F = C F$ ，延长 $A F$ 交 $B C$ 延长线于点Q ，若 $A E = 8$ ， $A F = 6$ ，求k的值．

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12、某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．

(1)、假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；

(2)、一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元）
22
24
27
销售量y（件）
200
180
150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？

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13、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ，过点C、D分别作 $B D$ ， $A C$ 的平行线，两线相交于点E ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 为矩形；

(2)、连接 $A E$ ，若 $B D = B C = 6$ ，求 $△ A C E$ 的面积．

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14、学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：

(1)、抽取了名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为分，众数是分，扇形图中D级对应扇形的圆心角为 $°$ ；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该校八年级共有1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？

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15、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - m = 0$ 有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若两实数根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1} x_{2} = 6$ ，求m的值．

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16、

(1)、解不等式： $\frac{x - 2}{2} \leq \frac{7 - x}{3}$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ．

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17、计算： $| \sqrt{3} - 2 | + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - {(2025 - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{0} + \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ．

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18、为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程．

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19、把抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为．

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20、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $B C$ 、 $O C$ 的中点．若 $M N = 4$ ，则 $A C$ 的长为．

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销售单价x（元）	22	24	27
销售量y（件）	200	180	150