相关试卷

1、综合与实践
【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含 $30 °$ 角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为 $12 cm$ ．
【操作探究】

(1)、如图1，逐梦组将三角板 $A B C$ 的边 $A C$ 与三角板 $D E F$ 的边 $F D$ 重合，得到的四边形 $A B C E$ ．证明四边形 $A B C E$ 是平行四边形．

(2)、如图2，追光组将三角板 $D E F$ 沿三角板 $A B C$ 的边 $C A$ 平移一定距离时，得到四边形 $B F E C$ 是矩形，且点 $D$ 在 $A C$ 上，求三角板 $D E F$ 平移的距离 $A F$ ．

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2、小芳在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．她是这样分析与解的：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， $∴ a = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ， $∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ，
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}}$ ．

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．
①求 $5 a^{2} - 10 a + 2$ 的值；
②求 $3 a^{3} - 12 a^{2} + 9 a - 10$ 的值．

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3、如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量， $A B = A C = 13 m$ ， $B D = 6 m$ ， $C D = 8 m$ ， $B C = 10 m$ ．

(1)、求证： $△ B C D$ 是直角三角形．

(2)、八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用．

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4、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C, B D$ 是对角线，点 $E, F, G, H$ 分别是边 $A B, B C, C D$ ， $D A$ 的中点，依次连接 $E F, F G, G H, H E$ ．求证：四边形 $E F G H$ 是平行四边形．

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5、如图，有一棵大树被大风吹折，折断处 $A$ 与地面的距离 $A C = 3 m$ ，折断处 $A$ 与折断后树的顶端 $B$ 的距离 $A B = 5 m$ ．在大树倒下的方向上的点 $D$ 处停着一辆小轿车， $C D$ 的距离为 $6 m$ ，求 $B D$ 的距离．

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6、计算： $(3 \sqrt{12} + \sqrt{48}) \div 2 \sqrt{3}$

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7、如图，在正方形网格中， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 都是格点，则 $∠ B A C + ∠ C D E =$ ．

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8、如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且 $D E = B F .$ 连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点 $G .$ 则下列结论： $① △ A D E$ ≌ $△ A B F$ ； $② ∠ A E F = 45^{\circ}$ ； $③$ 若 $A B = 3$ ， $D E = \frac{1}{3} D C$ ，则 $S_{△ A E F} = \frac{5}{4}$ ； $④$ 若 $A B = 2$ ， E为DC的中点，则 $\frac{E F}{A C} = \frac{\sqrt{10}}{2} .$ 其中正确结论的个数是 $($ $)$

A、1个 B、2个 C、3 个 D、4 个

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9、下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{1.3}$ D、 $\sqrt{12}$

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10、探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在△ABC中， AB=AC=1，点D在BC边上，且CD=2BD，连接AD并延长至点E，使得AE=AB，作CF∥AE交BE延长线于点F，连接AF交BC于点 G．记cos∠ABC=x， $\frac{D G}{C G} = y ．$

(1)、【图形认识】求证： CF=3DE．

(2)、【引元关联】设DE=t，求y关于t的函数表达式．

(3)、【特例计算】如图2，当AF⊥BC时，分别求出y和x的值．

(4)、【规律研究】已知0<x<1，求y的取值范围．

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11、已知抛物线 $y = x^{2} - a x + 3$ (a为常数)经过点A (1， 0)．

(1)、求a的值．

(2)、若抛物线向左平移n(n>0)个单位后仍经过点A，求n的值．

(3)、过点 P (m， 0)作x轴的垂线，交抛物线 $y = x^{2} - a x + 3$ 于点M，交直线y=kx(k>0)于点N．当1<m<3时，MN的长度随AP的长度增大而增大，求k的取值范围．

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12、如图， $△ A B C$ 内接于⊙O， BC为直径， BD与⊙O相切于点B， BD=AC，作DE∥AB交BC于点E．

(1)、求证： $△ A B C ≅ △ B E D ．$

(2)、作OF⊥AC于点F， OG⊥DE于点 G．若 $s i n D = \frac{2}{3},$ 求 $\frac{O G}{O F}$ 的值．

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13、【动手实践】如图1，小明将一张长为12cm，宽为6cm的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形(含拼接线)．

(1)、【观察发现】如图2，拼成的新图形是图(填“甲”或“乙”)．

(2)、【探索应用】若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为27cm² ，求此时DH的长．

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14、小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5天的跳绳成绩绘制如下折线统计图．

(1)、小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗?(填“合理”或“不合理”)

(2)、根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表：
最高成绩(个)
平均成绩(个)
第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿
161
139.6
40%
小橙
A
138.4
b
②求a和b的值．
③教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”．

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15、如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，∠BAC=90°，其表面展开图如图2所示．

(1)、根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱BE=cm，底面斜边 BC=cm．

(2)、求直三棱柱的全面积．

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16、解方程组： ${\begin{matrix} x - 2 y = 4, \\ 3 x + 4 y = 7 \end{matrix}$

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17、先化简，再求值： (a+2)(a-2)+a(1-a)，其中 $a = \frac{1}{2} ．$

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18、如图，在▱ABCD中， AB=4， BC=8，点E在边BC上，连接AE，以AE为直角边构造等腰Rt△AEF，斜边AF恰好经过BD中点O，若∠BAF=90°，则OF的长为．

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19、小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程. $x^{2} + 6 a x = 16 a^{2} (a > 0)$ 的过程如下：将方程配方得 ${(x + 3 a)}^{2} = {(4 a)}^{2} + {(3 a)}^{2},$ 以3a和4a为两直角边作 Rt△ABC(如图)，再在斜边AB 及其延长线上截取BD=BE=BC，发现方程的解 $x_{1} = A D, x_{2} = - A E ．$ 若 $x_{1} = A D = 4,$ 则x₂的值为．

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20、甲有5g，10g砝码各一个，乙有10g，20g砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为．

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	最高成绩(个)	平均成绩(个)	第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿	161	139.6	40%
小橙	A	138.4	b