相关试卷

1、若二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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2、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，过点 $O$ 的直线分别交 $A D$ 和 $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3、如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点 $P$ 表示的数是（　　）．

A、 $5.2$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3 + \sqrt{5}$ D、 $2 + \sqrt{5}$

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4、依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、下列各曲线中哪些表示y是x的函数？

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6、下列图形中，具有稳定性的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程 $2 x - 3 = 1$ 与不等式 $x + 3 > 0$ ，方程的解为 $x = 2$ ，使得不等式也成立，则称“ $x = 2$ ”为方程 $2 x - 3 = 1$ 和不等式 $x + 3 > 0$ 的“梦想解”．

(1)、 $x = - 1$ 是方程 $2 x + 3 = 1$ 和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号）
① $x - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}$ ；② $2 (x + 3) < 4$ ， ③ $\frac{x - 1}{2} < 3$ ．

(2)、若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 3 m + 2 \\ 2 x - y = m - 5 \end{matrix}$ 和不等式组 $\{\begin{matrix} x > y - 5 \\ x - y < 1 \end{matrix}$ 有“梦想解”，且 $m$ 为整数，求 $m$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的方程 $x - 4 = - 3 n$ 和关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 \geq 2 n + 1 \\ x - 1 < 4 \end{matrix}$ 有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出 $n$ 的取值范围．

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8、如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ A = ∠ C$ ，点E，G分别在 $A B$ ， $C D$ 上，连结 $D E$ ， $B G$ ，延长 $A D$ 和 $B G$ 交于点F．

(1)、求证： $A F ∥ B C$ ；

(2)、若 $D E ∥ B F$ ， $∠ A + ∠ F = 110 °$ ，求 $∠ E D G$ 的度数．

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9、如图1， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”．

(1)、在图1的 $3 \times 3$ 正方形网格中，格点 $△ A B C$ 和格点 $△ D E F$ 关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴．

(2)、请在图2中画出 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转 $90 °$ 后得到的格点 $△ A^{'} B^{'} C$ ．

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10、计算： ${(- 1)}^{2026} + \sqrt{16} \times {(- 3)}^{2} + (- 6) + \sqrt[3]{- 8}$

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11、点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，一副三角板如图摆放，其中 $∠ C = ∠ D O C = 45 °$ ， $∠ M = 30 °$ ， $∠ N = 60 °$ ．将直角三角板 $M O N$ 绕点 $O$ 旋转一周，当 $∠ A O M$ 的度数是时，直线 $M N$ 与直线 $O C$ 互相平行．

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12、当 $k =$ 时，不等式 $4 x^{k - 1} + 2 > 0$ 是一元一次不等式．

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13、观察下列等式： $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ； $\dots$
根据以上规律计算 $3^{2025} + 3^{2024} + 3^{2023} + 3^{2022} + \dots + 3^{3} + 3^{2} + 3 + 1$ 的值是（）

A、 $\frac{3^{2026} - 1}{2}$ B、 $3^{2026} - 1$ C、 $\frac{3^{2026}}{2}$ D、 $3^{2026} + 1$

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14、2025年2月11日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁．丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长 $B D$ 约 $50.5$ 米，若起飞过程中 $B^{'} D$ 约为85米，则 $B D^{'}$ 的长约是（）

A、14米 B、16米 C、34.5米 D、69米

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15、设“ $□$ ”“ $△$ ”“ $○$ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为（）

A、 $□ > △ > ○$ B、 $□ > ○ > △$ C、 $△ > ○ > □$ D、 $△ > □ > ○$

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16、近几年，我国新能源企业出海规模不断提升，某品牌新能源汽车在2025年7~12月的月产量折线统计图如图所示，则下列说法错误的是（）

A、从8月到9月的月产量增长最快 B、从9~12月份月产量逐渐增加 C、10月份和7月份的产量相同 D、8月份汽车的月产量最低

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17、在实数 $\sqrt[3]{7}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{π}{5}$ ， $\sqrt{3}$ ， 0中，无理数共有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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18、如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形 $A B C D$ ．若 $A B = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为．

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19、已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、如图1，设抛物线的顶点为 $D$ 点，连接 $D B$ ，点 $E$ 是线段 $D B$ 上的动点，点 $F$ 为抛物线对称轴上一动点，连接 $B F$ 、 $F E$ ，求 $B F + E F$ 的最小值；

(3)、如图2，连接 $B C$ ，点 $P$ 为直线 $B C$ 上方抛物线上一动点，连接 $P C$ 、 $O P$ ， $O P$ 交 $B C$ 于点 $Q$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ， $S_{△ C P Q} = S_{1}$ ， $S_{△ C O Q} = S_{2}$ ， $y = \frac{s_{1}}{s_{2}}$ ．
①求 $y$ 与 $t$ 的函数关系式，并写出 $t$ 的取值范围；
②当 $y$ 的值取最大时，求点 $P$ 的坐标．

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20、综合探究

(1)、【问题发现】
如图1，已知点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一动点（不与点 $A$ 、 $C$ 重合），连接 $B E$ ，将线段 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转90°到 $B F$ 处，连接 $C F$ ．请写出 $A E$ 与 $C F$ 的数量关系，并给出证明过程．

(2)、【类比探究】
如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ，点 $E$ 为对角线 $A C$ 上一动点（不与点 $A$ 、 $C$ 重合）．在 $Rt △ B E F$ 中， $∠ E B F = 90 °$ ， $∠ E F B = ∠ A C B$ ，连接 $C F$ ．请探究此时 $A E$ 与 $C F$ 的数量关系，并给出探究过程．

(3)、【拓展延伸】
如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ，点 $E$ 为射线 $A C$ 上一动点，点 $M$ 为 $△ B E C$ 的外接圆的圆心，连接 $B M$ ， $C M$ ，若 $A C = 8$ ，则当 $∠ B M C = 90 °$ 时，请直接写出线段 $A E$ 的长．

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