相关试卷

1、下列因式分解正确的是（　　）

A、 $a m + b m - m = m (a + b)$ B、 $- x^{2} - 4 y^{2} = - (x + 2 y) (x - 2 y)$ C、 $y^{2} - y + \frac{1}{2} = {(y - \frac{1}{2})}^{2}$ D、 $9 + 6 (x + y) + {(x + y)}^{2} = {(x + y + 3)}^{2}$

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2、2025年春晚《秧 $BOT$ 》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的 $AI$ 驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达 $360 N \cdot m$ ，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩 $x$ （ $N \cdot m$ ）应满足的不等关系为（）

A、 $x \geq 360$ B、 $x > 360$ C、 $x \leq 360$ D、 $x < 360$

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3、中华人民共和国第十五届运动会，简称“十五运会”，于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地成功举办，健身运动的热潮也席卷全国．下列关于体育运动的图标是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ，点E在边 $A B$ 上， $A E = 5$ ．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $A D - D C$ 向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（ $t > 0$ ），连结 $P E$ ，当点P运动到点D时， $P E = \sqrt{41}$ ．

(1)、当 $t =$ ______秒时， $E P$ 平分矩形 $A B C D$ 的面积；

(2)、连结 $D E$ ，当 $△ D P E$ 的面积为6时，求t的值；

(3)、如图2，作点A关于直线 $P E$ 的对称点 $A^{'}$ ，当点 $A^{'}$ 落在矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上时，求t的值．

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5、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形．

(1)、请用尺规作图法，在矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 和 $A D$ 上分别找一点E、F使得四边形 $A E C F$ 为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、已知 $A D = 8$ ， $C D = 4$ ．求菱形 $A E C F$ 的面积．

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6、一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．

(1)、随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号相同的概率．

(2)、一次摸取两个小球，直接写出取出的两个小球的标号之和小于6的概率．

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7、解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ．

(2)、 ${(x - 3)}^{2} + 2 x (x - 3) = 0$ ．

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8、如图，△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE，则线段 CE 的长等于

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9、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球．

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10、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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11、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4, ∠ A B C = 45 °$ ，点 E 、F 分别在 $A B 、 A D$ 边上，点 P 是对角线 $B D$ 上的动点， $P E + P F$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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12、随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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13、如图1， AB 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 AC，BC，AD，BD，点 $F$ 是 AC 上一动点，连接 BF 并延长交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，作 $∠ A C P = ∠ A C D$ ，交 BG 的延长线于点 $P$ .

(1)、证明： CP 是 $⊙ O$ 的切线：

(2)、设 $△ A B C$ 的面积是 $S$ . $△ A C E$ 的面积是 $S_{1}$ . $△ B C E$ 的面积是 $S_{2}$ 若 $S_{1} S = 20 S_{2}^{2}$ 求 $\frac{B E}{O E}$ 的值：

(3)、如图2.当 $∠ F B C = ∠ B C E$ 时， BF 交 CD 于 $Q$ ，若 $A B = 1$ ，设 $C F = x$ . $y = \frac{B E}{A E} - 2 C Q \cdot C E$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式.

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14、我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于 x 的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为非零常数 t，则称这两个函数为关于 t 的"和定函数"，t 为和定系数，请根据该约定，解答下列问题：

(1)、求函数 $y = x + 1$ 与函数 $y = 3 x^{2} + 7 x + 3$ 的和定系数：

(2)、若一次函数 $y = a x + b$ ( $a > 0$ ， a，b为常数)与反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ ( $c$ 为非零常数)为关于 $t = 4$ 的 "和定函数"，且对任意实数 $x$ ，都有 $2 x - 6 \leq a x^{2} + b x + c \leq 2 x^{2} - 10 x + 12$ ，求一次函数解析式和反比例函数的解析式：

(3)、如图所示，若函数 $y = k x (k > 0)$ 与函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + s x + 3$ 为关于 $t = - 2 k$ 的"和定函数"，两个交点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $D$ 坐标为 $(0, 6)$ ，连接 AD，BD.
①求证： DO 平分 $∠ A D B$ ；
②试问 $(D A + A O) (D B - B O)$ 的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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15、如图，直角坐标系中， A(2，0)，点 B 在第一象限且 $△ O A B$ 为正三角形， $△ O A B$ 的外接圆交 y 轴的正半轴于点 C，过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D.

(1)、求 B，C 两点的坐标：

(2)、求直线 CD 的函数解析式：

(3)、设 E，F 分别是线段 AB，AD 上的两个动点，且 EF 平分四边形ABCD 的周长，试求当 $△ A E F$ 的面积取最大值时 AE 的长.

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16、某校计划购买甲、乙两种树苗共2000株绿化校园，已知甲种树苗每株2元，乙种树苗每株3元.

(1)、若购买这批树苗共用了4500元，求甲、乙两种树苗各购买了多少株?

(2)、相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批树苗的成活率不低于96%且买树苗的总费用最小，问应选购甲、乙两种树苗各多少株?总费用最小是多少元?

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17、如图，在正方形 ABCD 中，点 $M$ 是边 BC上的一点(不与B，C 重合)，将线段 AM 绕点 $A$ 顺时针旋转 $9 0^{°}$ 得到 AN，连接 DN，MN，AC.MN 与边 AD 交于点 $E$ ，与 AC 相交于点 $O$ .

(1)、求证： $△ A B M ≅ △ A D N$ ；

(2)、当 AM 平分 $∠ B A C$ 时，求证： $A M^{2} = A C \cdot A E$

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18、某校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了 m 名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了两幅不完整的统计图：
a. $m$ 名学生平均睡眠时间的频数分布直方图(将调查数据分成5组，A： $6 \leq x < 7$ ， B： $7 \leq x < 8$ ， C： $8 \leq x < 9$ ， D： $9 \leq x < 10$ ， E： $10 \leq x < 11$ )
b. $m$ 名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②；
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次调查的学生总数 $m$ 的值为；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为度；

(4)、若该校共有1800名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名.

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19、长沙香炉洲大桥全线长约三千米，横跨湘江，连通大洋湖街道和丁字湾街道，其中西航道独塔斜拉桥塔高202米，某校数学实践小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，得到如下数据： $∠ D A C = 3 0^{°}$ ， $∠ A B D = 4 5^{°}$ ， $C D = 202$ 米.

(1)、求 AD的长；

(2)、若一辆小车以15米/秒的速度从A 往 B 行驶，问小车能否在40秒钟内通过 AB路段?(参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4, \sqrt{3} \approx 1.7, \sqrt{5} \approx 2.2$ )

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20、计算： $| \sqrt{3} - 2 | - (4 - π)^{0} + 2 s i n 6 0^{°} - {(- \frac{1}{5})}^{- 1}$ .

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