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1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 6 ， B C = 8 ， ∠ B C A$ 与 $∠ B A C$ 的平分线 $C D 、 A E$ 交于点O，直线 $A M 、 C N$ 分别经过点 $A$ 、C，且 $A M ∥ C N$ ．若直线 $A M$ 关于 $A E$ 对称的直线为 $A M_{1}$ ，直线 $C N$ 关于 $C D$ 对称的直线 $C N_{1}$ ，直线 $A M_{1} 、 C N_{1}$ 交于点 $P$ ，则 $O P$ 的最大值为．

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2、抛物线 $y = - x^{2} + n x + m$ 交 $x$ 轴于点 $A (a, 0)$ 和 $B (b, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ，将其向左平移一个单位长度后图象关于 $y$ 轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是；
① $a + b = 2$ ；
②对于任意实数 $t$ ，总有 $- t^{2} + n t < - 1 + n$ ；
③抛物线上有两点 $P (x_{1}, y_{1})$ 和 $Q (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} < 1 < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；
④点 $C$ 关于抛物线对称轴的对称点为 $E$ ，点 $G ， F$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，当 $m = 2$ 时，四边形 $E D F G$ 周长的最小值为 $6 \sqrt{2}$ ．

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3、《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为尺．

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4、关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (2 - a) x + \frac{1}{4} a^{2} = 0$ 的两实数根互为倒数，则两根之和为．

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5、点 $(2024, - 2025)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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6、如图， $D$ 是等边三角形 $A B C$ 外一点，连接 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ ．若 $B D = 4 \sqrt{7}$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 10$ ，则三角形 $A B C$ 的面积为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、 $13 \sqrt{3}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $9 + 6 \sqrt{3}$

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7、如图，若 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ A B D = 55 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $55 °$ C、 $45 °$ D、 $35 °$

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8、二次函数 $y = x^{2} - 4 x - 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2, - 2)$ B、 $(2, - 6)$ C、 $(2, 2)$ D、 $(2, 6)$

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9、下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的一次项系数、常数项分别为（）．

A、 $2, - 1$ B、2，1 C、 $- 3, - 1$ D、3，1

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11、拋物线 $y = x^{2}$ 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（）

A、 $y = (x + 8) - 9$ B、 $y = (x - 8) + 9$ C、 $y = {(x - 8)}^{2} - 9$ D、 $y = {(x + 8)}^{2} + 9$

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12、已知如图， $A E ∥ x$ 轴， $O A$ 平分 $∠ E O C$ ，点 $A (2, 2)$ ，点 $B (0, - 2)$ ， $A B$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ， $A C ⊥ A B$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，且 $A B = A C$ ．

(1)、求线段 $A B$ 所在直线解析式；

(2)、点 $P$ 为折线 $B - O - C$ 上一动点，点 $P$ 由点 $B$ 出发向终点 $C$ 以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为 $t$ ， $△ A C P$ 的面积为S，用含 $t$ 的式子表示面积S，并直接写出 $t$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，是否存在时间 $t$ 使得 $△ O A P$ 为直角三角形，若存在请求出 $t$ 值，若不存在请说明理由．

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13、如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．

(1)、现将圆柱侧面沿 $A B$ 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A. B. C. D.

(2)、如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？

(3)、现有一个长、宽、高分别为 $5 dm 、 4 dm 、 3 dm$ 的无盖长方体木箱（如图3， $A B = 5 dm, B C = 4 dm, A E = 3 dm$ ）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）

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14、为筹备乒乓球比赛，学校决定购买一批新乒乓球拍和乒乓球用于队员训练，商场里某品牌球拍定价为120元/只，乒乓球定价5元/个．商场搞促销活动，有两种方案可供选择，A方案：买一只球拍，赠送4个球；B方案：球拍和球均按定价的9折优惠．如果学校计划购买球拍20只，购买乒乓球若干个（不低于球拍的4倍）．

(1)、设购买乒乓球数为 $x$ （个），请分别写出两张方案付款金额 $y_{A}$ 、 $y_{B}$ （元）与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当购买多少个乒乓球时，费用最少？

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15、已知点 $A (3 m - 1, 2 m + 6)$ ，请解答下列问题：

(1)、点 $B$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，直线 $A B ∥ x$ 轴，求 $m$ 的值；

(2)、若点 $A$ 在第二象限，且它到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离相等，求点 $A$ 的坐标．

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16、如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题：

(1)、甲船出发小时后乙船才出发；乙船的平均速度为千米/小时．

(2)、问乙船出发多长时间赶上甲船？

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17、计算：

(1)、 $\sqrt{18} - {(\sqrt{2} + 1)}^{2} + (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$

(2)、 $(3 \sqrt{12} - 6 + \sqrt{48}) \div 2 \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

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18、比较大小： $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ $\frac{9}{16}$ ．

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $B C$ 长为 $3 cm$ ， $A B$ 长为 $4 cm$ ，在 $Rt △ A C F$ 中， $A F$ 长为 $12 cm$ ，正方形 $C D E F$ 的面积为 $c m^{2}$

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20、 $\sqrt[3]{64}$ 的平方根是； $- \sqrt{5}$ 的相反数是．

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