相关试卷

1、 2024年4月，北京大学团队研发出全球最薄的光学晶体-转角菱方氮化硼光学晶体，其厚度仅为 $0.000001$ 米，能效比传统晶体提升了100至1万倍，数据 $0.000001$ 用科学记数法表示为（　　）

A、 $0.1 \times 1 0^{- 5}$ B、 $1 \times 1 0^{- 6}$ C、 $1 \times 1 0^{- 7}$ D、 $10 \times 1 0^{- 8}$

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2、下列方程中，属于二元一次方程的是（）

A、 $3 x + y^{2} = 1$ B、 $x - 2 y = 6$ C、 $\frac{1}{x} + 3 y = 5$ D、 $3 x - 2 = x$

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3、小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知 $a b = 1$ ．
小滨： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ 的值始终等于1．
小江：尽管 $a^{2} + b^{2}$ 的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下： $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b = {(a - b)}^{2} + 2$ ，由 ${(a - b)}^{2} \geq 0$ 知，当 $a = b$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 存在最小值2．

(1)、试判断小滨的说法是否正确，并说明理由．

(2)、在 $a b = 1$ 的条件下，下列代数式：① $\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$ ；② $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ ；③ $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + 4 b^{2}}$ ；④ $\frac{1}{1 + a^{n}} + \frac{1}{1 + b^{n}}$ （ $n \geq 3$ ， n为整数）．
（i）值始终保持不变的代数式有： ▲ （填序号）；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 ▲ ．
（ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由．

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4、生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式 $x^{4} - y^{4}$ ，因式分解的结果为 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，当 $x = 9$ ， $y = 9$ 时，各个因式的值是 $x - y = 0$ ， $x + y = 18$ ， $x^{2} + y^{2} = 162$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．

(1)、对于多项式 $9 x^{3} - x y^{2}$ ，当 $x = 10$ ， $y = 10$ 时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．

(2)、对于多项式 $x^{3} + p x^{2} + q x$ ，当 $x = 25$ 时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p ， q ，若能，请求出p ， q的值；若不能，请说明理由．

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5、某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动：
人数x/人
$0 < x \leq 100$
$100 < x \leq 200$
$x > 200$
收费标准/元
50
45
40
经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加入数多于100人、少于200人，八年级参加入数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？

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6、某校为了更好地了解学生每周的亲子阅读情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将数据整理成如下的统计表和统计图（不完整）．
每周亲子阅读时间的频数表
每周亲子阅读时间扇形统计图
组别
划记
频数
A
正正正正
20
B
正正正正
20
C
12
D
正
5
E

其中，A ， B ， C ， D ， E分别表示亲子阅读时间：A：基本没有；B：1小时以内；C： $1 - 2$ 小时；D： $3 - 4$ 小时；E：4小时以上．

(1)、求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数．

(2)、若该校共有2400名学生，估计每周亲子阅读时长在3小时及以上的学生人数．

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7、解方程（组）：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 7 y = - 1 \\ 3 x - 8 y = 1 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 100 x + y = 2.002 \\ 500 x + y = 2.01 \end{array}$

(3)、 $\frac{1}{x} - 5 = - \frac{5 x}{x + 3}$ ．

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8、如图， $A B ∥ C D$ ，点P是 $∠ B A C$ 的角平分线上一点，且点P在 $A B ， C D$ 之间，连结 $C P$ ，设 $∠ A C P = m ∠ D C P$ ．当 $m = 3$ ， $∠ A C P = ∠ C A P$ 时，求 $∠ P C D$ 的度数．

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9、分解因式：

(1)、 $x^{4} - x^{2}$ ．

(2)、 $3 a x^{2} - 6 a x y + 3 a y^{2}$ ．

(3)、 $b - a + 3 {(a - b)}^{2}$ ．

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10、计算：

(1)、 ${(\sqrt{3})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

(2)、 $x - 2 - \frac{x^{2}}{x + 2}$ ．

(3)、 $3 x (3 y - x) - (x - 3 y) (x + 3 y)$ ．

(4)、 $- m \cdot (3 m - 6 m^{2}) \div (- 3 m^{2})$ ．

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11、有两张正方形纸片 $A B C D 、 E F G H$ ，其中 $A B > E F$ ．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形 $M H N D$ ．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A ， B ， F在同一条直线上，点P是线段 $A F$ 的中点．连接 $A H ， P D ， P G$ ，若三角形 $A B H$ 的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是．

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12、已知 ${\begin{array}{l} a m^{2} + b m + c = n \\ a n^{2} + b n + c = m \end{array}$ ，其中m ， n为互不相等实数，且满足 $m + n = 3$ ，则 $b =$ ．（结果用只含a的代数式表示）

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13、如图，将一块三角尺 $A B C$ 沿着 $A C$ 方向平移到三角尺 $D E F$ 的位置，其中，点A的对应点为点D ，连接 $B E$ ．若 $A F = 10$ ， $D C = 5$ ，则 $B E =$ ．

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14、设 $M = x - y$ ， $N = x + y$ ， $P = x^{2} + y^{2}$ ．若 $M = 1$ ， $N = 7$ ，则 $P =$ ．

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15、在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，其中第一、二、四、五组的频率之和为 $0.7$ ，则第三组的频数为．

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16、对于代数式 $k x + b$ ，小滨分别计算当 $x = 1$ ， 2，3，4时该代数式的值，得到以下四个结论：① $k + b = - 1$ ；② $2 k + b = 3$ ；③ $3 k + b = 5$ ；④ $4 k + b = 8$ ．小江发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）

A、① B、② C、③ D、④

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17、将一条两边互相平行的纸带（ $A D ∥ B C$ ）按如图方式折叠，折痕分别为 $A B$ ， $C D$ ，且满足 $C D ∥ B E$ ．若 $∠ 1$ 增大 $10 °$ ，则 $∠ 2$ （）

A、增大 $10 °$ B、增大 $20 °$ C、减小 $10 °$ D、减小 $20 °$

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18、某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 25 \\ \frac{x}{17} = 4 \times \frac{y}{32} \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 25 \\ \frac{17 x}{32 y} = 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 25 \\ 4 \times 17 x = 32 y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 25 \\ 17 x = 4 \times 32 y \end{array}$

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19、若实数x满足 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，则 $3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 2025$ 的值为（）

A、2025 B、2026 C、2027 D、2028

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20、在同一平面内，有三条不重合的直线a ， b ， c ，（）

A、若 $a ∥ b$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ c$ B、若 $a ∥ b$ ， $b ∥ c$ ，则 $a ⊥ c$ C、若 $a ⊥ b$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ c$ D、若 $a ⊥ b$ ， $b ∥ c$ ，则 $a ∥ c$

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人数x/人	$0 < x \leq 100$	$100 < x \leq 200$	$x > 200$
收费标准/元	50	45	40