相关试卷

1、某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点50米时达到最大高度25米．将发石车置于山坡底部 $O$ 处，石块从投石机竖直向上的点 $C$ 处被投出，已知 $O C$ 高5米．山坡上有一点A，点A与点 $O$ 的水平距离为65米，与地面的竖直距离为10米， $A B$ 是高度为10米的防御墙．若以点 $O$ 为原点，建立如图的平面直角坐标系．

(1)、求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；

(2)、试通过计算说明石块能否飞越防御墙 $A B$ ．

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2、 $2022$ 年，仪征市某商场于今年年初以每件 $25$ 元的进价购进一批商品．当商品售价为 $40$ 元时，三月份销售 $256$ 件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到 $400$ 件．

(1)、求四、五这两个月的月平均增长率；

(2)、从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价 $1$ 元，月销量增加 $40$ 件，当商品降价多少元时，商场月获利 $6240$ 元？

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3、如图，方格纸中的每格都是边长为 $1$ 的正方形，将 $△ A B C$ （顶点都是正方形的顶点）绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、在所给的图形中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ O A A_{1}$ 的面积．

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4、已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求此二次函数的表达式，和顶点坐标；
（2）直接写出当函数值 $y > 0$ 时，自变量x的取值范围．

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5、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

(2)、 $3 x (x - 1) = 2 (1 - x)$

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6、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5 cm$ ， $B C = 10 cm$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 边向点 $B$ 以1cm/s的速度移动；点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $B C$ 边向点 $C$ 以2cm/s的速度移动． $P$ ， $Q$ 同时出发，分别到 $B$ ， $C$ 后停止移动，则 $△ P Q D$ 的最小面积是 ${cm}^{2}$ ．

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7、已知等边三角形的边长为，则用边长表示等边三角形的面积的函数表达式为．

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8、已知二次函数y＝-x² ，当x＞0时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）；

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9、若 $(m + 1) x^{|m| + 1} + 6 x - 2 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m$ 的值为．

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10、关于 $x$ 的方程 ${(x - 2)}^{2} = 1 - m$ 无实数根，那么 $m$ 满足的条件是（）

A、 $m \geq 1$ B、 $m < 2$ C、 $m > 1$ D、 $m < 1$

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11、把一元二次方程 $(x - 3)^{2} = 5$ 化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）

A、1，6，4 B、1，-6，4 C、1，-6，-4 D、1，-6，9

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12、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、【教材呈现】如下是人教版八年级下册数学教材74页的部分内容．

例4 如图21.3-12，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 的垂直平分线与边 $A D$ ， $B C$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ ．求证：四边形 $A F C E$ 是菱形．

分析：已知 $A C ⊥ E F$ ，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形 $A F C E$ 是平行四边形．由题意可知 $A O = C O$ ，还需证明 $E O = F O$ ．

(1)、【问题解决】请结合图①写出例4的证明过程；

(2)、【类比探究】在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图②，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8$ ，过对角线 $A C$ 上一点，作 $A C$ 的垂线，交边 $A D 、 B C$ 于点 $E 、 F$ ，求 $E F$ 的长．

小明同学是这样思考的：

点O是AC的中点，过点O作AC的垂线，交AD、BC于点M、N（如图③），就可以证明EF=MN；结合例4积累的经验，就可以求出EF的长．

请结合小明的思路回答下列问题：

①【问题一】结合图③证明： $E F = M N$ ；

②【问题二】 $E F =$ _________；

③【拓展应用】如图④，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8$ ，点 $E 、 F$ 分别是线段 $A D 、 B C$ 上的动点，且 $E F$ 与 $A C$ 互相垂直，则 $A F + F E + C E$ 的最小值为________．

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14、解决问题

(1)、如图①，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 和点 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点．则 $D E$ 与 $B C$ 的关系是_______．

(2)、如图②，已知 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是四边形 $A B C D$ 各边的中点， $A C$ 与 $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的对角线．
①求证：四边形 $E F G H$ 是平行四边形；
②若 $A C ⊥ B D, A C = 6, B D = 8$ ，则 $E G =$ _______；
③直接写出当 $A C$ 与 $B D$ 满足怎样的关系时，四边形 $E F G H$ 是正方形．

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15、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = B C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、点E是 $A D$ 上一点，点F是 $B C$ 的中点，连接 $B E$ ， $C E$ ， $E F$ ，若 $B E = 12$ ， $C E = 5$ ， $B C = 13$ ，求 $E F$ 的长．

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16、2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武 $B O T$ 》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距 $450 cm$ 的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为 $x (s)$ ，小松和小江行走的路程分别为 $y_{1} (cm), y_{2} (cm), y_{1}, y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题：

(1)、机器人小松比机器人小江先出发________ $s$ ；

(2)、机器人小江提速后的速度为________ $cm / s$ ；

(3)、求 $m, n$ 的值．

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17、像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1, \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0), (\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ 等两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ， $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3}} =$ ________；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ；

(3)、已知正整数 $a, b$ 满足 $\frac{a}{\sqrt{2} - 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，直接写出 $a, b$ 的值．

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18、已知函数 $y = (2 m + 1) x + 1$ ，其中 $x$ 是自变量．

(1)、若此函数的图象平行于直线 $y = 3 x$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若此函数 $y$ 值随 $x$ 值的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是______；该函数不经过第_______象限．

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19、图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段 $A B$ 的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上．

(1)、在图①中以 $A B$ 为边画一个面积为 $9$ 的平行四边形 $A B C D$ ；

(2)、在图②中以 $A B$ 为边画一个正方形 $A B E F$ ；

(3)、在图③中以 $A B$ 为边画一个菱形 $A B G H$ ，且该菱形不是正方形．

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20、如图所示，有经验的渔民叉鱼时，需瞄准看到鱼的下方才能精准叉到鱼．这是因为，水中鱼的实际位置为点O，鱼反射的光 $O A$ 从水中斜射向空气时会发生折射，人眼看到的虚像位置升高到点 $O^{'}$ ，即鱼看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O， $O^{'}$ ， B三点共线， $A B ⊥ O B$ ， $A B = 18 dm$ ，渔民看到虚像的视线 $O^{'} A = 30 dm$ ，水面 $A B$ 到鱼实际位置的距离 $O B = 26 dm$ ，求鱼的虚像 $O^{'}$ 和实际鱼的位置O之间的距离 $O O^{'}$ 是多少？

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