相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第一象限内的图象交于点C， $C D ⊥ x$ 轴， $\tan ∠ B A O = \frac{1}{2}$ ， $O A = 4 ， O D = 2$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作 $E F ⊥$ y轴，垂足为点F，连接 $O E 、 A F$ ，如果 $S_{△ B A F} = 4 S_{△ E F O}$ ，求点E的坐标．

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2、图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 $A B$ 可以绕 $O$ 点旋转一定角度，如图2，当眼睛 $E$ 与显示屏顶端 $A$ 在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心 $P$ （点 $P$ 是 $A B$ 中点）的视线 $E P$ 与水平线 $E A$ 形成的夹角 $∠ E = 18 °$ 时，观看屏幕最舒适，此时 $A C ⊥ C D$ ， $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ A P E = 90 °$ ．已知眼睛 $E$ 与显示屏顶端 $A$ 的水平距离 $A E = 58 cm$ ．

(1)、求液晶显示屏的宽 $A B$ （结果精确到 $1 cm$ ）；

(2)、求显示屏顶端 $A$ 与底座 $C$ 的距离 $A C$ （结果精确到 $1 cm$ ）．
（参考数据： $\sin 18 ° \approx 0.3$ ， $\cos 18 ° \approx 0.95$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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3、如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $△ A B C$ 的顶点 $C$ ，经过点 $C$ 的切线与 $A B$ 的延长线交于点 $D ， A E ⊥ D C$ 于点 $E, F$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $C F, A F$ ．

(1)、求证： $∠ A C E = ∠ A F C$ ．

(2)、若 $A F = 3 \sqrt{2}, B D = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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4、2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“ $3 D$ 打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的样本容量为　　　，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）

(2)、若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；

(3)、请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“ $3 D$ 打印”的概率．

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5、按要求计算：

(1)、计算： $|1 - \tan 60 °| + {(3.14 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} - 2 \sqrt{3}$ ；

(2)、先化简，再求值 $(\frac{3}{a + 1} - 1) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2 - \sqrt{3}$ ．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，以点 $A$ 为圆心，以任意长为半径画弧，交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，再分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $A P$ 并延长 $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．则下列说法：① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $∠ A D C = 30 °$ ；③点 $D$ 在 $A B$ 的垂直平分线上；④若 $A N : N C = \sqrt{2} - 1$ ，则 $A M : M B = 3 - 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $△ A B C$ 是轴对称图形．其中正确的说法有（填序号）．

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7、如图， $A B ∥ C D$ ，若 $∠ 1 = 65 °$ ， $∠ 2 = 120 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为．

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8、已知 $x - y = 4$ ， $x y = 1$ ，则代数式 $x^{3} y - 2 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ 的值为．

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9、式子 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．

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10、学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从 $A$ 处匀速跑向 $B$ 处，乙同学从 $B$ 处匀速跑往 $A$ 处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为 $x$ （秒），甲、乙两人之间的距离为 $y$ （米）， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A、甲、乙同学的速度和为10米/秒 B、甲、乙同学在8秒时相遇 C、甲同学的速度为5米/秒 D、 $t = \frac{40}{3}$

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11、手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料
类别
彩色纸（张）
细木条（捆）
手工艺品A
5
3
手工艺品B
2
1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（）

A、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 17 \\ 2 x + y = 10 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 10 \\ 2 x + y = 17 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 17 \\ 3 x + y = 10 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 3 x + y = 17 \end{array}$

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12、下列命题是真命题的是（　　）

A、五边形有五条对角线 B、相似图形一定是位似图形 C、矩形的对角线互相垂直且相等 D、中位数一定是这组数据中的某一个数

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13、乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、在平面直角坐标系中，将点 $P (5, 6)$ 关于 $x$ 轴对称后，得到对应点 $Q$ 的坐标是（　　）

A、 $(- 5, 6)$ B、 $(5, - 6)$ C、 $(- 6, 5)$ D、 $(6, - 5)$

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15、下列运算正确的是（　　）

A、 ${(x^{2})}^{3} = x^{6}$ B、 $x^{2} \cdot x^{5} = x^{10}$ C、 $3 m^{2} + 2 m^{3} = 5 m^{5}$ D、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 1$

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16、如图是某市城区2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　）
12月14日
12月15日
12月16日
12月17日
$- 9 ～ 6 ℃$
晴
$- 11 ～ 11 ℃$
晴
$- 10 ～ 13 ℃$
晴
$- 11 ～ 10 ℃$
多云

A、12月14日 B、12月15日 C、12月16日 D、12月17日

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17、如图：已知抛物线 $L_{1} : y = - {(x - 1)}^{2} + 1$ 与 $x$ 轴交于原点 $O$ 、点 $B$ ，其顶点为点 $A$ ，抛物线 $L_{2} : y = - 3 x^{2} + b x + 2$ 过点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $M (m, 0)$ 与点 $N (n, 0)$ 是 $x$ 轴上的两个动点，且 $0 < m < 1 < n$ ，过点 $M$ 作直线 $P Q ⊥ x$ 轴，分别交 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 于点 $P$ 与点 $Q$ ，过点 $N$ 作直线 $R S ⊥ x$ 轴，分别交 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 于点 $R$ 与点 $S$ ；

(1)、求抛物线 $L_{2}$ 的函数表达式；

(2)、如图（1），请证明：若 $n + m = 2$ ，则 $P Q + R S < 8$ ；

(3)、如图（2），连接 $P R$ ， $O A$ 交于点 $T$ ，设 $△ O T R$ 面积为 $S_{1}$ ，连接 $T N$ ， $A N$ ，设 $△ O T N$ ， $△ A T N$ 面积分别为 $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，当 $n - m = 1$ 且 $\frac{S_{2} - S_{1}}{S_{3}} = \frac{25}{19}$ 时，请求出 $m$ 的值．

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18、【问题情境】
在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 为线段 $B C$ 上一点，连接 $A O$ ，将 $△ A B O$ 沿 $A O$ 所在的直线翻折，得到 $△ A O P$ ，延长 $A P$ 交线段 $C D$ 边于点 $E$ ，射线 $A O$ 与射线 $D C$ 交于点 $F$ ，如图（1）．

(1)、【问题解决】若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ．
①当点 $O$ 是 $B C$ 的中点时，求 $O P$ 的长；
②当 $B O = \frac{3}{2} C O$ 时，求 $A E$ 的长；

(2)、【问题探究】连接 $O E$ ，如图（2）．若 $△ F O E$ 为直角三角形，且满足 $tan ∠ O F E = \frac{2}{3}$ ，试探究线段 $A B$ 与线段 $B C$ 的数量关系．

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19、综合与实践：岳阳文庙历史悠久，是传承中华优秀传统文化的重要场所．庙前古银杏挺拔苍劲，孔子像庄严肃穆，承载着深厚的人文内涵．为了在真实情境中运用数学知识解决实际问题感受数学与生活、数学与文化的紧密联系，某校数学社团的同学们想要利用所学的知识测量文庙前银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表．

课题	测量银杏树 $A B$ 的高度
测量工具	测量角度的仪器、皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点 $C$ ， $D$ 在点 $B$ 的正西方向， $A B ⊥ B C$ ．	$G H$ 是银杏树旁的房屋， $A B ⊥ B H$ ， $G H ⊥ B H$ ， $G E ∥ H B$ ．	$E F$ 是银杏树正西方向的孔子像，借助 $E F$ 进行测量，使 $P$ ， $E$ ， $A$ 三点在一条直线上，点 $P$ ， $F$ 在点 $B$ 的正西方向， $A B ⊥ B P$ ， $E F ⊥ B P$ ．
测量数据	$∠ C = 27 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ， $C D = 33 m$ ．	$∠ A G E = 27 °$ ， $∠ B G E = 60 °$ ， $G H = 18 m$ ．	$E F = 22 m$ ， $∠ A F B = 60 °$ ．

(1)、第______小组的数据无法计算出银杏树

A B

的高度；

(2)、请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树

A B

的高度．（结果精确到

0.1 m

，参考数据：

sin 27 ° \approx 0.45

，

cos 27 ° \approx 0.89

，

tan 27 ° \approx 0.50

，

\sqrt{3} \approx 1.73

）

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20、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P$ 是 $A C$ 延长线上一点，连接 $P B$ ，使 $∠ P B C = ∠ A$ ．

(1)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、过点 $C$ 作 $C D ⊥ P B$ ，垂足为 $D$ ，若 $cos A = \frac{4}{5}$ ， $A B = 8$ ，求 $C D$ 的长．

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