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1、下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正?

(1)、 $3 a^{3} \cdot 2 a^{2} = 6 a^{6};$

(2)、 $3 x^{2} \cdot (- 4 x^{2}) = - 12 x^{2};$

(3)、 $5 y^{3} \cdot 3 y^{5} = 15 y^{15};$

(4)、 $x^{2} \cdot y^{2} {(- x y^{3})}^{2} = x^{4} y^{8} .$

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2、计算：

(1)、 $3 x y^{2} \cdot 2 y^{3};$

(2)、 $(- 5 a^{2} b) (- 3 a);$

(3)、 ${(2 x)}^{3} (- 5 x y^{2});$

(4)、 ${(- 3 x^{2} y)}^{2} {(- x y^{3})}^{2} .$

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3、通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是 $3 \times 1 0^{- 26} k g,$ 1滴水 (以20滴水为1g计)中大约有多少个水分子?假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完?

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4、已知 $x + x^{- 1} = 3,$ 求 $x^{2} + x^{- 2}, x^{4} + x^{- 4}$ 的值.

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5、计算：

(1)、 $\frac{a^{- 2} b^{3} (- 3 a^{- 1} b^{2})}{6 a^{- 3} b^{- 2}};$

(2)、 ${(\frac{x^{2} + x y}{x})}^{- 1} \div {(\frac{x - y}{x} \cdot \frac{x}{y - x})}^{- 3} .$

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6、计算：

(1)、 $(2 \times 1 0^{- 3}) \times (5 \times 1 0^{- 3});$

(2)、 ${(3 \times 1 0^{- 5})}^{2} \div {(3 \times 1 0^{- 1})}^{2} .$

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7、用科学记数法表示下列数：
0.000 01， 0.000 02， 0.000 000 567， 0.000 000 301.

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8、计算：

(1)、 $3 a^{- 2} b \cdot 2 a b^{- 2};$

(2)、 $4 x y^{2} z \div (- 2 x^{- 2} y z^{- 1});$

(3)、 ${(- 3 a b^{- 1})}^{3};$

(4)、 ${(2 m^{2} n^{- 2})}^{2} \cdot 3 m^{- 3} n^{3} .$

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9、计算：

(1)、 $π^{0} + {(- 2)}^{- 2} - {(- \frac{1}{3})}^{- 3};$

(2)、 $2^{- 2} - 5 \times {(- \frac{3}{5})}^{0} \times {(\frac{5}{2})}^{- 1} .$

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10、填空：

(1)、若 ${(a - 3)}^{- 2}$ 有意义，则a的取值范围为；

(2)、 $1 \div a^{- 1}$ = ； $a^{2} \cdot a^{- 2} =$ ； ${(- a b^{- 1})}^{- 2} =$ ；

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11、计算：

(1)、 $(2 \times 1 0^{- 6}) \times (3.2 \times 1 0^{3});$

(2)、 ${(2 \times 1 0^{- 6})}^{2} \div {(1 0^{- 4})}^{3} .$

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12、用科学记数法表示下列数：
0.000 000 001， 0.0012， 0.000 000 345， 0.000 000 010 8.

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13、碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性.它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2~20 nm.通常一根头发丝的直径约为70μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍?

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14、计算：

(1)、 $x^{2} y^{- 3} \cdot {(x^{- 1} y)}^{3};$

(2)、 ${(2 a b^{2} c^{- 3})}^{- 2} \div {(a^{- 2} b)}^{3} .$

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15、填空：

(1)、 $3^{0} =$ ； $3^{- 2} =$

(2)、 ${(- 3)}^{0} =_{,}$ ； ${(- 3)}^{- 2} =$

(3)、 $b^{0} =$ ； $b^{- 2} =$

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16、计算：

(1)、 $a^{- 2} \div a^{5};$

(2)、 ${(\frac{b^{3}}{a^{2}})}^{- 2};$

(3)、 ${(a^{- 1} b^{2})}^{3};$

(4)、 $a^{- 2} b^{2} \cdot {(a^{2} b^{- 2})}^{- 3} .$

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17、

(1)、式子 $\frac{a}{b c} + \frac{b}{c a} + \frac{c}{a b}$ 的值能否为0?为什么?

(2)、式子 $\frac{a - b}{(b - c) (c - a)} + \frac{b - c}{(a - b) (c - a)} + \frac{c - a}{(a - b) (b - c)}$ 的值能否为0?为什么?

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18、如图，运动场两端的半圆形跑道外径为R，内径为r，中间为直跑道，整个跑道总面积为S，试用含S，R，r的式子表示直跑道的长a.

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19、一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地.求第一小时的行驶速度.

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20、一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10hm²小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1h.这台收割机每小时收割多少公顷小麦?

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