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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于D，E，F分别是 $A B, A C$ 的中点，G是 $D E$ 的中点， $F G$ 的延长线交 $B D$ 于H，连接 $E H$ ．求证： $E H = \frac{1}{2} A C$ ．

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2、如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A， $B (- 1, 0)$ ，与y轴交于 $C (0, 4)$ ， $A D ⊥ A C$ 与抛物线交于D，点E在直线 $C D$ 上．若 $∠ D E A = 2 ∠ D C A$ ，则点E的坐标是．

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是切线， $A C$ 交 $⊙ O$ 于D，在 $A B$ 上取 $A E = A D$ ， $D E$ 的延长线交 $⊙ O$ 于F．若 $∠ F = 30 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是．

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4、如图，在 $▱ A B C D$ 中，若 $∠ A + ∠ C = ∠ B$ ，则 $\cos A$ 的值为．

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5、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 上一点（不含端点），延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $C F = A E$ ，连接 $E F$ 与 $C D$ 交于 $G$ ，作 $D H ⊥ E F$ 于 $H$ ，连接 $A H$ ， $B H$ ．下列结论： $①$ $D H = B H$ ； $②$ $∠ D A H$ 的大小随点 $E$ ， $F$ 位置的变化而变化； $③$ $A$ ， $H$ ， $C$ 三点共线； $④$ $A H \cdot D G = \sqrt{2} D H^{2}$ ．正确的有（）

A、 $4$ 个 B、 $3$ 个 C、 $2$ 个 D、 $1$ 个

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6、如图， $▱ A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ C = 2 ∠ D$ ． $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 上的动点（不含端点）， $G, H$ 分别是 $A F$ ， $E F$ 的中点．则 $G H$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是半圆的中点， $D$ 是弧 $B C$ 上的动点，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $135 °$ C、 $150 °$ D、不能确定

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8、某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（）．

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9、在如图的“标准的箭头”中， $A B ∥ C D, ∠ B = ∠ D = 80 °, ∠ G = 66 °$ ，则 $∠ E$ 与 $∠ F$ 的度数都是（）

A、 $43 °$ B、 $44 °$ C、 $46 °$ D、 $47 °$

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10、下列选项中，最小的是（）

A、 $- (- 0.3)$ B、 ${(- 0.2)}^{0}$ C、 ${(- 3)}^{- 2}$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$

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11、如图，将矩形 $O A B C$ 放在直角坐标系中， $O$ 为原点，点 $C$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 在 $y$ 轴上， $O A$ 、 $O C$ 的长 $a$ ， $c$ 满足 $|a - 5| + \sqrt{c - 10} = 0$ ，把矩形 $O A B C$ 沿对角线 $O B$ 所在直线翻折，点 $C$ 落到点 $D$ 处， $O D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、 $a =$ ______， $c =$ ______；

(2)、请求出 $E$ 点的坐标（写过程），并直接写出点 $D$ 的坐标（不写过程）；

(3)、在（2）的条件下，点 $N$ 为平面内任意一点， $y$ 轴上是否存在一点 $M$ ，使得以 $O$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 $M$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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12、阅读观察：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如，化简 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．
解：将分子、分母同乘以 $\sqrt{2} + 1$ 得， $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$ ．

(1)、类比应用：
①化简： $\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} =$ ______；
②请化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2023}}$ ；

(2)、拓展延伸：宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形 $A B C D$ 的宽 $A B = 4$ ，则黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C =$ ______．

(3)、在（2）的条件下，如图②，将图①中的黄金矩形截剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．

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13、正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是边 $C D$ 上的任意一点，连接 $B P$ ，作 $P E ⊥ B D$ ，连接 $A E$ ， $E C$ ．

(1)、当 $∠ D A E = 25 °$ 时，求 $∠ A E C$ 的度数；

(2)、当 $∠ P B C = 15 °$ 时， $D P = 6$ ，请直接写出正方形 $A B C D$ 的边长为______．

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14、如图，四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．

(1)、请直接写出以下线段的长度： $B C =$ ______， $C D =$ ______， $A D =$ ______， $A B =$ ______；

(2)、连接 $B D$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

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15、计算： $\sqrt{27} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{6} + \sqrt{18}$ ．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．若 $E$ 为 $A B$ 的中点， $A C = 8$ ， $△ B C D$ 的周长为14，则 $C D$ 的长为．

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17、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A D B = 90^{°}$ ， $A C = 10$ ， $B D = 6$ ，则 $A D$ 的长为．

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18、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，要使得 $▱ A B C D$ 成为矩形，应添加的一个条件是．（只需写一个条件）

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19、如图，直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点D是 $A B$ 上的一个动点，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于E点， $D F ⊥ B C$ 于F点，连接 $E F$ ，则线段 $E F$ 的最小值为（）

A、2.4 B、5 C、4.8 D、2.5

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20、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形 $O A B C$ 是正方形，其中点A的坐标为 $(3, 4)$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(- 1, 5)$ C、 $(- 2, 7)$ D、 $(- 1, 7)$

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