相关试卷

1、阅读下列材料：
计算： $\frac{1}{24} \div (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{12})$ ．
解法一：原式 $= \frac{1}{24} \div \frac{1}{3} - \frac{1}{24} \div \frac{1}{4} + \frac{1}{24} \div \frac{1}{12} = \frac{1}{24} \times 3 - \frac{1}{24} \times 4 + \frac{1}{24} \times 12 = \frac{11}{24}$ ．
解法二：原式的倒数 $= (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{12}) \div \frac{1}{24} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{12}) \times 24 = \frac{1}{3} \times 24 - \frac{1}{4} \times 24 + \frac{1}{12} \times 24 = 4$ ，所以原式 $= \frac{1}{4}$ ．

(1)、上述两种解法得到的结果不同，你认为解法_____是正确的；

(2)、请你选择合适的解法计算： $(- \frac{1}{72}) \div (\frac{1}{9} - \frac{3}{8} + \frac{5}{24} - \frac{2}{3})$ ．

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2、（1）先化简，再求值： $x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y + y^{2})$ ，其中 $x = - 1, y = 2$ ．
（2）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如我们把 ${(a - b)}^{2}$ 看成一个整体，合并 $3 {(a - b)}^{2} - 5 {(a - b)}^{2} + 7 {(a - b)}^{2}$ 的结果是___________．

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3、阅读材料：
若数对 $(m, n)$ 是使得 $3 n = 12 - m$ 成立的一对数或整式，则称数对 $(m, n)$ 为友好数对．例如数对 $(6, 2)$ ，因为 $2 \times 3 = 12 - 6$ ，所以数对 $(6, 2)$ 为友好数对．
解决问题：

(1)、下列数对：① $(5, 3)$ ， ② $(- 3, 5)$ ， ③ $(\frac{13}{2}, \frac{13}{6})$ 中，是友好数对的是________；（填序号）

(2)、已知数对 $(M, N)$ 是友好数对，其中 $N = 2 a^{2} + 3 a b - 1$ ，求 $M$ ；

(3)、在（2）的条件下，当代数式 $2 a^{2} + 3 a b$ 的值为 $4$ 时，请说明数对 $(N, M)$ 也是友好数对．

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4、认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如 $|5 - 3|$ 表示 $5$ ， $3$ 在数轴上对应的两点之间的距离； $|5 + 3 |=| 5 - (- 3)|$ ，所以 $|5 + 3|$ 表示 $5$ ， $- 3$ 在数轴上对应的两点之间的距离； $|5 |=| 5 - 0|$ ，所以 $|5|$ 表示 $5$ 在数轴上对应的点到原点的距离 $.$ 一般地，点 $A$ ， $B$ 在数轴上分别表示有理数 $a$ ， $b$ ，那么 $A$ ， $B$ 之间的距离可表示为 $|a - b|$ ．

(1)、点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在数轴上分别表示有理数 $x$ ， $- 2$ ， $1$ ，那么 $A$ 到 $B$ 的距离与 $A$ 到 $C$ 的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；

(2)、利用数轴探究：
① $|x - 3 |+| x - 2|$ 的最小值是______；
②求 $|x - 3 |+| x - 2 |+| x + 1|$ 的最小值以及此时 $x$ 的值．

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5、阅读理解，并完成下列各题：
对于数轴上任意一点P，把与点P相距 $b$ 个单位长度和位于点P右侧且与点P相距2b个单位长度（b是正数）的两点所表示的数分别记作m和n（其中 $m < n$ ），并把m，n这两个数叫作“点P关于b的倍数组”，记作 $N (P, b) = < m, n >$ ．例如，原点O表示数0，原点O关于2的倍数组是 $< - 2, 4 >$ 或 $< 2, 4 >$ ．

(1)、如果点P表示数3，那么点P关于2的倍数组是______．

(2)、如果P，Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，P在数轴上以每秒2个单位长度的速度沿着数轴正方向运动，Q在数轴上以每秒3个单位长度的速度沿着数轴负方向运动，已知 $N (P, 3) = < m, n >$ ， $N (Q, 2) = < p, q >$ ．
①经过t秒后，是否存在常数k，使得 $n - k q$ 为定值?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
②t为何值时， $n - 2 p$ 等于26?

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6、【发现问题】小浙同学说：“所有的有理数都可以写成分数形式．”好奇的小江对小浙的说法产生了两个疑问，疑问1：这句话正确吗？疑问2：有理数包含无限循环小数，那么无限循环小数能不能写成分数形式呢？
【探究问题】
（1）聪明的你来判断一下：“所有的有理数都可以写成分数形式”是______的（填“正确”或“不正确”）．
【解决问题】
（2）小江的同桌查阅资料得知，设 $0. \dot{5} \dot{3} = x$ ，由 $0. \dot{5} \dot{3} = 0.535353$ …可知， $100 x - x = 53$ ，解得 $x = \frac{53}{99}$ ，即 $0. \dot{5} \dot{3} = \frac{53}{99}$ ．请用类似的方法，把 $0. \dot{7}$ ， $0. \dot{2} 7 \dot{4}$ 转化为分数的形式．

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7、解不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 (x - 1) \leq x + 1 ① \\ 3 x + 4 \geq 2 (x + 1) ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)、解不等式①，得______；

(2)、解不等式②，得______；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为______．

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8、如图1，抛物线 $y = - x^{2} + 3 x$ 与直线 $y = - x$ 相交于O、B两点，点A在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴的另一个交点，连接 $O A$ 、 $O B$ 、 $A B$ ．

(1)、求点B坐标；

(2)、 $△ A O B$ 是什么三角形？请说明理由；

(3)、如图2，点C是线段 $A B$ 的中点，点E是线段 $O B$ 上一动点，连接 $A E$ 、 $C E$ ，将 $△ A E C$ 沿 $E C$ 折叠，得到 $△ A^{'} E C$ ，若 $△ A^{'} E C$ 与 $△ C B E$ 重叠部分的面积是 $△ C B E$ 面积的 $\frac{1}{2}$ ，求 $E B$ 的长；

(4)、如图3，若 $P (0, - 4)$ ，点M是第四象限内一动点，且 $O M = O P$ ，过M作 $M N ⊥ O P$ ，垂足为N，设 $△ O M N$ 的内心为Q，请直接写出 $D Q$ 的最小值．

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9、如图1，点A，B，C都在 $⊙ O$ 上，且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．

(1)、求证： $△ B C D$ 是等腰三角形．

(2)、如图2， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D$ 与AD相交于点 $P$ ．
①若 $C P = 14$ ， $D P = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．
②若 $D H ⊥ A C$ 于点H，求证： $D H = A B + C H$ ．

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10、综合与实践
【知识背景】（杠杆原理：阻力 $\times$ 阻力臂 $=$ 动力 $\times$ 动力臂，如图1，即 $(F_{1} \times I_{1} = F_{2} \times L_{2}) ，$ 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．
【方案设计】
第一步：在一根长度为 $50cm$ 的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度 $1cm$ ），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端 $10cm$ 处确定支点O，并用细麻绳固定；
第二步：取一个质量为 $1kg$ 的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计）
任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为 $x kg$ ， $O B$ 的长为 $y cm$ ．
（1）y关于x的函数解析式是_____；
（2）若 $0 < y < 40$ ，则x的取值范围是．
任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为 $x kg$ ， $O B$ 的长为 $y cm$ ，完成下列问题：
（3）y关于x的函数解析式是；
（4）完成表格：
$x /kg$
$\dots$
$0.25$
$0.5$
1
2
4
$\dots$
$y /cm$
$\dots$

$\dots$
任务三：如图4 ，在离左侧末端 $5 cm$ 处确定第二个支点Q ，现有两个秤砣分别为M（ $1 kg$ ）、N（ $2 kg$ ）可用，现有重物约 $16 kg$ ，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为 $16 kg$ ．

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11、综合与实践
项目主题：劳动基地扩建方案
项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习．
信息获取：
信息1，如图，原劳动基地为矩形， $A B$ 的长为 $25 m$ ， $B C$ 的长为 $45 m$ ；
信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形， $B E$ 的最大长度为 $32 m$ ， $B G$ 的最大长度为 $58 m$ ．
问题解决：

(1)、若新劳动基地的面积为 $1500 m^{2}$ ，且 $A E = C G$ ，求 $B G$ 和 $B E$ 的长．

(2)、当 $C G = 3 A E$ 时，新劳动基地的面积可以为 $1800 m^{2}$ 吗？请说明理由．

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12、在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：

(1)、将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若抛物线 $y = x^{2} + p x + q$ 经过 $B_{1}$ 和 $C_{1}$ 两点，试判断点 $A$ 是否在该抛物线上．

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13、一副三角板按图1放置， $O$ 是边 $B C (D F)$ 的中点， $B C = 20 cm$ ．如图2，将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $60 °$ ， $A C$ 与 $E F$ 相交于点 $G$ ，则 $F G$ 的长是．

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14、抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 的顶点坐标是．

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15、如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4cm，瓶内液体超过一半，最大深度 $C D = 6 cm$ ，则截面圆中弦 $A B$ 的长为（　　）

A、 $5 cm$ B、 $2 \sqrt{3} cm$ C、 $6 cm$ D、 $4 \sqrt{3} cm$

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16、已知反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ ，则下列描述不正确的是（）

A、图象必经过点 $(- 1, - 3)$ B、图象位于第一、第三象限 C、当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、当 $x > 1$ 时， $y > 3$

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17、已知 $△ A B C$ 中， $∠ B = 15 °$ ．将 $△ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转， $A B^{'}$ 与 $B C$ 相交于点O，当旋转角为 $25 °$ 时， $∠ C O A$ 的大小为（）

A、 $15 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $40 °$

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18、将抛物线 $y = x^{2} + 2$ 向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = x^{2} + 3$ C、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$

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19、一元二次方程 $x^{2} - 36 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、有一个实数根

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20、阅读材料解决问题：
物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要，例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向；杂技演员在表演转盘的时候，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动；飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能等等．
（1）简单平面图形的重心位置
我们学习了三角形的重心，知道三角形的重心是三条中线的交点．我们可以用平衡法、悬挂法等方法确定这些简单平面图形的重心位置，发现重心位置都位于它们的几何中心．
任务一、作出图1、图2的重心 $G_{1}$ ， $G_{2} ．$
（2）合平面图形的重心位置
在平面内，图形A与图形B拼成一个图形 $C$ （无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上．根据这一结论，我们可以确定两个简单平面图形拼成的图形重心位置．例如：要确定图3的重心G的位置，可以将图3用两种方法分割成两个简单图形（如图4、图5），则重心G在这两个基本图形的重心M， $N (P, Q)$ 所连线段 $M N (P Q)$ 上，所以图3的重心为线段 $M N 、 P Q$ 的交点 $G$ （如图6）．
任务二、作出图7的重心 $G ．$
（3）跳高是一种需要技巧和力量的运动，常见的方法有跨越式、滚式和背越式，如图 $8 ．$
任务三、如果将不同方法的运动员体态抽象为平面图形，请根据材料中内容，解释为什么跳高运动员采用“背越式”成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”更好．

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$x /kg$	$\dots$	$0.25$	$0.5$	1	2	4	$\dots$
$y /cm$	$\dots$						$\dots$