初中数学人教版（2024）-试题列表-第146页

1、【定义新运算】

对于正实数a、b，定义运算“◎”，满足a◎b= $\frac{b}{\sqrt{a}}$ .例如：16◎3= $\frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$ .

(1)、计算：2◎1= ， a◎a=（a为正实数）.

(2)、【应用新运算】

对于正实数a、b，若满足4◎（6a）-1◎（2b）=8，2◎（2 $\sqrt{2}$ a）+9◎（3b）=10，求a、b的值.

(3)、【拓展应用】

如图，记△ABC的三边长分别为a、b、c，∠CAE=∠BAF=90°，AC=AE，AB=AF，AC∥EF.若a+b=5，S_△_ABF= $\frac{13}{2}$ ，求（c◎a）•（c◎b）

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2、贴春联是中国人过年的重要习俗.马年春节临近，沃尔玛超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示.全部销售后可获得利润810元.

	A种春联	B种春联
进价（元/副）	15	12
售价（元/副）	18	14.5

(1)、沃尔玛超市购进A、B两种春联各多少副？

(2)、由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？

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3、如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点F在线段CD上，且∠DEF=∠B.

(1)、求证：∠BDC=∠DFE；

(2)、若DE平分∠ADC，∠BDC=2∠B，求∠B的度数.

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4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-4，4），C（-1，-1）.

(1)、在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁；

(2)、若直线l经过点（1，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C₂的坐标；

(3)、△ABC的面积为.

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5、学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面给出了部分信息：

七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88.

八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99.

七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	82	82
中位数	a	c
方差	278.9	134.7

根据以上数据分析信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中a= ， b= ， c= ， m=；

(2)、如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选年级更合适（填“七”或“八”）；

(3)、该校七年级有学生560人，八年级有学生500人.请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？

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6、

(1)、计算：

\frac{\sqrt{20} + \sqrt{45}}{\sqrt{5}} - \sqrt{27} \times \sqrt{\frac{1}{3}} + (\sqrt{2} - 1)^{0}

；

(2)、解方程组：

{\begin{cases} 3 x - y = 6 \\ x - 3 y = 2 \end{cases}

.

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7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=

3 \sqrt{6}

， D为BC上一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，取AE=AD，连接BE交AC于F.若AE=EF，则AD= .

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8、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，动点P从点A出发，沿着A→B→C的路径运动到点C停止，过点P作PQ⊥AC，垂足为Q.设点P的运动路程为x，PQ-AQ的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则AB的长为 .

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9、若一次函数y=kx+b的图象与

y = - \frac{4}{3} x

的图象相交于点M（3，m），则关于x，y的方程组

{\begin{cases} k x + b - y = 0 \\ \frac{4}{3} x + y = 0 \end{cases}

的解是 .

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10、小文参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作90分，计算机操作70分，创意设计80分.若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按50%，20%，30%的比例计算最终成绩，则她的素质测试的最终成绩为分.

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11、张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500km，汽车出发前油箱中有油25L，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油前、后汽车都以100km/h的速度匀速行驶，已知油箱中的剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（）

A、当0＜t＜2时，y（L）与t（h）之间的函数表达式为y=-8t+25 B、途中加油21L C、汽车加油后还可行驶4h D、汽车到达乙地时油箱中的剩余油量为6L

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12、马年即将来临，琪琪要做玩偶马和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做玩偶马25只或者福袋40个，琪琪将1只玩偶马和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物.若设用x米布做玩偶马，用y米布做福袋，则可列出方程组为（）

A、

{\begin{cases} x + y = 36 \\ y = 2 x \end{cases}

B、

{\begin{cases} x + y = 36 \\ 25 x = \frac{40 y}{2} \end{cases}

C、

{\begin{cases} x + y = 36 \\ 25 x = 2 \times 40 y \end{cases}

D、

{\begin{cases} x + y = 36 \\ \frac{2 x}{25} = \frac{y}{40} \end{cases}

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13、若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则一次函数y=-bx+k的图象是（）

A、

B、

C、

D、

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14、下列命题中，假命题的是（）

A、全等三角形的面积相等 B、位于第三象限的点，横纵坐标都为负数 C、两直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D、一组数据的众数可以不唯一

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15、下列四组数，不能作为直角三角形三条边的长度的是（）

A、

2, 1, \sqrt{5}

B、6，8，10 C、7，40，41 D、5，12，13

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16、如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图.若表示嘴部点A的坐标为（-2，1），表示尾部点B的坐标为（3，-1），则表示足部点C的坐标为（）

A、（0，-2） B、（-1，-2） C、（1，-2） D、（0，-1）

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17、下列各式正确的是（）

A、

\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}

B、

\sqrt{6} \times \sqrt{2} = 12

C、

\sqrt{12} - \sqrt{3} = 3

D、

\sqrt{12} \div \sqrt{3} = 2

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18、下列实数中，是无理数的是（）

A、

1 . \overset{\cdot \cdot}{35}

B、

\sqrt{3}

C、

\frac{5}{7}

D、

\sqrt[3]{27}

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19、

【综合与探究】

（1）小紫发现其新购入的一副三角尺套装中两个三角板的斜边相等（如图1），于是便将其拼接起来并抽象成如图2所示的四边形 $A B C D$ ．连接对角线 $B D$ ，经测量 $∠ A B D = 45 °$ ，小紫尝试用已学知识证明 $∠ A B D = ∠ C B D$ ，以下是其思路与方法，请完成填空：

证明：如图3，作 $D M ⊥ A B$ ， $D N ⊥ B C$ ，垂足分别为 $M 、 N$ ，

∵ $∠ D A B = ∠ D A C + ∠ B A C = 45 ° + 60 ° = 105 °$ ，

∴ $∠ D A M = 180 ° - 105 ° = 75 °$ ，

∵ $∠ B C D = ∠ A C B + ∠ A C D = 30 ° + 45 ° = 75 °$ ，

∴____________________，

且在 $△ A D M$ 与 $△ C D N$ 中， $∠ A M D = ∠ C N D = 90 °$ ， $A D = C D$ ，

∴ $△ A D M ≌ △ C D N (AAS)$ ，

∴____________________，

∴ $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，

∴ $∠ A B D = ∠ C B D$ ．

（2）爱钻研的小紫发现，当四边形满足一定的条件时，就会有类似的性质，如图4，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ， $A D = C D$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ．

①图4中存在多对相似三角形，如： $△ A B O ∽ △ D C O$ ，请按上述格式直接写出图中其余所有的相似三角形；

②在图4中，若 $A B = m$ ， $B C = n$ ，则求出 $\frac{O D}{O B}$ 的值；

【变式拓展】

（3）如图4，若在（2）的四边形 $A B C D$ 中有 $3 O A = 4 O C$ ， $P$ 为 $B C$ 边上一动点，将 $△ A B P$ 沿 $A P$ 翻折，点 $B$ 对应点为 $E$ ，射线 $P E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，其中 $A C = 15$ ， $E F = 5$ ，请直接写出线段 $B P$ 的长．

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20、【综合与实践】深圳高级中学数学社团“探思社”对二次函数图象上点的坐标变换进行了深入探究，并在北师大版九年级上册数学书P116相关内容（如图1）的启发下，给出了如下定义：

在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 $k (k \neq 0)$ ，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 $|k|$

图1

【定义】将二次函数 $C$ 图像上任意一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的横、纵坐标同乘实数 $n (n \neq 0)$ ，得到新的点 $P^{'} (n x_{0}, n y_{0})$ 称为点 $P$ 的“ $n$ 倍位似点”，连接二次函数 $C$ 图像上所有点的“ $n$ 倍位似点”所形成的曲线称为二次函数 $C$ 的“ $n$ 倍位似曲线”．

【探究】“探思社”的同学对二次函数 $C : y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 的“ $\frac{1}{2}$ 倍位似曲线”与“ $2$ 倍位似曲线”进行了探究：

$y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 上的点	…	$(0, 1)$	$(1, - 2)$	$(2, - 3)$	$(3, - 2)$	$(4, 1)$	…
对应“ $\frac{1}{2}$ 倍位似点”	…	$(0, \frac{1}{2})$	$(\frac{1}{2}, - 1)$	$M$	$(\frac{3}{2}, - 1)$	$(2, \frac{1}{2})$	…
对应“ $2$ 倍位似点”	…	$(0, 2)$	$(2, - 4)$	$(4, - 6)$	$(6, - 4)$	$(8, 2)$	…

（1）①列表：填写表格，其中点 $M$ 的坐标为_____；

②描点：将二次函数 $C : y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 图像上点所对应的“ $\frac{1}{2}$ 倍位似点”与“ $2$ 倍位似点”分别描在下面的图 $2$ 与图 $3$ 中；

③连线：分别用光滑的曲线顺次连接各点得到二次函数 $C : y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 的“ $\frac{1}{2}$ 倍位似曲线” $C_{1}$ 与“ $2$ 倍位似曲线” $C_{2}$ ．

【发现】（2）①发现： $C$ 的“ $\frac{1}{2}$ 倍位似曲线” $C_{1}$ 的表达式为：_____；

$C$ 的“ $2$ 倍位似曲线” $C_{2}$ 的表达式为：_____；

②猜想：对于任意二次函数： $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 对应的“ $n$ 倍位似曲线” $(n \neq 0)$ 的表达式为_____；

③验证：请用证明验证你的猜想．

【拓展应用】（3）若二次函数： $y = x^{2} - 6 x + 5$ 的顶点为 $D$ ，其所对应的“ $n$ 倍位似曲线” $(n \neq 0)$ 与 $x$ 轴分别交于 $A 、 B$ 两点，若 $△ A B D$ 满足 $2 ＜ S_{△ A B D} ＜ 4$ ，请求出 $n$ 的取值范围．

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