相关试卷

1、假设，2025年7月1日，国家航天局发布了与地球距离超12000000千米的“天问二号”行星探测器在轨拍摄的地月影像图．将数据12000000用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 \times 10^{7}$ B、 $12 \times 10^{7}$ C、 $1.2 \times 10^{6}$ D、 $0.12 \times 10^{6}$

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2、下列各式中，是二元一次方程的是（　　）

A、 $x - y > 1$ B、 $x + 3 y$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x y - 1 = 0$

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3、综合题

(1)、如图1， $A B = 7 cm$ ， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ， $A C = 5 cm$ ．点 $P$ 在线段 $A B$ 上以 $2 cm / s$ 的速度由点 $A$ 向点 $B$ 运动，同时，点 $Q$ 以相同的速度在射线 $B D$ 上由点 $B$ 向点 $D$ 运动．它们运动的时间为 $t (s)$ ，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 也停止运动．当 $t = 1 s$ 时，猜想：线段 $C P$ 与 $P Q$ 之间的关系，并说明理由．

(2)、【拓展】如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D，A，E三点都在直线m上，并且 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C$ 猜想：线段 $D E$ 、 $B D$ 、 $C E$ 之间的关系，并说明理由．

(3)、【应用】如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 是钝角， $A B = A C$ ， $∠ B A D > ∠ C A E$ ， $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C$ ，直线m与 $B C$ 的延长线交于点F，若 $B C = 2 C F$ ， $△ A B C$ 的面积是12，则 $△ A B D$ 与 $△ C E F$ 的面积之和为．

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4、图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，请解答下列问题：

(1)、根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ；

(2)、小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则 $x + y$ 的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示)

(3)、如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____；

(4)、如图5，直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点D是 $A B$ 边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段 $C D$ 的最小值．

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5、如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ D E H + ∠ E H G = 180 °$ ， $∠ C = ∠ A$ ．

(1)、试说明： $∠ A E H = ∠ F$ ；

(2)、若 $∠ B = 40 °$ ， $∠ F = 25 °$ ，求 $∠ D E F$ 的度数．

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6、已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三边长，且a，b，c都是整数．

(1)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，且c是奇数，试判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、化简： $|a - b - c| + |b - c - a| + |c - a - b|$ ．

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7、如图，在 $8 \times 4$ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．

(1)、画出 $△ A B C$ 的重心 $P$ ．

(2)、在已知网格中找出所有格点 $D$ ，使点 $△ B C D$ 与 $△ A B C$ 的面积相等．

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8、如图，点 $B ， C ， E ， F$ 在同一直线上，点 $A ， D$ 在 $B C$ 的异侧， $A B = C D$ ， $B F = C E$ ， $∠ B = ∠ C$ ．

(1)、求证： $A E ∥ D F$ ．

(2)、若 $∠ A + ∠ D = 144 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，求 $∠ A E C$ 的度数．

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9、如图，在 $△ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 12 cm$ ， $B C = 6 cm$ ， $C D$ 为 $A B$ 边上的高，点E从点B出发，在直线 $B C$ 上以 $3 cm / s$ 的速度移动，过点E作 $B C$ 的垂线交直线 $C D$ 于点F，当点E运动 s时， $C F = A B$ ．

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10、小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处， $O A$ 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到 $O A$ 的水平距离 $B D$ 、 $C E$ 分别为 $1.3 m$ 和 $1.9 m$ ， $∠ B O C = 90 °$ ，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）

A、 $1 m$ B、 $1.3 m$ C、 $1.6 m$ D、 $1.9 m$

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11、若 $2 x - y - 2 = 0$ ，则 $9^{x} \div 3^{y} - 1$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、8 C、7 D、6

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12、等腰三角形的周长是30，其中一条边长为6，则等腰三角形的腰长为（）

A、18 B、6或12 C、12 D、6

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13、近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（）

A、15 B、5 C、0.75 D、0.25

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14、【教材呈现】如下是人教版八年级下册数学教材74页的部分内容．

例4 如图21.3-12，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 的垂直平分线与边 $A D$ ， $B C$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ ．求证：四边形 $A F C E$ 是菱形．

分析：已知 $A C ⊥ E F$ ，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形 $A F C E$ 是平行四边形．由题意可知 $A O = C O$ ，还需证明 $E O = F O$ ．

(1)、【问题解决】请结合图①写出例4的证明过程；

(2)、【类比探究】在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图②，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8$ ，过对角线 $A C$ 上一点，作 $A C$ 的垂线，交边 $A D 、 B C$ 于点 $E 、 F$ ，求 $E F$ 的长．

小明同学是这样思考的：

点O是AC的中点，过点O作AC的垂线，交AD、BC于点M、N（如图③），就可以证明EF=MN；结合例4积累的经验，就可以求出EF的长．

请结合小明的思路回答下列问题：

①【问题一】结合图③证明： $E F = M N$ ；

②【问题二】 $E F =$ _________；

③【拓展应用】如图④，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8$ ，点 $E 、 F$ 分别是线段 $A D 、 B C$ 上的动点，且 $E F$ 与 $A C$ 互相垂直，则 $A F + F E + C E$ 的最小值为________．

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15、解决问题

(1)、如图①，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 和点 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点．则 $D E$ 与 $B C$ 的关系是_______．

(2)、如图②，已知 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是四边形 $A B C D$ 各边的中点， $A C$ 与 $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的对角线．
①求证：四边形 $E F G H$ 是平行四边形；
②若 $A C ⊥ B D, A C = 6, B D = 8$ ，则 $E G =$ _______；
③直接写出当 $A C$ 与 $B D$ 满足怎样的关系时，四边形 $E F G H$ 是正方形．

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16、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = B C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、点E是 $A D$ 上一点，点F是 $B C$ 的中点，连接 $B E$ ， $C E$ ， $E F$ ，若 $B E = 12$ ， $C E = 5$ ， $B C = 13$ ，求 $E F$ 的长．

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17、2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武 $B O T$ 》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距 $450 cm$ 的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为 $x (s)$ ，小松和小江行走的路程分别为 $y_{1} (cm), y_{2} (cm), y_{1}, y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题：

(1)、机器人小松比机器人小江先出发________ $s$ ；

(2)、机器人小江提速后的速度为________ $cm / s$ ；

(3)、求 $m, n$ 的值．

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18、像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1, \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0), (\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ 等两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ， $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3}} =$ ________；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ；

(3)、已知正整数 $a, b$ 满足 $\frac{a}{\sqrt{2} - 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，直接写出 $a, b$ 的值．

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19、已知函数 $y = (2 m + 1) x + 1$ ，其中 $x$ 是自变量．

(1)、若此函数的图象平行于直线 $y = 3 x$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若此函数 $y$ 值随 $x$ 值的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是______；该函数不经过第_______象限．

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20、图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段 $A B$ 的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上．

(1)、在图①中以 $A B$ 为边画一个面积为 $9$ 的平行四边形 $A B C D$ ；

(2)、在图②中以 $A B$ 为边画一个正方形 $A B E F$ ；

(3)、在图③中以 $A B$ 为边画一个菱形 $A B G H$ ，且该菱形不是正方形．

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