相关试卷

1、如图所示，有经验的渔民叉鱼时，需瞄准看到鱼的下方才能精准叉到鱼．这是因为，水中鱼的实际位置为点O，鱼反射的光 $O A$ 从水中斜射向空气时会发生折射，人眼看到的虚像位置升高到点 $O^{'}$ ，即鱼看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O， $O^{'}$ ， B三点共线， $A B ⊥ O B$ ， $A B = 18 dm$ ，渔民看到虚像的视线 $O^{'} A = 30 dm$ ，水面 $A B$ 到鱼实际位置的距离 $O B = 26 dm$ ，求鱼的虚像 $O^{'}$ 和实际鱼的位置O之间的距离 $O O^{'}$ 是多少？

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2、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $C D = 6, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ．按以下步骤作图：①以点 $B$ 为圆心，适当的长为半径画弧，分别交 $A B 、 B C$ 于点 $M 、 N$ ；②分别以点 $M 、 N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 的内部相交于点 $P$ ；③连接 $B P$ 并延长，交 $A D$ 于点 $E$ ．求 $△ A B E$ 的周长．

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3、如图，已知直线 $y = 2 x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $A B$ 的长为半径画弧，交 $x$ 轴的正半轴于点 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 2 ， B C = 4$ ，则正方形 $A D E C$ 的面积是；

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5、如图，“辽契丹文八角铜镜”收藏于吉林省博物院，形状可看作正八边形，它的一个外角 $α$ 的度数是．

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6、将函数 $y = 3 x - 1$ 的图象向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是．

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7、《中小学生午休课桌椅通用技术要求》国家标准于2026年2月1日起正式实施．《要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到 $135 °$ 以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图， $A 、 B 、 C$ 在同一条直线上，靠背 $B D$ 的长度为 $2 a, ∠ A C D = 90 °$ ．下列选项中正确的是（）

A、当 $∠ A B D = 135 °$ 时， $D C = \frac{1}{2} a$ B、当 $∠ A B D = 135 °$ 时， $D C = a$ C、当 $∠ A B D = 150 °$ 时， $B C = \sqrt{3} a$ D、当 $∠ A B D = 150 °$ 时， $B C = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

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8、实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，化简： $|a - 1| + \sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ 的值是（）

A、1 B、 $2 a - 3$ C、-3 D、 $2 a + 3$

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9、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，若 $A B = 2$ ，则 $C D$ 的长度是（）

A、 $0.5$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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10、下列函数中是正比例函数的是（）

A、 $y = - 7 x$ B、 $y = \frac{7}{x}$ C、 $y = 7 x^{2} + 1$ D、 $y = \sqrt{x}$

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11、以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、 $2, 3, \sqrt{6}$ C、 $1, 2, \sqrt{5}$ D、2，2，3

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12、
四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系．在凸四边形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边形”．如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ， $A C = B C$ ，此时，四边形 $A B C D$ 是“垂等四边形”．

【探究性质】
（1）如图 $2$ ，在垂等四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ．
①判断 $∠ B A C$ 与 $∠ D B C$ 的数量关系是______；
②若 $A B = 6$ ， $B D = 8$ ，求垂等四边形 $A B C D$ 的面积；
【判定推理】
（2）如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，得到 $△ A D E$ ，若点 $D$ 恰好落在 $B C$ 的垂直平分线上，连接 $C D$ ， $B E$ ，求证：四边形 $B C D E$ 是垂等四边形；
【综合运用】
（3）如图 $4$ ，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $(0, 4)$ ， $(- 3, 0)$ ， $(3, 0)$ ，点 $P$ 为平面内一个动点，若以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ 为顶点的四边形是垂等四边形，且 $B P = B C$ ，直接写出点 $P$ 的坐标．

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13、
【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为 $x$ 轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度 $y$ 与跳跃水平距离 $x$ 的关系，可用函数 $y = - \frac{p}{v^{2}} x^{2} + q x$ 描述，式中 $v$ 为起跳速度（单位： $m/s$ ）， $p$ ， $q$ 是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以 $45 °$ 起跳时，则满足 $y = - \frac{10}{v^{2}} x^{2} + x$ ；以 $60 °$ 起跳时，则满足 $y = - \frac{20}{v^{2}} x^{2} + \sqrt{3} x$ ．
【模型研究】如图 $1$ ，将机器人跳跃轨迹抽象成形如 $y = - a x^{2} + b x$ 的二次函数图象（ $a$ ， $b$ 均为常数， $a > 0$ ， $b > 0$ ），该函数图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，取抛物线顶点 $B$ ，过 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ．机器人单次跳跃的水平距离为线段 $O A$ 的长，跳跃最大高度为线段 $B C$ 的长，经研究发现 $O A$ 与 $B C$ 存在一定的比例关系．
（1）当 $a = 1$ ， $b = 6$ 时，则 $O A =$ ， $B C =$ ；
（2）用含 $a$ ， $b$ 的式子来表示 $O A$ ， $B C$ 的长度，并求出 $\frac{O A}{B C}$ 的值；
【模型应用】图 $2$ 是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用 $y = - \frac{12}{v^{2}} x^{2} + 2 x$ 描述，两次共跳了 $3 m$ 远．在起跳点正上方 $1 m$ 处，设置有一条平行于地面的观测线 $M N$ ．若两次跳跃过程中，均未触碰到 $M N$ ，设两次跳跃的最大高度分别为 $D E$ ， $F G$ ．
（3）①求 $D E + F G$ 的值；
②设其第一次起跳的速度为 $v_{1}$ （单位： $m/s$ ），求 $v_{1}^{2}$ 的取值范围．

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14、已知三个正整数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $0 < x < y < z$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，求 $x$ ， $y$ ， $z$ ．
解： $∵ 0 < x < y < z$ ， $∴ \frac{1}{x} > \frac{1}{y} > \frac{1}{z}$ ；
由 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ， $\frac{1}{x} > \frac{1}{z}$ ，可得 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，
$∴ \frac{3}{x} > 1$ ，解得 $x < 3$ ，
又 $∵ \frac{1}{x} < \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，解得 $x > 1$ ，
综上， $x$ 的取值范围是①                  ，
$∵ x$ 为正整数， $∴ x =$ ②                       ．

(1)、直接填空：①               ；②                  ．

(2)、类比上述探究方法，求出 $y$ 的取值范围；

(3)、直接写出方程 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ 的正整数解．

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15、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ⊥ B C$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，并延长 $A E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ F C E$ ；

(2)、求证：四边形 $A C F D$ 是矩形．

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16、某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制， $x \geq 80$ 为卓越奖， $60 \leq x < 80$ 为优秀奖； $x < 60$ 为鼓励奖）．
【数据的收集】随机抽取 $20$ 名学生成绩如下：
93.5       75.5       89.5       81       46.5       95.5       82       77.5       81.5       55.5
99            70.5       86            92       95.5       52            57       65.5       68            85.5
【数据的整理】成绩频数分布表如下：
分组
组中值
划记
频数
$40 \leq x < 50$
$45$
一
$1$
$50 \leq x < 60$
$55$
$3$
$60 \leq x < 70$
$65$

$a$
$70 \leq x < 80$
$75$
$3$
$80 \leq x < 90$
$85$

$b$
$90 \leq x \leq 100$
$95$
正
$5$
【数据的描述】成绩频数分布直方图如下：
【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$                  ； $b =$                ；并补全成绩的频数分布直方图；

(2)、求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）；

(3)、若该校参加竞赛的学生共有 $300$ 人，估算该校获得卓越奖的人数．

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17、如图 $1$ ，在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 120 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点 $C$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，连接 $A B$ ， $O C$ ，并且 $A B$ ， $O C$ 交于点 $D$ ，若 $C D = 3$ ．
①求 $\overset{⌢}{A B}$ 的长；
②如图 $2$ ，将如图 $1$ 中的扇形 $O A B$ 围成圆锥， $O A$ ， $O B$ 恰好重合，求圆锥的底面半径．

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18、按要求完成下列计算：

(1)、计算： ${(- 2)}^{2} \times \frac{1}{4} - 5$ ；

(2)、化简： $\frac{a^{2} - 1}{a - 1} \div \frac{a + 1}{a}$ ．

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19、汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图 $1$ 所示，为了安全，许多路口都设置如图 $2$ 的“右转危险区”（阴影部分）示意图． $A B$ ， $C D$ 与扇形 $O_{1} A D$ 分别相切于点 $A$ ，点 $D$ ，与扇形 $O_{2} B C$ 分别相切于点 $B$ ，点 $C$ ，后内轮转弯半径 $O_{1} A = O_{1} D = 12 m$ ，前内轮转弯半径 $O_{2} B = O_{2} C = 6 m$ ， $∠ D O_{1} A = ∠ C O_{2} B = 90 °$ ．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是 $m^{2}$ ．

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20、用若干张图 $1$ 中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图 $2$ ，则 $2 x + y =$ °．

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分组	组中值	划记	频数
$40 \leq x < 50$	$45$	一	$1$
$50 \leq x < 60$	$55$		$3$
$60 \leq x < 70$	$65$		$a$
$70 \leq x < 80$	$75$		$3$
$80 \leq x < 90$	$85$		$b$
$90 \leq x \leq 100$	$95$	正	$5$