相关试卷

1、【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，点M、N分别在边 $A C 、 B C$ 上，且 $A M = C N$ ，试探究线段 $M N$ 长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②、过点C、M分别作 $M N 、 B C$ 的平行线，并交于点P．作射线 $A P$ ．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：

(1)、证明： $A M = M P$ ；

(2)、 $∠ C A P$ 的大小为_______度，线段 $M N$ 长度的最小值为_______

(3)、如图③，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 9, B C = 4$ ， G是 $A D$ 的中点，线段 $E F$ 在边 $A B$ 上左右滑动，若 $E F = 1$ ，求 $G E + C F$ 的最小值．

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2、某快递公司每天上午 $9 : 00 ~ 10 : 00$ 为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段 $O A$ 和线段 $B C$ 分别表示甲乙两仓库快件数量 $y$ （件）与时间 $x$ （分）之间的函数图象．

(1)、甲仓库每分钟揽收_________件快递；

(2)、求线段 $B C$ 对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）；

(3)、从 $9 : 00$ 开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同．

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3、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 于点E，若 $B E = 4, A B = 6$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长．

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4、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．求作：以 $A C$ 为对角线的矩形 $A D C E$ ．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A B, A C$ 于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点P，作射线 $A P$ 与 $B C$ 交于点D；
②以点A为圆心， $C D$ 的长为半径画弧；再以点C为圆心， $A D$ 的长为半径画弧，两弧在 $A C$ 的右侧交于点E；
③连接 $A E, C E$ ．
四边形 $A D C E$ 为所求的矩形．

(1)、根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、求证：四边形 $A D C E$ 是矩形．

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5、在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ B + ∠ D = 130 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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6、如图，矩形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点O．若 $∠ A C B = 30 °$ ， $A B = 2$ ，则边 $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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7、华为 $Mate40$ 系列智能机搭载着麒麟9000， $5 nm$ 制程芯片，集成了153亿个集成电路． $1 nm = 0.00000 0001m$ ，那么 $5 nm$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.5 \times 10^{- 9} cm$ B、 $0.5 \times 10^{- 8} m$ C、 $5 \times 10^{- 9} m$ D、 $5 \times 10^{8} m$

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8、如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，D是直径 $A B$ 延长线上的一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，设 $∠ A = α$ （ $0 ° < α < 45 °$ ）．

(1)、若 $α = 20 °$ ，求 $∠ D$ ．

(2)、延长 $B C$ 至E，使 $B C = C E$ ，过点E作 $A B$ 的垂线，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点F，H．
①若 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，直径 $A B = 10$ ，求 $E H$ 的长．
②求证： $\frac{S_{△ E F C}}{S_{△ B C D}} = 1 - \tan^{2} α$ ．

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9、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数）的图象与y轴交于点 $(0, - 1)$ ，且过点 $(2, - 1)$ ．

(1)、求a与b的关系式．

(2)、若 $a < 0$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值．

(3)、在（2）的条件下，若点 $M (t, m)$ ，点 $N (t + 1, n)$ 两点在该函数图象上，且 $- 9 < n \leq m$ ，求t的取值范围．

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10、定义：若一个三角形存在两个内角之差为 $90 °$ ，则称这个三角形为“差直角三角形”．例如，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 110 °$ ， $∠ B = 20 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，满足 $∠ A - ∠ B = 90 °$ ，所以 $△ A B C$ 是“差直角三角形”．

(1)、若 $△ A B C$ 是差直角三角形， $∠ A = 120 °$ ，则 $\sin B$ 的值为．

(2)、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，求证： $△ A B D$ 是差直角三角形．

(3)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 8$ ， $\tan B = \frac{3}{4}$ ，点D是边 $A B$ 上一动点（ $B D < C D$ ），若 $△ A B D$ 是差直角三角形，求 $A D$ 的长度．

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11、解答以下问题

(1)、观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征：
① $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 5^{2}$
② $2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 11^{2}$
③ $3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 = 19^{2}$
④ $4 \times 5 \times 6 \times 7 + 1 =$               ．

(2)、思考探究：设n为正整数，
①第n个算式为 $n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 =$               ．
②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方．
小明的部分证明过程如下：
证明：原式 $= [n (n + 3)] [(n + 1) (n + 2)] + 1$
$= (n^{2} + 3 n) (n^{2} + 3 n + 2) + 1$
设 $M = n^{2} + 3 n$ ，则原式 $= M (M + 2) + 1 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
小明证明过程中用了             思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整．

(3)、拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于 $109^{2}$ ，求四个正整数中最小的整数．

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12、矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，点E为 $B C$ 边一点， $D E$ 交 $A C$ 于点F， $∠ A F D = 2 ∠ D A F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $△ D O F$ 为等腰三角形．

(2)、若F是 $O C$ 中点， $A C = 5$ ， $A D = 4$ ，求 $B F$ 的长．

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13、随着人工智能的快速发展，初中生使用 $AI$ 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某中学为了解本校学生日常使用 $AI$ 大模型辅助学习次数的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按每周使用次数（x次）分为四组（A： $x < 15$ ；B： $15 \leq x < 20$ ；C： $20 \leq x < 25$ ；D： $x \geq 25$ ），根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题

(1)、本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中 $m =$ ．

(2)、求D组的人数，并补全条形统计图．

(3)、若该校共有1200名学生，估计全校每周使用 $AI$ 学习20次及以上的学生约有多少人．

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14、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 5 x - 2 > 3 (x + 1) ① \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x ② \end{array}$

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15、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点 $E$ 为边 $C D$ 上一点，且 $C E = 2 D E$ ，连接 $B E$ ．若点 $G$ 为点 $D$ 关于 $B E$ 的对称点，连接 $D G$ 并延长交 $B C$ 延长线于点 $F$ ，连接 $B G$ ，则 $F G =$ ．

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16、假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积 $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中 $S ({cm}^{2})$ 表示圆锥的底面积， $h (cm)$ 表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为 $\sqrt{\frac{30}{π}} cm$ ，高线长为 $10 cm$ ．当高线长限定为 $50 \leq h < 100$ 时，底面积的取值范围为．

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17、如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为．

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18、如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ O A B = 50 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是．

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19、已知 $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 \end{cases}$ 是方程 $2 x - m y = 2$ 的一个解，那么m的值是．

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20、已知点 $A (m, y_{1})$ 在直线 $l_{1}$ ： $y = k x + k$ 上，点 $B (m - 1, y_{2})$ 在直线 $l_{2}$ ： $y = - k x - k$ 上．下列结论正确的是（）

A、若 $k > 0$ 时， $0 < y_{2} < y_{1}$ ，则 $m > - \frac{1}{2}$ B、若 $k > 0$ 时， $0 < y_{2} < y_{1}$ ，则 $m < 0$ C、若 $k < 0$ 时， $y_{2} < y_{1} < 0$ ，则 $- 1 < m < - \frac{1}{2}$ D、若 $k < 0$ 时， $y_{2} < y_{1} < 0$ ，则 $- \frac{1}{2} < m < 0$

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