相关试卷

1、我们生活在一个充满对称的世界中，而轴对称是一种重要的对称，同学们已经学习了在平面直角坐标系中图形的对称特征，请完成以下小题：

(1)、作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标．

(2)、在平面直角坐标系中，经过点 $M (0, m)$ 且平行于 $x$ 轴的直线记作直线 $y = m$ ．
给出定义：将点 $P (x, y)$ 关于 $y$ 轴的对称点记作点 $P_{1}$ ，再将点 $P_{1}$ 关于直线 $y = m$ 的对称点记作点 $P_{2}$ ，则称点 $P_{2}$ 为点 $P (x, y)$ 关于 $y$ 轴和直线 $y = m$ 的“双轴对称点”．
例如：点 $P (3, 1)$ 关于 $y$ 轴和直线 $y = 3$ 的“双轴对称点”为点 $P_{2} (- 3, 5)$ ．
①点 $A (3, 4)$ 关于 $y$ 轴和直线 $y = 1$ 的“双轴对称点” $A_{2}$ 的坐标是_____；
②点 $B (3 m + n, m - n)$ 关于 $y$ 轴和直线 $y = m$ 的“双轴对称点” $B_{2}$ 的坐标是 $(- 9, 5)$ ，求 $m$ 和 $n$ 的值；

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2、如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (2, 3)$ ．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在图中，若 $B_{2} (- 4, 2)$ 与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时C点关于这条直线的对称点 $C_{2}$ 的坐标为；

(3)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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3、【实践课题】如图1，测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】甲小组选择合适的点B，C，Q，使得A，B，C在同一条直线上，且 $A B = B C$ ， $∠ C = ∠ A$ ，当P，B，Q在同一条直线上时，只需测量 $C Q$ 的长即可，画出示意图，如图2．
（1）甲小组的方案正确吗？请说明理由．
【交流研讨】在研讨会上，乙小组提出另一种方案：在点A的右侧取一点D，测得 $∠ P A D = 70 °$ ，改变点D的位置，当 $∠ A D P = 55 °$ 时，只需测量 $A D$ 的长即可，画出示意图，如图3．
（2）乙小组的方案用到了________．（填序号）
①等角对等边 ②垂线段最短 ③等腰三角形“三线合一”

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4、提出问题：为了重温红军取得腊子口战役胜利的那段“红色记忆”，同学们来到位于甘南藏族自治州迭部县“腊子口战役纪念碑（如图1）”所在地，在了解相关历史背景后，某数学兴趣小组开展了测量“腊子口战役纪念碑的高度”的实践活动．
数据采集：如图2，A是纪念碑的顶部一点， $A B$ 的长表示点A到水平地面的距离，航模从纪念碑前水平地面上的点M处先竖直上升至距离地面7米的点C处，此时测得碑顶点A的仰角 $∠ A C D = 22 °$ ；随后沿 $C N$ 方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角是 $35 °$ ，当到达碑顶正上方的点E处时，测得 $A E = 1.65$ 米．（图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点共线）
解决问题：根据上述数据，计算腊子口战役纪念碑顶部点A到地面的距离 $A B$ 的长．（结果精确到据0.1米．参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ）

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5、笛卡尔在其著作《几何》中，将几何问题转化为代数问题进行研究．在探讨尺规作图的可能性时，他通过构建几何图形与代数方程的联系，发现对于给定长度的线段，能够利用尺规作图的方法构造出长度为其算术平方根的线段．请你根据以下步骤完成这个作图过程．
如图，已知 $A C$ 的长为6个单位长度，点B在线段 $A C$ 上，且 $A B$ 的长为1个单位长度，求作一条线段，使其长为 $\sqrt{5}$ 个单位长度，作法如下：
①作线段 $A C$ 的垂直平分线，交 $A C$ 于点O；
②以O为圆心， $O A$ 长为半径画圆；
③过点B作 $A C$ 的垂线，交 $A C$ 上方的 $⊙ O$ 于点P，则线段 $B P$ 即为所求．

(1)、根据以上作法，请你用不带刻度的直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）

(2)、在第（1）问作图的基础上，小文尝试证明： $B P = \sqrt{5}$ ，请你补全过程：
证明：连接 $P A ， P C$ ， $∵$ $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∴$ ①______ $= 90 °$ ，
$∴ ∠ A + ∠ C = 90 °$ ， $∵ P B ⊥ A C$ ， $∴ ∠ P B C = ∠ P B A = 90 °$ ，
$∴ ∠ A + ∠ A P B = 90 °$ ， $∴$ ②______ $= ∠ A P B$ ，
∴ $△ A P B ∽ △ P C B$ ， $∴ \frac{A B}{P B} = \frac{B P}{B C}$ ， $∴ P B^{2} = A B \cdot B C$ ，
$∵ A B = 1$ ， $B C = 5$ ， $∴ P B^{2} = 1 \times 5 = 5$ ， $∴ P B = \sqrt{5}$ ．
填空：①______；②______．

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6、关于二次函数 $y = {(x + 2)}^{2} + 6$ 的图象，下列结论正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是 $x = 2$ C、与 $y$ 轴交于点 $(0, 6)$ D、当 $x < - 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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7、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点 $A (- 4, 0)$ ，与y轴交于点B，且与正比例函数 $y = \frac{3}{2} x$ 的图像交于点 $C (m, 6)$ ．

(1)、求m的值与一次函数解析式；

(2)、如图，一动直线 $x = t$ 分别与两直线交于P，Q两点，若 $P Q = 2$ ，求t的值；

(3)、在y轴上是否存在点M，使得 $△ A B M$ 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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8、如图1， $A B ∥ C D$ ，在 $A B$ 、 $C D$ 内有一条折线 $E P F$ ．

(1)、求证： $∠ A E P + ∠ C F P = ∠ E P F$ ；

(2)、如图2，已知 $∠ B E P$ 的平分线与 $∠ D F P$ 的平分线相交于点Q，请说明 $∠ E P F$ 和 $∠ E Q F$ 之间的关系；

(3)、如图3，已知 $∠ B E Q = \frac{1}{3} ∠ B E P$ ， $∠ D F Q = \frac{1}{3} ∠ D F P$ ，则 $∠ P$ 与 $∠ Q$ 有什么关系，请说明理由．

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9、某市出租车收费标准如下：3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分每千米收费1.4元，回答下列问题：
（1）写出应收车费y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的函数关系式
（2）小明乘车行驶4km需要付多少钱？
（3）小华若付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？

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10、若一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数是5，则另一组数据 $x_{1} + 3, x_{2} + 3, \dots, x_{10} + 3$ 的平均数是

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11、已知方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = k \\ 2 x + y = 1 \end{array}$ 的解满足 $x + y = 6$ ，则 $k$ 的值为．

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12、如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面 $7.5 m$ ，树的顶端离树根 $4 m$ ，则这棵树在折断之前的高度是（）

A、 $16 m$ B、 $18 m$ C、 $22 m$ D、 $24 m$

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13、若一个函数的自变量 $x$ 每增加1，函数值 $y$ 就减少2，则其表达式可以是（　　）

A、 $y = - 2 x + 10$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = - x + 2$ D、 $y = - 2 x^{2}$

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14、下列计算错误的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{7}$ D、 ${(- \sqrt{5})}^{2} = 5$

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15、平面直角坐标系的下列各点中，在第二象限的是（）

A、 $(4, 9)$ B、 $(- 6, 8)$ C、 $(9, - 4)$ D、 $(- 8, - 6)$

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16、数学探究课上，老师布置的任务如下：
任务一：自学阅读材料．
我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等数对”．即：如果 $a - b = a \div b$ ，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为 $(a, b)$ ．
例如： $4 - 2 = 4 \div 2$ ， $\frac{9}{2} - 3 = \frac{9}{2} \div 3$ ，则称数对 $(4, 2)$ ， $(\frac{9}{2}, 3)$ 是“差商等数对”．
任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题：

(1)、下列数对中，是“差商等数对”的是_____．（填序号）
① $(2, 3)$ ；② $(\frac{25}{4}, 5)$

(2)、若 $(m, 6)$ 是“差商等数对”，求出m的值．

(3)、若 $(2 a + b - 1, 3)$ 是“差商等数对”，求 $2 a + b$ 的值．

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17、随着人们对交通安全意识的增强，城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进 $A$ 种头盔 $2$ 个和 $B$ 种头盔 $4$ 个共需 $270$ 元， $A$ 种头盔 $4$ 个和 $B$ 种头盔 $3$ 个共需 $390$ 元．

(1)、 $A$ 、 $B$ 两种头盔的单价各是多少元？

(2)、该店计划正好用 $450$ 元购进 $A$ 、 $B$ 两种头盔共 $9$ 个，销售 $1$ 个 $A$ 种头盔可获利 $35$ 元，销售 $1$ 个 $B$ 种头盔可获利 $15$ 元．假如这些头盔全部售出，则该店共可获利多少元？

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18、在进行有理数计算时，有些题目数据较多时，计算量大，容易出错，这时我们先找基准量，根据基准量重新标记这些数据，然后再列算式计算．
$2023$ 年是中国提出共建“一带一路”倡议的十周年，硕果累累．某市农产品已出口到 $33$ 个“一带一路”沿线国家和地区．如图，表格给出了通过两种不同方式记录的该市 $2023$ 年上半年农产品的出口量（单位：吨．其中，方式二以 $m$ 为标准，超出记为“ $+$ ”，不足记为“ $-$ ”）．
月份
1
2
3
4
5
6
农产品出口量方式一
74
134
48
171
180
$b$
农产品出口量方式二
$- 26$
$+ 34$
$a$
$+ 71$
$+ 80$
$- 38$
请根据表中信息解决下列问题：

(1)、 $m =$ ____， $a =$ ____， $b =$ _____；

(2)、以下是该市下半年 $6$ 个月农产品的出口量（以 $m$ 为标准，超出记为“ $+$ ”，不足记为“ $-$ ”） $+ 15$ ， $- 24$ ， $+ 27$ ， $+ 23$ ， $- 25$ ， $- 37$ ；求该市下半年 $6$ 个月农产品的出口总量．

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19、先化简，再求值： $3 (x^{2} y - x y) - (3 x^{2} y - 2 x y)$ ，其中 $x = 2$ ， $y = - 1$ ．

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20、解方程：

(1)、 $3 x - 1 = x + 5$ ；

(2)、 $\frac{3 x + 1}{3} = \frac{9 - x}{6}$ ．

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月份	1	2	3	4	5	6
农产品出口量方式一	74	134	48	171	180	$b$
农产品出口量方式二	$- 26$	$+ 34$	$a$	$+ 71$	$+ 80$	$- 38$