相关试卷

1、数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片， $A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形， $B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形， $C$ 种纸片长为 $a$ 、宽为 $b$ 的长方形．并用 $A$ 种纸片一张， $B$ 种纸片一张， $C$ 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
由图2，可得出三个代数式： ${(a + b)}^{2}, a^{2} + b^{2}, a b$ 之间的等量关系 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ ；

(1)、根据上述方法，若要拼出一个面积为 $(2 a + b) (a + 2 b)$ 的长方形，则需要 $A$ 种纸片2张， $B$ 种纸片2张， $C$ 种纸片___________张．

(2)、根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题：
①已知： $a + b = 7, a^{2} + b^{2} = 37$ ，求 $a b$ 的值；
②已知： $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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2、如图， $C$ 为直线 $A B$ 外一动点， $A B = 5$ ，连接 $C A, C B$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，连接 $A E, C D$ 交于点 $F$ ， $S_{△ A D F}$ $S_{△ C E F}$ （填“ $<$ ”或“ $>$ ”或“ $=$ ”）；则当四边形 $B E F D$ 的面积为10时，线段 $A C$ 的长度的最小值为．

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3、已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 的三条边，若 $△ A B C$ 为等腰三角形，且 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 10 b + 29 = 0$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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4、有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上的位置如图，则 $|a - b| - |b - c| + |c + a|$ 的化简结果为．

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5、已知 $x^{2} + x = 3$ ，则 $(x - 2) (2 x + 6)$ 的值是．

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6、学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸

A

、

B

两点间距离”这一问题，设计了如下方案．

课题	测量河两岸 $A$ 、 $B$ 两点间距离
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
测量步骤	①在点 $B$ 所在河岸同侧的平地上取点 $C$ 和点 $D$ ，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在一条直线上，且 $C D = B C$ ； ②测得 $∠ D C B = 100 °, ∠ A D C = 60 °$ ； ③在 $C D$ 的延长线上取点 $E$ ，使得 $∠ B E C = 20 °$ ； ④测得 $D E$ 的长度为39米．

(1)、猜想

A

、

B

两点间的距离

A B

为___________米．

(2)、请你利用数学方法说明此方案正确的理由

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7、如图，已知 $∠ E F C = ∠ A B C, ∠ B E F + ∠ A = 180 °$ ．

(1)、填空求证： $A D ∥ B E$ ；
证明：∵ $∠ E F C = ∠ A B C$ ，
∴ $A B ∥ \underline{}$ _________，
∴ $∠ B E F = ∠$ _________（_________________________），
∵ $∠ B E F + ∠ A = 180 °$ ，
∴ $∠$ _________ $+ ∠ A = 180 °$ ，
∴ $A D ∥ B E$ （_________________________）．

(2)、若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $A D ⊥ C D$ 于点 $D$ ， $∠ E F C = ∠ F E C - 18 °$ ，求 $∠ E F C$ 的度数．

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8、将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若 $∠ A C B = 54 °$ ，则 $∠ C A B$ 的度数为度．

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9、已知 $(x + 4) (2 x - 1) = 2 x^{2} + a x - 4$ ，则 $a$ 的值为．

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10、已知： $m + n - 3 = 0$ ，则 $2^{m} \times 2^{n}$ 的值为．

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11、下列结论正确的是（）

A、相等的角是对顶角 B、两点之间的线段的长度就是这两点间的距离 C、同位角相等 D、三角形的三条角平分线交于三角形外部一点

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12、如图，下列条件能判断两直线 $A D$ 和 $B C$ 平行的是（）

A、 $∠ A B C + ∠ B C D = 180 °$ B、 $∠ 3= ∠ 4$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ D、 $∠ 3 = ∠ 5$

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13、下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(a + b) (- a - b)$ B、 $(a + b) (a + b)$ C、 $(2 b - a) (2 b + a)$ D、 $(a - b) (2 a + b)$

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14、现藏于成都金沙遗址博物馆的“太阳神鸟”金饰为商周时期的文物，它的加工采用了热锻、锤摸、剪切、打磨、镂空等多种工艺，厚度仅有 $0.0002$ 米，体现了我国古代匠人的高超技艺，将数据 $0.0002$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.2 \times 10^{- 3}$ B、 $20 \times 10^{- 4}$ C、 $2 \times 10^{- 4}$ D、 $2 \times 10^{- 5}$

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15、下列运算中，正确的是（）

A、 $y^{3} \cdot y^{2} = y^{6}$ B、 ${(3 a c)}^{3} = 9 a^{3} c^{3}$ C、 ${(m^{2})}^{3} = m^{5}$ D、 $3 n^{2} + 2 n^{2} = 5 n^{2}$

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16、如图，直线 $l ： y = - 2 x + 8$ 与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点．

(1)、反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} > 0)$ 的图象与直线 $l$ 相切（只有一个公共点），如图甲，求 $k_{1}$ 的值；

(2)、反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} > 0)$ 的图象与直线 $l$ 相交于点 $E 、 F$ ，如图乙，直线 $E O$ 交反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 图象的另一支于点 $M$ ，连接 $F M$ ，交 $y$ 轴于点 $G$ ．若 $\frac{F G}{G M} = \frac{1}{3}$ ．
①求 $k_{2}$ 的值．
②求 $△ M E F$ 的面积．

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17、如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中， $A 、 B 、 C 、 D$ 均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．

(1)、在图甲中作出 $A C$ 边上的点 $E$ ，使得 $A E = 3 C E$ ；

(2)、在图乙中作出 $B C$ 边上的点 $F$ （不与点 $B$ 重合），使得 $B D = D F$ ；

(3)、在图丙中作出 $A B$ 边上的点 $G$ ，使得 $tan ∠ A C G = \frac{1}{2}$ ．

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18、如图， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆，且圆心 $O$ 在 $A B$ 上，点 $D$ 为弧 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，作 $D H ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，垂足为点 $H$ ，过点 $D$ 作 $A C$ 的平行线交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证：点 $M$ 是 $A N$ 的中点．

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19、图①是一座形似抛物线的对称石拱桥，图②是其桥拱的示意图，测得桥拱跨径 $A B = 20 m$ ，拱顶离水面的距离 $C D = 6 m$ ．

(1)、请建立适当坐标系，求出桥拱所在的抛物线解析式；

(2)、如图③，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形 $E F G H$ ，测得 $E F = 3.8 m ， E H = 10 m$ ．根据图②状态，货船能否通过此拱桥？请说明理由．

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20、将两张长为8、宽为2的全等矩形纸片 $A B C D$ 和 $A E C F$ 按如图所示方式叠放，其中点 $A 、 C$ 为公共顶点，边 $A D$ 与 $E C$ 相交于点 $H$ ，边 $B C$ 与 $A F$ 相交于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ A E H ≌ △ C F G$ ；

(2)、求重叠部分四边形 $A G C H$ 的面积．

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