相关试卷

1、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $C D$ 、 $A D$ 上，且 $A F = D E$ ．

(1)、求证： $A E = B F$ ；

(2)、若 $△ A B E$ 的面积为 $8$ ，求 $A B$ 的长．

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2、如图，在△ADC中，∠C=90°，AB是DC边上的中线，∠BAC=30°，若AB=6，求AD的长．

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3、如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $B C = 16 cm$ ，射线 $A G / / B C$ ，点E从点A出发沿射线 $A G$ 以 $1 cm / s$ 的速度运动；点F从点B出发沿射线 $B C$ 以 $2 cm / s$ 的速度运动．如果点 $E 、 F$ 同时出发，设运动时间为 $t (s)$ ，那么当 $t =$ s时，以 $A 、 C 、 E 、 F$ 为顶点四边形是平行四边形．

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4、如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在坐标轴上．若点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(0, 4)$ ， $(- 2, 0)$ ，则点 $D$ 的坐标为．

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5、如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M=50°，则∠MNC'的度数为（　　）

A、100° B、110° C、120° D、130°

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6、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B < B C$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ， $B C = 8$ ， $D E = 3$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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7、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A O B = 40 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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8、在综合与实践活动中，某校数学兴趣小组研究了一个问题：
在一块直角三角形材料上按如图1方式剪出一个矩形，如何剪使这个矩形面积最大．
为了研究这个问题，建立如图2所示平面直角坐标系，点 $C (x, y)$ 为线段 $A B$ 上一动点（不与A，B重合），过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E，得到矩形 $O D C E$ ，其面积记为S．

(1)、若 $O A = 4$ ， $O B = 8$ ，
①根据图2中所给出的信息，写出C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式 $y =$            ，并写出x的取值范围          ；
②图2中矩形面积 $S =$           （用含x的式子表示）；
③当 $x =$           时，矩形的面积最大．

(2)、若 $O A = a$ ， $O B = b$ （ $a < b$ ），则矩形的最大面积可表示为          （用含a，b的式子表示）．

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9、一列快车从甲地匀速驶往乙地，速度为 $240 km / h$ ，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，速度为 $120 km / h$ ．两车同时出发且行驶的时间为 $x h$ ，两车之间的距离为 $y km$ ，图中的折线表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系，根据图象解决以下问题：

(1)、解释图中点 $M (2, 0)$ 的实际意义是什么？

(2)、求出点 $N$ 的坐标；

(3)、求 $x$ 为多少时，两车之间的距离 $y$ 等于快车行驶距离与慢车行驶距离之和的 $\frac{2}{5}$ ．

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10、如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中．

(1)、如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点 $A ， B$ 为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图；

(2)、在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为 $3 m$ ，扶手所在圆柱的底面半径为 $\frac{7}{6} m$ ，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（ $π$ 取3）

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11、如图，已知 $A B ∥ D C ， ∠ A B C = ∠ A D C ， B F ， D E$ 分别平分 $∠ A B C$ 与 $∠ A D C$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．

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12、学校的“数据实践社”数学兴趣小组为比较甲地和乙地2025年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如下统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位： $℃$ ）
$\begin{array}{l} 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}$
$\begin{array}{l} 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 5 \end{array}$
$\begin{array}{l} 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10 \end{array}$
$\begin{array}{l} 11 & 12 & 13 & 15 & 18 & 19 & 20 \end{array}$
根据以上信息回答下列问题：

(1)、甲地2月日均气温的中位数为___________ $℃$ ；

(2)、请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线；

(3)、结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点．

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13、在平面直角坐标系中，一个轴对称图形的其中一部分如图所示，点 $A (5, 3)$ 与点 $B (5, - 3)$ 是这个轴对称图形中的一对对称点．

(1)、图形上点 $C (2, 3)$ 的对称点 $D$ 的坐标为_________；

(2)、请补全这个轴对称图形．

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14、已知 $y$ 是 $x$ 的函数，列出部分自变量的值与其对应函数值如下表 $（ m ， n$ 为常数），则这个函数的图象可能是（）
$x$
．．．
$m$
$m + 1$
$m + 2$
$m + 3$
$m + 4$
．．．
$y$
．．．
$n$
$n - 0.5$
$n - 1$
$n - 1.5$
$n - 2$
．．．

A、 B、 C、 D、

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15、如图，已知 $O A = O B$ ，数轴上点 $A$ 所表示的数为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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16、已知正比例函数 $y = k x$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）与一次函数 $y = 2 x + 3$ 的图象是两条平行直线，则 $k$ 等于（）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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17、如图为云岩区内部分立交桥的大致位置，以中坝立交所在的点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知有一立交桥坐标约为 $(3, 3)$ ，则该立交桥可能是（）

A、黔春立交 B、三桥立交 C、圣泉立交 D、北站立交

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18、如图，已知直线 $a ∥ b ， ∠ 2 = 110 °$ ，则 $∠ 1$ 等于（）

A、 $20 °$ B、 $70 °$ C、 $110 °$ D、 $130 °$

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19、在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4 c m$ ， $A D = 12 c m$ ， $B C = 13 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 以 $0.5 c m / s$ 的速度向点 $D$ 运动，点 $Q$ 从点 $C$ 以 $1.5 c m / s$ 的速度同时向点 $B$ 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、求 $t$ 为何值时，四边形 $P Q C D$ 是平行四边形？

(2)、求 $t$ 为何值时，四边形 $P Q B A$ 是矩形？

(3)、在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形 $P Q C D$ 是菱形；

(4)、若只改变线段 $B C$ 的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形 $P Q B A$ 是正方形时，请你求出 $t$ 的值和线段 $B C$ 的长度．

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20、我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程” $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 设其两根为 $x_{1} 、 x_{2} (x_{1} \geq x_{2}),$ 定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中 $s = ∣ x_{1} + x_{2} ∣, p = ∣ x_{1} x_{2} ∣) .$ 若两个“全整根方程”的特征数对分别为 $M_{1} (s_{1}, p_{1}), M_{2} (s_{2}, p_{2}), s_{1} + s_{2} = ∣ p_{1} - p_{2} ∣,$ 则称这两个方程互为“关联全整根方程”.
举例说明：方程①： $x^{2} - 9 x + 20 = 0 (x_{1} = 4, x_{2} = 5),$ 特征数对M（9，20）；
方程②： $x^{2} + 6 x + 5 = 0 (x_{1} = - 1, x_{2} = - 5),$ 特征数对M₂（6，5）；
验证：因为9+6=|20-5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题：

(1)、【概念辨析与计算】
已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0$ （k为整数）是“全整根方程”.
①则该方程的两根分别为 ▲ ， ▲ ；
②若其特征数对为M（3，2），求k的值.

(2)、【关联探究与推理】
若方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 和 $x^{2} + p x + q = 0$ 都是全整根方程，且它们的两根分别为αβ和α+1，β+1.请用含a，b的代数式表示p，q.

(3)、【AI验证与拓展】
某同学利用AI工具生成了“全整根方程” $A : x^{2} + m x + n = 0 (m⟩ 0,0 < n < 25)$ 与“全整根方程” $B : x^{2} + 10 x + 25 = 0,$ 且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值.

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$x$	．．．	$m$	$m + 1$	$m + 2$	$m + 3$	$m + 4$	．．．
$y$	．．．	$n$	$n - 0.5$	$n - 1$	$n - 1.5$	$n - 2$	．．．