相关试卷

1、已知 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}$ 是方程 $2 x + a y = 3$ 的一个解，那么 $a$ 的值是（）

A、1 B、3 C、-3 D、-1

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2、下列各式运算结果为 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{2} + a^{3}$ B、 ${(a^{2})}^{3}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3}$ D、 $a^{10} \div a^{2}$

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3、知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法.阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：
⑴整体观察；
⑵整体设元；
⑶整体代入；
⑷整体求和等.
例1：分解因式 $(x^{2} + 2 x) (x^{2} + 2 x + 2) + 1$ ；
解：将 $“ x^{2} + 2 x ”$ 看成一个整体，令 $x^{2} + 2 x = y$ ；
原式 $= y (y + 2) + 1 = y^{2} + 2 y + 1 = {(y + 1)}^{2} = {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2} = {(x + 1)}^{4}$ ；
例2：已知ab=1，求 $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ 的值.
解： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{a b}{a b + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{b}{1 + b} + \frac{1}{1 + b} = 1;$
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：

(1)、根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 $(x^{2} - 6 x + 8) (x^{2} - 6 x + 10) + 1$ 进行因式分解；

(2)、计算：（1-2-3-…-2021）×（2+3+…+2022）-（1-2-3-…-2022）×（2+3+…+2021）=.

(3)、①已知ab=1，求 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值；
②若abc=1，直接写出 $\frac{5 a}{a b + a + 1} + \frac{5 b}{b c + b + 1} + \frac{5 c}{c a + c + 1}$ 的值.

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4、先化简： $(\frac{a + 3}{a - 1} - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - 1}$ ，再从-2≤a≤2中选一个适合的整数代入求值.

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5、解方程：

(1)、 $\frac{3}{x - 2} = \frac{2}{x};$

(2)、 $\frac{x}{x - 1} = \frac{3}{3 x - 3} + 2$

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{6} \times \sqrt{3} + \sqrt{8};$

(2)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{12}) \div \sqrt{3} .$

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7、计算： $5^{0} - ∣ 3 - (- 2) ∣ + {(\frac{1}{4})}^{- 2} .$

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8、 $\frac{1}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 5)} + \frac{1}{(x + 5) (x + 8)} + \frac{1}{(x + 8) (x + 11)} = \frac{1}{3 x - 3} - \frac{1}{24}$ 的解为.

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9、若 $x^{2} + x - 1 = 0,$ 那么代数式 $x^{3} + 2 x^{2} - 7$ 的值是.

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10、已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲乙厂每天一共烧煤33吨，若设甲厂每天烧x吨煤，则根据题意列方程：.

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11、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： $\sqrt{x^{3} {(y - x)}^{3}} + \sqrt{x^{3} {(z - x)}^{3}} = \sqrt{y - x} - \sqrt{x - z},$ 则 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z$ 的值是（）

A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算

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12、实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 $\sqrt{c^{2}} + ∣ a + b ∣ - \sqrt{{(a - c)}^{2}}$ 得（）

A、-2a-b-2c B、-2a-b C、b D、-2a+b

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13、若 $9 x^{2} - 2 (k + 3) x + 16$ 能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）

A、±9 B、±15 C、9或-15 D、-9或15

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14、分式 $\frac{x - 2}{x + 2}$ 的值为0，则x的值是（）

A、-2 B、0 C、1 D、2

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15、下列各式是分式的是（）

A、 $\frac{3}{x}$ B、 $\frac{x}{3}$ C、3x D、 $\frac{3}{π}$

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16、问题提出
已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\{\begin{array}{l} 3 x - y = 5 ① \\ 2 x + 3 y = 7 ② \end{array}$ ，求7 $x$ +5 $y$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $x$ ， $y$ 的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7 $x$ +5 $y$ ＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
利用上面的知识解答下面问题：

(1)、已知方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 5 \\ x + y = 3 \end{array}$ ，则2 $x$ + $y$ 的值为．

(2)、问题探究
请说明在关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x - 2 y = 4 a - 1 \\ x + 2 y = 2 - a \end{array}$ 中，无论 $a$ 取何值， $x$ + $y$ 的值始终不变．

(3)、问题解决
甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？

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17、运算能力规定：形如关于 $x, y$ 的两个方程 $x + k y = b$ 与 $k x + y = b$ 互为“共轭二元一次方程”，其中 $k \neq 1$ ．由这两个方程组成的方程组 ${\begin{array}{l} x + k y = b \\ k x + y = b \end{array}$ 叫作“共轭方程组”， $k, b$ 称之为“共轭系数”．若关于 $x, y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + (2 - 5 a) y = - b - 4 \\ (1 - 2 b) x + y = - 5 - a \end{array}$ 为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”及其解．

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18、已知关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2} (x + 3) - m = - \frac{m - 2}{2}$ ①的解比方程 $\frac{3}{2} (m - x) - 2 = \frac{5}{4} x$ ②的解大2，求 $m$ 的值以及方程②的解.

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19、解方程组： $\{\begin{cases} 3 x - 4 y = - 4 ① \\ 6 x + y = 10 ② \end{cases}$

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20、解方程：

(1)、 $4 - 3 (2 x - 1) = 1 - 3 x$

(2)、 $- 2 x + \frac{x - 1}{3} = 3 - \frac{3 x - 1}{2}$

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