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1、阅读观察：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如，化简 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．
解：将分子、分母同乘以 $\sqrt{2} + 1$ 得， $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$ ．

(1)、类比应用：
①化简： $\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} =$ ______；
②请化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2023}}$ ；

(2)、拓展延伸：宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形 $A B C D$ 的宽 $A B = 4$ ，则黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C =$ ______．

(3)、在（2）的条件下，如图②，将图①中的黄金矩形截剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．

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2、正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是边 $C D$ 上的任意一点，连接 $B P$ ，作 $P E ⊥ B D$ ，连接 $A E$ ， $E C$ ．

(1)、当 $∠ D A E = 25 °$ 时，求 $∠ A E C$ 的度数；

(2)、当 $∠ P B C = 15 °$ 时， $D P = 6$ ，请直接写出正方形 $A B C D$ 的边长为______．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．

(1)、请直接写出以下线段的长度： $B C =$ ______， $C D =$ ______， $A D =$ ______， $A B =$ ______；

(2)、连接 $B D$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

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4、计算： $\sqrt{27} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{6} + \sqrt{18}$ ．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．若 $E$ 为 $A B$ 的中点， $A C = 8$ ， $△ B C D$ 的周长为14，则 $C D$ 的长为．

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6、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A D B = 90^{°}$ ， $A C = 10$ ， $B D = 6$ ，则 $A D$ 的长为．

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7、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，要使得 $▱ A B C D$ 成为矩形，应添加的一个条件是．（只需写一个条件）

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8、如图，直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点D是 $A B$ 上的一个动点，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于E点， $D F ⊥ B C$ 于F点，连接 $E F$ ，则线段 $E F$ 的最小值为（）

A、2.4 B、5 C、4.8 D、2.5

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9、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形 $O A B C$ 是正方形，其中点A的坐标为 $(3, 4)$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(- 1, 5)$ C、 $(- 2, 7)$ D、 $(- 1, 7)$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 的中点，点 $D$ 是线段 $E F$ 上的一点，连接 $A D$ ， $C D$ ，且 $∠ A D C = 90 °$ ．若 $B C = 16$ ， $A C = 13$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、3 B、2.5 C、1.5 D、2

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11、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点O，若 $∠ B D C = 60 °$ ， $B D = 6$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、9 C、 $9 \sqrt{3}$ D、18

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12、下列运算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$ B、 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、 $3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$ D、 $\sqrt{7} + \sqrt{2} = \sqrt{9}$

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13、下列各组线段中，能组成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、5，12，13 C、6，7，8 D、2， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$

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14、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{0.3}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{23}$

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15、要使式子 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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16、如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足 $|8 - a| + {(a - 2 b)}^{2} = 0$ ． D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE．

(1)、则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______；

(2)、如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若 $A E = G F$ ，求∠CEG的度数．

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17、如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目 $A B$ 段和 $B C$ 段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形 $A D C G$ 和长方形 $D E F C$ 均为木质平台的横截面，点 $G$ 在 $A B$ 上，点 $C$ 在 $G F$ 上，点 $D$ 在 $A E$ 上，经过现场测量得知 $C D = 2$ 米， $A D = 15$ 米．

(1)、小明猜想立柱 $A B$ 的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱 $A B$ 的正确长度；

(2)、为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索 $B F$ ，经测量 $D E = 3$ 米，请你求出要焊接的钢索 $B F$ 的长的平方．

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18、已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ．

(1)、求 $x^{2} - y^{2}$ 的值．

(2)、求 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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19、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c - b = 1$ ， $a = 3$ ，求b的值和 $Rt △ A B C$ 的面积．

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20、如图， $▱ A B C D$ 中，E、F分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点，求证：四边形 $B F D E$ 是平行四边形．

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