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1、（1）如图 $1$ ，在长方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在边 $A B$ 上，点 $G$ 在边 $C D$ 上，沿着 $P G$ 将四边形 $P A D G$ 对折，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，点 $D$ 落在点 $D^{'}$ 处 $．$ 若 $∠ A P G$ 与 $∠ B P A^{'}$ 的差的绝对值为 $45 °$ ，求 $∠ B P A^{'}$ 的度数．
（2）如图 $2$ ，点 $P$ 为长方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上一点，点 $M$ ，点 $N$ 分别是射线 $A D$ ，射线 $B C$ 上一点，连接 $P M$ ， $P N$ ，沿着 $P M$ ， $P N$ 分别对折三角形 $A P M$ 和三角形 $B P N$ ，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处．
①如图 $3$ ，当点 $P$ ， $A^{'}$ ， $B^{'}$ 三点共线时， $∠ A P M$ 与 $∠ B P N$ 的差的绝对值为 $45 °$ ，求 $∠ B P N$ 的度数；
②当点 $P$ ， $A^{'}$ ， $B^{'}$ 三点不共线时， $∠ A P M$ 与 $∠ B P N$ 的差的绝对值为 $45 °$ ， $∠ A P M > ∠ B P N$ ，且 $∠ A^{'} P B^{'} = 10 °$ ，求 $∠ B P A^{'}$ 的度数．

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2、材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如 $96 = 25^{2} - 23^{2}$ ，则 $96$ 是和谐数；
材料二：对于一个三位自然数 $M$ ，去掉个位数字后成为一个两位数 $M_{1}$ ，去掉百位数字后成为一个两位数 $M_{2}$ ，若 $F (M) = \frac{M_{1} - M_{2}}{9} (M_{1} > M_{2})$ 为整数，则称 $M$ 是一个关于 $9$ 的对称数 $．$ 如 $F (545) = \frac{54 - 45}{9} = 1$ ，则称 $545$ 是关于 $9$ 的对称数．

(1)、请判断 $56$ 是否是和谐数？如果是，请找出平方差为 $56$ 的连续的两个奇数．

(2)、证明：任何一个和谐数一定是 $8$ 的倍数．

(3)、已知一个三位数既是和谐数，又是关于 $9$ 的对称数，求满足条件的所有三位数．

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3、（1）如图 $①$ ，已知线段 $A B$ ， $C D$ 相交于点O，连接 $A C$ ， $B D$ ，可以得到 $∠ A$ 、 $∠ C 、 ∠ B 、 ∠ D$ 的关系式是．
（2）如图 $②$ ，若 $∠ C A B$ 和 $∠ B D C$ 的平分线 $A P$ 和 $D P$ 相交于点P，与 $C D$ ， $A B$ 分别交于点M，N．猜测 $∠ B ， ∠ C ， ∠ P$ 之间的关系，并证明你的结论．
（3）若 $∠ C A B$ 和 $∠ B D C$ 的三等分线 $A P$ 和 $D P$ 相交于点P，与 $C D$ ， $A B$ 分别交于点M，N，其中 $∠ C A P = 2 ∠ P A O ， ∠ O D P = 2 ∠ P D B$ ，则 $∠ B ， ∠ C ， ∠ P$ 之间又有怎样的数量关系，并说明理由．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，高 $A D$ 、 $B E$ 交于点 $F$ ，且 $D F = C D = 3$ ．

(1)、求 $∠ A B C$ 的度数．

(2)、若 $B D = 4$ ， $A C = 5$ ，则 $B E$ 的长为多少？

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5、如图，等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ．

(1)、尺规作图：在 $A D$ 右侧作 $∠ A D E = ∠ B$ ，且使 $D E = A D$ ．

(2)、连接 $A E$ 、 $C E$ ，试说明 $C E$ 和 $A B$ 的位置关系，并证明．

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6、已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示 $(m$ 为正整数 $)$ ，面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ．

(1)、请分别用含 $m$ 的式子表示出 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，并判断 $S_{1}$ ______ $S_{2} ($ 填“ $>$ 、 $<$ 、 $=$ ”号 $)$ ．

(2)、当 $m = 2$ 时，求 $S_{1} + S_{2}$ 的值．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边的中线， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ 并延长交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $∠ A E F = ∠ F A E$ ， $A C = 6$ ， $C F = 4$ ，则 $B F$ 的长为．

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8、一列整式依次为： $a_{1} = 4 a + 4$ ， $a_{2} = a_{1} + 8$ ， $a_{3} = a_{2} + 8$ ， $a_{4} = a_{3} + 8 \dots$ ，另一列整式依次为： $A_{1} = a^{2}$ ， $A_{2} = A_{1} + a_{1}$ ， $A_{3} = A_{2} + a_{2}$ ， $A_{4} = A_{3} + a_{3}$ ， $\dots$ ，按照上述规律，若 $A_{10} - A_{6} = 272$ ，则 $a$ 的值为．

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9、石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度 $0.35$ nm， $1$ nm $= 10^{- 9}$ m $．$ 用科学记数法表示： $0.35$ nm $=$ m $．$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A C$ 上，点 $E$ 、 $G$ 在 $B C$ 上，已知 $A D ： D C = 1 : 3$ ， $E G ： G C = 1 ： 2$ ，连接 $A E$ 、 $B D$ 交于点 $F$ ，且 $F$ 为 $A E$ 中点，连接 $D G$ ，若 $S_{△ B E F} + S_{△ C D G} = 12$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、 $24$ B、 $26$ C、 $30$ D、 $36$

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11、设 $a = \frac{1^{2}}{1} + \frac{2^{2}}{3} + \frac{3^{2}}{5} + \dots + \frac{12^{2}}{23}$ ， $b = \frac{1^{2}}{3} + \frac{2^{2}}{5} + \frac{3^{2}}{7} + \dots + \frac{12^{2}}{25}$ ，则选项中最接近 $a - b$ 的整数为（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $12$

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12、纯电动汽车（ $B E V$ ）续航里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的 $80 %$ 时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率 $y$ 随充电时间 $x (min)$ 变化的函数图象，据图下列说法错误的是（）

A、本次充电开始时汽车电池内仅剩 $10 %$ 的电量 B、汽车电池含电率达到 $80 %$ 时充电用时 $40 min$ C、本次充电持续时间是 $120 min$ D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时

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13、在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形 $．$ 有三根长度分别为 $5 cm$ 、 $8 cm$ 、 $9.5 cm$ 的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将 $9.5 cm$ 的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（）

A、 $8$ B、 $7$ C、 $6$ D、 $5$

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14、如图， $A B ∥ C D ∥ E F ∥ G H$ ， $A E ∥ D G$ ，点 $C$ 在 $A E$ 上，点 $F$ 在 $D G$ 上，设与 $∠ α$ 相等的角的个数为 $m ($ 不包括 $∠ α$ 本身 $)$ ，与 $∠ β$ 互补的角的个数为 $n ．$ 若 $α \neq β$ ，则 $m n$ 的值是（）

A、 $16$ B、 $20$ C、 $25$ D、 $30$

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15、蛇年春节，一款名为深度求索 $(D e e p s e e k)$ 的国产人工智能大模型横空出世，之后各种人工智能大模型走进了人们的生活 $．$ 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 $D e e p S e e k$ B、 $C h a t G P T$ C、纳米 $A I$ D、文心一言

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16、下列计算或化简正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2} = 6 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8} = 4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$

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17、一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8，9， $10$ ， 9，8，7， $10$ ， 8．这名运动员射击环数的众数与中位数分别是（　　）

A、9环与8环 B、8环与 $8.5$ 环 C、 $8.5$ 环与9环 D、8环与9环

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18、定义：在平面内，对于∠P和∠Q，若存在一个常数t(t>0)，使得∠P+t∠Q=180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”.例如： ∠P=80°， ∠Q=50°，有∠P+2∠Q=180°，则∠Q是∠P的“2系数补角”.

(1)、若∠P=30°，求∠P的“5系数补角”∠Q的度数；

(2)、在平面内，直线AB∥CD，直线AB在CD上方，直线 EF分别交直线AB， CD于点 E，F，且 $∠ E F D > 9 0^{\circ},$ 点 H为直线EF右侧一个动点，∠EFH的平分线与∠FEH的平分线交于点 M.
①如图，若点 H在直线AB上方，且∠BEH=33°， ∠DFH=67°，求∠EMF的度数；
②已知∠BEH=m°， ∠DFH =n°， ∠N是∠EMF的“3系数补角”，且 $∠ N = x^{\circ}$ ，请直接用含 m和 n的式子表示 x.

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19、某水果市场要将 168吨水果从仓库运往甲、乙两地，用大、小两种货车共 18辆，恰好能一次性运完这批水果.已知这两种货车的载重量分别为 10吨和 8吨，运往甲、乙两地的运费如下表：
运输使用的车型
运费情况
甲地/(元/辆)
乙地/(元/辆)
大货车
300
400
小货车
200
250

(1)、求这两种货车各用多少辆.

(2)、如果安排 10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，且此次的总运费为 5550元.请求出安排前往甲地的大货车有多少辆.

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20、如图，已知∠1+∠2=180°， ∠3=∠B ，且∠AFE=50°.

(1)、求证： FD//AB ；

(2)、求∠ACB 的度数.

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运输使用的车型	运费情况
运输使用的车型	甲地/(元/辆)	乙地/(元/辆)
大货车	300	400
小货车	200	250