相关试卷

1、
新定义：如图1，对于平面内的一个四边形 $A B C D$ ， Y是 $A D$ 上一点，连接 $B Y$ ， $C Y$ ，存在点Y，使得 $Y B = Y C$ 且 $Y B ⊥ Y C$ ，我们称四边形 $A B C D$ 是“直角等距四边形”，点Y是四边形 $A B C D$ 的“等垂点”．
【初步探索】
（1）如图2，矩形 $E F G H$ 是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则 $E H$ 和 $E F$ 的数量关系是______；
【类比探究】
（2）如图3，四边形 $I J K L$ 是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作 $I L$ 的垂线，垂足分别为M和N．
①求证： $J M = Q N$ ；
②若 $I J = Q J = K L = \sqrt{5}$ ， $I Q = 2$ ，求 $Q L$ 的长；
【拓展应用】
（3）如图4，在 $Rt △ R S T$ 中， $R T = 16$ ， $T S = 20$ ， $∠ T R S = 90 °$ ，点U，V为 $Rt △ R S T$ 中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求 $V T$ 的长．

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2、
【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱 $O D$ 为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离 $O D$ 为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到 $O D$ 的水平距离为2米，离水平面的距离为 $3.5$ 米．

请尝试解决以下问题：
【数学建模】
（1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架 $O D$ 的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式：
【实践探究】
（2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为 $\frac{27}{8}$ 米，求该点到支架 $O D$ 的水平距离；
【拓展应用】
（3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段 $A B$ ， $A C$ ， $E F$ 组成，点F在线段 $A B$ 上， $E F ∥ O D$ ．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架 $E F$ 的最大长度．

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3、项目式学习：

项目式学习：小区新能源充电设施优化方案
项目背景	随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持．
核心素材

(1)、项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；

(2)、项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了

20 %

，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了

10 %

，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．

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4、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点D在 $A B$ 的延长线上，连接 $C D$ ， $∠ B C D = ∠ A$ ，过点B作 $B E ⊥ A D$ ，交 $C D$ 于点E．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点B是 $A D$ 的中点，且 $B E = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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5、2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：（A． $60 \leq x < 70$ ；B． $70 \leq x < 80$ ；C． $80 \leq x < 90$ ；D． $90 \leq x \leq 100$ ），下面给出了部分信息：
八年级20名学生成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，85，87，89，89．
八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
$84.5$
86
a
$102.5$
九年级
$84.5$
b
95
$100.6$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中 $a =$ ______， $b =$ ______， $m =$ ______；

(2)、根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由；

(3)、该校八、九年级共有学生1800人且全部参与问卷调查，请估计八、九年级共有多少名学生的成绩不低于90分？

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6、计算

(1)、计算： $- 3^{2} + (1 - 3) \times 4$ ；

(2)、解方程组： $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 12 ① \\ 3 x - 2 y = 4 ② \end{array}$ ．

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7、如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上， $O C$ 是 $△ O A B$ 的中线，点 $B, C$ 在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，则 $△ O A B$ 的面积等于．

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8、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $D (- 1, 2)$ ，与x轴的一个交点A在点 $(- 3, 0)$ 和 $(- 2, 0)$ 之间，其部分图象如图，则以下结论：① $b^{2} - 4 a c < 0$ ；②当 $x < - 1$ 时，y随x增大而减小；③ $a + b + c < 0$ ；④ $2 a - b = 0$ ；⑤若方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 没有实数根，则 $m > 2$ ．其中正确结论的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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9、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，点P为 $A B$ 边上一动点（不与点A，B重合）， $P E ⊥ O A$ 于点E， $P F ⊥ O B$ 于点F，若 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则 $E F$ 的最小值为（）

A、 $4.8$ B、4 C、 $3.2$ D、 $2.4$

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10、某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆 $A B$ 所在的直线，撑开的遮阳面 $A C$ 和 $A D$ 的长均为 $1 .8m$ ， $∠ C A D$ 的度数为 $140 °$ ，则此时“天幕”的宽度 $C D$ 是（）

A、 $1.8 sin 20 ° m$ B、 $3.6 cos7 0 ° m$ C、 $3.6 sin 70 ° m$ D、 $1.8 tan 20 ° m$

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11、三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（）

A、 $10 %$ B、 $11 %$ C、 $12 %$ D、 $21 %$

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12、五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图， $A B$ 和 $C D$ 是五线谱上的两条线段，点E在 $A B$ ， $C D$ 之间的一条平行线上，若 $∠ 1 = 120 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ B E C$ 的度数为（）

A、 $135 °$ B、 $140 °$ C、 $90 °$ D、 $80 °$

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13、下列各式中，化简后能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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14、南宁市教育和体育局为了了解该市义务教育阶段学校120万名学生眼睛视力情况，在南宁市所属各区县不同地区的学校按照学生比例随机抽查了5万名学生进行测试，并将结果进行统计，在这个调查中，下列说法正确的是（）

A、样本容量是5万名学生 B、总体是该市义务教育阶段学校的120万名学生的视力情况 C、这个调查是全面调查 D、个体是该市义务教育阶段学校的每一名学生

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15、在平面直角坐标系中，点 $P (- 1, 2)$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”.

(1)、我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.其中是“神奇四边形”的是；(填序号)

(2)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $E 为 B C$ 上一点，连接AE，过点 $B 作 B G ⊥ A E$ 于点 $H$ ，交 $C D$ 于点 $G$ ，连接 $A G, E G$ .
①四边形 $A B E G$ 是否为“神奇四边形”?请说明理由；
②如图2，点 $M 、 N 、 P 、 Q$ 分别是 $A B 、 A G 、 G E 、 E B$ 的中点，则四边形 $M N P Q$ ▲ “神奇四边形”；(填“是”或“不是”)

(3)、如图3，点 $F ， R$ 分别在正方形ABCD的边 $A B ， C D$ 上，把正方形沿直线FR翻折，使得 $B C$ 的对应边 $B' C'$ 恰好经过点 $A$ ，过点 $A 作 A O ⟂ F R$ 于点 $O$ .若 $A B' = 3,$ 正方形的边长为9，求线段 $O F$ 的长.

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17、如图，平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点， $A (10,0), C (0,4) .$ 四边形 $O A B C$ 为矩形，点 $D 是 O A$ 的中点，点 $P$ 在边 $B C$ 上以每秒1个单位长的速度由点 $C$ 向点 $B$ 运动(点 $P$ 到达点 $B$ 则停止运动).设动点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒.

(1)、 $C P =$ ； $P B =$ (用含 $t$ 的代数式表示)；

(2)、当四边形 $P O D B$ 是平行四边形时，求 $t$ 的值；

(3)、在线段 $C B$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $O 、 D 、 P 、 M$ 四点为顶点的四边形为菱形?若存在，求 $t$ 的值，并求出 $M$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ，点 $D 、 E$ 分别为 $A B 、 A C$ 的中点，连接 $C D$ ，过点 $E 作 E F ∥ D C$ 交BC的延长线于点F.

(1)、求证： $C F = \frac{1}{2} B C;$

(2)、若 $∠ B = 60 °$ ，求EF的长及四边形 $D C F E$ 的面积.

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19、如图，点 $M 在 ▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上， $B M = C M$ ，请从这三个选项 $① ∠ 1 = ∠ 2; ② ∠ 3 = ∠ 4 ； ③ A M = D M 中$ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使 $▱ A B C D$ 为矩形.

(1)、你添加的条件是(填序号)；

(2)、添加条件后，证明 $▱ A B C D$ 为矩形.

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20、已知点 $M (3 a - 2, a + 6)$ ，点 $N (3,5)$ .

(1)、若点 $M 在 y$ 轴上，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $M N ∥ x$ 轴，求点M 的坐标.

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