相关试卷

1、以下几组长度（单位：米)的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（ )

A、5， 7， 2 B、5， 9， 3 C、5， 7， 3 D、4， 5， 10

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2、阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．
【阅读材料1】如果两个正数 $a, b$ ，则 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，即 $a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0, ∴ a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号，此时 $a + b$ 有最小值为 $2 \sqrt{a b}$ ．
【实例展示1】已知 $x > 0$ ，求式子 $x + \frac{9}{x}$ 最小值．
解： $x + \frac{9}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$ ，当且仅当 $x = \frac{9}{x}, ∵ x > 0$ ，即 $x = 3$ 时，式子有最小值为 $6$ ．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例展示2】如： $\frac{x - 1}{x + 1}, \frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；如： $\frac{3}{x + 1}, \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式，假分数 $\frac{7}{4}$ 可以化成 $1 \frac{3}{4}$ 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}, \frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{(x^{2} - 1) + 1}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
（1）①分式 $\frac{3}{x}$ 是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式 $\frac{x + 6}{x + 1}$ 化为带分式形式为______；
②已知 $x > 0$ ，则当 $x =$ ______时，式子 $x + \frac{16}{x}$ 取到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为 $225 m^{2}$ 的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少 $m$ 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少 $m$ ？
（3）已知 $x > 1$ ，当 $x$ 取何值时，分式 $\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 5}$ 取到最大值，最大值为多少？

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，连接 $A D$ ．

(1)、用尺规作图法在 $△ A B C$ 下方作 $∠ C B E = ∠ C$ ，且射线 $B E$ 与 $A D$ 的延长线交于点 $F$ （保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；

(2)、在（1）的条件下，连接 $C F$ ，求证四边形 $A B F C$ 为平行四边形．

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，三角形 $A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, - 2)$ ， $C (2, 1)$ ．

(1)、在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；

(2)、三角形 $A B C$ 的面积是________；

(3)、已知点 $P$ 在 $x$ 轴上，且三角形 $A B P$ 的面积为 $3$ ， $P$ 点的坐标为________．

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5、如图，为了解九年级学生的体能情况，娄星区某学校组织了一次体能测试，并随机选取了50名学生的成绩进行统计，得出相关统计表和统计图 $($ 其中部分数据不慎丢失，暂用字母m，n表示 $) .$ 根据图表所提供的信息回答下列问题：

（1）统计表中的m=______，n= ______；并补全统计图；
（2）若该校九年级有500名学生，请据此估算该校九年级学生体能良好及以上的学生有多少名？
（3）根据以往经验，经过一段时间训练后，有60%的学生成绩可以上升一个等级，求经过训练后九年级学生的体能达标率 $($ 成绩在合格及以上 $)$ ．

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6、如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点A作直线 $A D$ 交 $B C$ 的延长线于点D，使得________，请从“① $∠ D A C = ∠ B$ ；② $2 ∠ B = 90 ° - ∠ D$ ”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题：

(1)、题干横线上所填序号为：_______

(2)、求证： $A D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若 $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长度（结果保留 $π$ ）．

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7、计算： $|- \sqrt{2}| - 2 \sin 45 ° + {(1 - \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{2} \times \sqrt{8}$ ．

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8、《九章算术注》中数学家刘徽提到了“不加借算”开平方方法： $\sqrt{a^{2} + r} = a + \frac{r}{2 a}$ ，当 $a$ 取正整数且 $|r|$ 最小时，用“不加借算”的方法计算 $\sqrt{26} = \sqrt{5^{2} + 1} = 5 + \frac{1}{2 \times 5} = 5.1$ ；某等边三角形花园的面积为 $308 \sqrt{3} m^{2}$ ，用“不加借算”的方法计算该等边三角形花园的边长约为 $m$ ．

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9、我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居世界第110位．数27500用科学记数法表示为．

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10、下列计算正确的是（）

A、 $a^{8} - a^{3} = a^{5}$ B、 $3 a^{2} \cdot 2 a^{2} = 6 a^{2}$ C、 ${(- 3 a)}^{2} = 9 a^{2}$ D、 $a^{2} \div a^{2} = a$

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11、在下列利用人工智能生成的LOGO图标中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、下列各数中，无理数是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $- \sqrt{4}$ D、0.1

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13、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， $△ A B C$ 在方格纸中的位置如图所示，已知点 $A (- 2, 2)$ ， $B (- 3, - 1)$ ．

(1)、请在方格纸中建立平面直角坐标系，画出 $x$ 轴， $y$ 轴的位置，并写出点 $C$ 的坐标；

(2)、请在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

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14、若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做角分四边形，这条对角线叫做它的角分线．

(1)、在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，一定为角分四边形的有（填序号）；

(2)、在角分四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 为它的角分线，与对角线 $B D$ 相交于点O，且 $∠ B A D + ∠ B C D = 2 ∠ A B C$ ．
①如图1，求证： $A C ⊥ B D$ ；
②如图2，延长 $B C$ 至点 $M$ ，使得 $C M = C B$ ，连接 $D M$ ， $N$ 为 $D M$ 上一点，且 $N A ⊥ A B$ ， $M N^{2} - 2 B C^{2} +6 B C - 9 = 0$ ， $0 < B C < 3$ ，连接 $C N$ ，求四边形 $A B C N$ 面积的最大值．

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15、请阅读下列材料：
问题：已知 $x = \sqrt{5} + 2$ ，求代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的值．
小明根据二次根式的性质： ${(\sqrt{a})}^{2} ＝ a$ ，联想到了以下的解题方法：
由 $x = \sqrt{5} + 2$ 得 $x - 2 = \sqrt{5}$ ，则 ${(x - 2)}^{2} = 5$ ，即 $x^{2} - 4 x + 4 = 5$ ， ∴ $x^{2} - 4 x = 1$ ，把 $x^{2} - 4 x$ 作为整体，得： $x^{2} - 4 x - 7 = 1 - 7 = - 6$
请回答下列问题：

(1)、已知 $x = \sqrt{6} - 2$ ，求代数式 $x^{2} + 4 x + 4$ 的值．

(2)、已知 $x = 3 + 2 \sqrt{2}$ ，求代数式 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 25}$ 的值．

(3)、已知 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，求代数式 $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2025$ 的值．

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16、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，延长 $C B$ 到点 $E$ ，使得 $B E = B C$ ．连接 $A E$ ．过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ ，交 $A E$ 于点 $F$ ，连接 $O F$ ．

(1)、求证：四边形 $A F B O$ 是矩形；

(2)、若 $∠ E = 30 °, O F = 6$ ，求菱形 $A B C D$ 的面积．

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17、从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运 $30 kg$ 材料，且 $A$ 型机器人搬运 $1000 kg$ 材料所用的时间与 $B$ 型机器人搬运 $600 kg$ 材料所用的时间相同．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

(2)、该公司计划采购 $A$ ， $B$ 两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于 $1400 kg$ ，则至少购进 $A$ 型机器人多少台？

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D，E分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $D E$ ，过点B作 $B F // A C$ ，过点E作 $E F // A B$ ．

(1)、求证：四边形 $B D E F$ 是菱形；

(2)、连接 $D F$ ，若 $B E = 6$ ， $A C = 2 \sqrt{11}$ ，求 $D F$ 的长．

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19、已知 $x = 2 \sqrt{5} - 2$ ， $y = 2 \sqrt{5} + 2$

(1)、求 $x + y$ 和 $x y$ 的值；

(2)、求式子 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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20、已知y与x成正比例，且当 $x = 4$ 时， $y = - 8$ ．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、当 $y = 6$ 时，求x的值．

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