相关试卷

1、甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的 $\frac{3}{2}$ 掉头返回A地、拿到物品后以提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法不正确的是（）

A、乙的速度为 $240 m/min$ B、两人第一次相遇的时间是 $\frac{89}{6}$ 分钟 C、B点的坐标为 $(3, 3520)$ D、甲最终到达B地的时间是 $\frac{85}{3}$ 分钟

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2、若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程 $x^{2} - x + k = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3、某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动， $7$ 位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的 $5$ 个评分与原始的 $7$ 个评分相比一定不发生变化的是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、极差

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4、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $- {(a^{3} b)}^{2} = a^{6} b^{2}$ C、 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b - b^{2}$

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5、下列四个数中，其绝对值最大的数是（）

A、3 B、 $- π$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6、【项目背景】科学种植对农林产业发展有巨大的促进作用，某苹果种植户想验证新的种植养护方式对苹果品质的提升效果，在果园内开辟了实验园区，运用新技术种植、养护．在苹果成熟采摘的时候对普通园区和实验园区苹果的大小进行对比分析．
【数据收集与整理】在普通园区和实验园区采摘的苹果中随机各抽取50个，测量它们的直径，并按照直径大小进行分组，分组标准如下：
组别
A
B
C
D
E
直径 $x$ （ $cm$ ）
$5.0 \leq x < 6.0$
$6.0 \leq x < 7.0$
$7.0 \leq x < 8.0$
$8.0 \leq x < 9.0$
$9.0 \leq x \leq 10.0$
数据整理1：将普通园区苹果的直径数据绘制成如图1的频数分布直方图，其中普通园区苹果优良率（直径大于或等于 $8.0 cm$ 为优良）为 $20 %$ ．
数据整理2：将实验园区苹果的直径数据绘制成如图2的扇形统计图，实验园区苹果的直径整理记录的部分数据（已按大小进行排序）如下（单位： $cm$ ）：
…，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，9.0，…
【数据处理和应用】

(1)、普通园区苹果的直径在C组的有____________个，请补全频数分布直方图；

(2)、实验园区苹果直径的中位数是____________ $cm$ ，图2中D组对应扇形的圆心角是____________；

(3)、已知实验园区苹果的平均直径为 $8.23 cm$ ；普通园区苹果的直径在A，B，C，D，E五组中的平均值分别为 $5.5 cm$ ， $6.5 cm$ ， $7.5 cm$ ， $8.5 cm$ ， $9.5 cm$ ；若实验园区苹果的平均直径比普通园区苹果的平均直径高出 $15 %$ ，就认为新的种植、养护方式效果显著．请你通过计算说明该果园实验园区实施的新种植、养护方式是否达到“效果显著”？

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7、随着新一轮科技革命和产业变革逐步走向纵深，我国新能源汽车产业实现了快速发展，新能源汽车已经成为我们日常出行的重要交通工具．据统计，截至2025年底，我国新能源汽车保有量达4397万辆，其中“4397万”用科学记数法表示为（）

A、 $0.4397 \times 10^{8}$ B、 $4.397 \times 10^{8}$ C、 $4.397 \times 10^{7}$ D、 $4.397 \times 10^{6}$

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8、阅读材料，回答以下问题：

材料一：

材料二：

我们可以用以下方法表示无理数 $\sqrt{7}$ 的小数部分．

我们可以用以下方法求无理数 $\sqrt{107}$ 的近似值（保留两位小数）．

$∵ 4 < 7 < 9, ∴ \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，

即 $2 < \sqrt{7} < 3$

$∴ \sqrt{7}$ 的整数部分为2．

$∴ \sqrt{7}$ 的小数部分为 $\sqrt{7} - 2$ ．

∵面积为107的正方形的边长是 $\sqrt{107}$ ，且 $10 < \sqrt{107} < 11$ ，

∴设 $\sqrt{107} = 10 + x$ ，其中 $0 < x < 1$ ，画出边长为 $10 + x$ 的正方形，如图1：

根据图中面积，得 $10^{2} + 2 \times 10 x + x^{2} = 107$ ，

当 $x^{2}$ 较小时，忽略 $x^{2}$ ，得 $100 + 20 x = 107$ ．

解得 $x \approx 0.35. ∴ \sqrt{107} = 10 + x \approx 10.35$

(1)、利用材料一中的方法，

\sqrt{33}

的小数部分是__________；

(2)、利用材料二中的方法，探究

\sqrt{145}

的近似值.（保留两位小数，并写出求解过程）

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9、解不等式 $\frac{4 + 3 x}{6} \leq \frac{1 + 2 x}{3} + 1$ ，并写出它的非正整数解．

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10、计算： $2 \sqrt{2} + \sqrt{9} + \sqrt[3]{- 8} + |\sqrt{2} - 2|$

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11、不等式 $x \geq 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（）.

A、 B、 C、 D、

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12、在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图1，点E是 $⊙ O$ 的弦 $B D$ （不是直径）的中点，过点E的直线交 $⊙ O$ 于点A，C．过点D作 $D F ⊥ A D$ 交弦 $A C$ 于点F．点G在 $A E$ 上， $B D$ 平分 $∠ C B G$ ，连接 $D G$ ，且 $D G ⊥ B G$ ．

(1)、求证： $∠ A F D = ∠ B D G$ ；

(2)、如图1，若 $A G = 2 E F$ ，求 $\tan ∠ C B D$ 的值；

(3)、如图2，若点O在线段 $B G$ 上，求 $\frac{O G}{O B}$ 的值．

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14、已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + m x - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且经过点 $D (- 10, 6)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图 $1$ ，点 $P$ 是抛物线上第三象限内一动点，连接 $C D ， P D ， P C ， P B ， B C$ ． $△ P C D$ 面积记为 $S_{1}$ ， $△ P B C$ 面积记为 $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值；

(3)、如图 $2$ ，将直线 $B C$ 沿 $x$ 轴翻折交 $y$ 轴于点 $H$ ，过点 $B$ 的直线 $l$ 交 $y$ 轴、抛物线分别于点 $K ， E$ ．若 $∠ H B K = ∠ O A C$ ，求点 $E$ 的坐标．

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15、在 $2026$ 年马年新春送福活动中，某公司计划采购甲、乙两款新春福袋．已知甲款福袋的单价比乙款福袋贵 $14$ 元，用 $10000$ 元购买甲款福袋的数量是用 $9000$ 元购买乙款福袋数量的 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、求甲、乙两款福袋的单价；

(2)、该公司计划采购甲、乙两款福袋共 $200$ 个，且甲款福袋的数量不少于乙款福袋数量的 $\frac{1}{3}$ ．若商家推出甲款福袋八折优惠活动，求采购甲款福袋多少个时，采购总成本最低，最低成本是多少元？

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16、某数学兴趣小组设计了一个古祠飞檐结构中的几何测量与计算的方案．

活动课题	古祠飞檐结构中的几何测量与计算．
实物图及示意图	某保护文物——古祠飞檐，其侧视图如图所示．
测量数据	1．测得飞檐挑檐梁 $A B$ 与水平线 $A D$ 的夹角 $∠ B A D = 30 °$ ，挑檐梁 $A B$ 的长度为2米； 2．测得飞檐屋面 $A E$ 的倾斜角 $∠ E A D = 22 °$ ，飞檐立柱 $C E$ 的高度为 $0.2$ 米．
参考数据	$\sin 22 ° \approx 0.375, \cos 22 ° \approx 0.927, \tan 22 ° \approx 0.404, \sqrt{3} \approx 1.732$

请计算：

(1)、飞檐水平横枋

B C

与水平线

A D

的距离；

(2)、飞檐水平横枋

B C

的长度．（结果精确到

0.01 m

）

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17、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 边上一点，连接 $A E$ ，过点 $D$ 作 $D F ∥ A E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．连接 $A F$ ，交 $C D$ 于点 $P$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ D C F$ ；

(2)、若 $A D = 3$ ， $A B = 4$ ， $B E = 2 E C$ ，求 $C P$ 的长．

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18、为深入贯彻落实《政府工作报告》中关于教育高质量发展的部署，某区教育局为了解辖区内学生课后服务特色课程的选择意愿，随机抽取m名学生开展问卷调查（每人必选且仅选一项）．课程分为五类：A．人工智能编程；B．传统非遗手工；C．校园足球社团；D．经典诵读课程；E．科技创新实践．根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．
请根据调查信息，回答下列问题：

(1)、 $m =$ _____；

(2)、设选择“C．校园足球社团”课程的人数为 $n =$ _____，并补全条形统计图；

(3)、在本次调查中，五类课程选择的人数分别为：96，60，n，120，84，众数是____，中位数是_____；

(4)、若学生总人数为2400人，估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数．

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19、下列是化简 $(\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}) \div \frac{x^{3} - x^{2}}{x^{2} - 2 x + 1}$ 的两种方法的部分过程：
方法一：
$(\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}) \div \frac{x^{3} - x^{2}}{x^{2} - 2 x + 1}$ $= (\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{x}{x - 1}) \div \frac{x^{3} - x^{2}}{x^{2} - 2 x + 1}$
…
方法二：
$(\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}) \div \frac{x^{3} - x^{2}}{x^{2} - 2 x + 1}$ $= \frac{x^{2}}{x - 1} \div \frac{x^{3} - x^{2}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{x}{1 - x} \div \frac{x^{3} - x^{2}}{x^{2} - 2 x + 1}$
…

(1)、请选择一种方法完成化简过程；

(2)、当 $x = 5$ 时，求原代数式的值．

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20、计算： $|- \frac{1}{2}| + \sqrt{3} \sin 60 ° + {(- 1)}^{2026} - {(\sqrt{7} - 1)}^{0}$ ．

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组别	A	B	C	D	E
直径 $x$ （ $cm$ ）	$5.0 \leq x < 6.0$	$6.0 \leq x < 7.0$	$7.0 \leq x < 8.0$	$8.0 \leq x < 9.0$	$9.0 \leq x \leq 10.0$