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1、已知 $x^{m} = 2$ ， $x^{n} = 5$ ，则 $x^{3 m - n}$ 的值为．

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2、如图，一艘船从点 $A$ 出发，沿东北方向航行至点 $B$ ，再从点 $B$ 出发沿南偏东 $15 °$ 方向航行至点 $C$ ，则 $∠ A B C =$ $°$ ．

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3、已知：如图，点 $A$ ， $D$ ， $C$ 在同一条直线上， $A B ∥ D E$ ， $A B = A D$ ， $A C = D E$ ，

(1)、求证： $∠ C = ∠ E$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $D E = 5$ ，求 $C D$ 的长．

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4、填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图， $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ C$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．
证明：∵ $∠ B = ∠ C$ （已知），
∴ $A B ∥ C D$ （______）．
∴ $∠ D = ∠$ ______（______）．
∵ $∠ A = ∠ D$ （已知），
∴ $∠ A = ∠ 4$ （等量代换）
$∴ A H ∥$ ______（______）．
∴ $∠ 1 = ∠$ ______（______）．
∵ $∠ 2 = ∠ 3$ （______），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$ （等量代换）．

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5、先化简，再求值： $[{(2 x - y)}^{2} + (2 x - y) (y + 2 x) - 2 x (x - 3 y)] \div 2 x$ ，其中 $x = 2 ， y = - 1$ ．

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6、计算：

(1)、 $- 1^{2024} - |- 3| + {(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(π - 3.14)}^{0}$ ；

(2)、 $a^{3} \cdot a^{5} + {(a^{2})}^{4} + {(- 2 a^{4})}^{2}$

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7、如图，点D在 $△ A B C$ 边 $A B$ 的延长线上，且 $A B = B D$ ．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $△ A B C$ 边 $A C$ ， $A B$ 于点M，N；再以点D为圆心，以 $A N$ 长为半径画弧，交 $A D$ 于点 $N^{'}$ ；再以点 $N^{'}$ 为圆心，以 $M N$ 长为半径画弧交前弧于点 $M^{'}$ ，作射线 $D M^{'}$ ．已知点E为射线 $D M^{'}$ 上一点，连接 $B E$ ，请你添加一个条件，使 $△ A B C ≌ △ D B E$ ．（写出一个条件即可）

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8、若代数式x²+3x+5可以表示为（x+1）²+a（x+1）+3的形式，则a＝．

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9、若 ${(a - 2)}^{2} + |b - 6| = 0$ ，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是．

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10、如果 $(a - b - 3) (a - b + 3) = 40$ ，那么 $a - b$ 的值为（　　）

A、49 B、7 C、﹣7 D、7或﹣7

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11、在 $△ A B C$ 中， $∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 4 : 5$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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12、如果锐角 $α$ 的余角是 $48 °$ ，那么锐角 $α$ 是（）

A、 $42 °$ B、 $132 °$ C、 $48 °$ D、 $138 °$

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13、“墙角数枝梅，凌寒独自开”，梅花因为其自强不息、坚贞不屈的高洁品质常被世人传颂．若某梅花花粉直径约为 $0.000042$ 米，则数据 $0.000042$ 用科学记数法表示为（）

A、 $42 \times 10^{- 6}$ B、 $4.2 \times 10^{- 6}$ C、 $42 \times 10^{- 5}$ D、 $4.2 \times 10^{- 5}$

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14、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{8}$ C、 ${(3 a^{3} b^{3})}^{2} = 9 a^{6} b^{6}$ D、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$

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15、如图1，圆内接四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 D B$ 交于点 $P$ ，延长 $B C 、 A D$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A D P ∽ △ B C P$ ；

(2)、如图2， $Q$ 为弦 $D C$ 上一点，连接 $P Q$ 并延长交 $A E$ 于点 $H$ ，若 $2 ∠ D A C = ∠ C Q P$ ， $C$ 为弧 $D B$ 中点， $P D = 3$ ， $B P = 4 ， C E = 5$ ，求 $Q H$ 的长；

(3)、如图1，若 $C$ 为弧 $D B$ 中点，
①当 $(C E + C P) (C E - C P) = B P \cdot P D$ 成立时，试判断 $△ A P D$ 的形状并说明理由；
②在①的结论下，若 $A B = x ， D C = 1 ， △ D P C$ 的面积为 $y$ ，请直接写出 $y$ 关于 $x$ 的解析式．

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16、若某函数的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $P 、 Q$ 两点（ $P$ 与 $Q$ 不重合），且 $O P = O Q$ ，则称该函数为“等截距函数”．例如，函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $P_{1} (3, 0) ， P_{2} (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于 $Q (0, - 3)$ ，且 $O P_{1} = O Q = 3$ ，则称函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 为“等截距函数”．

(1)、下列函数中，是“等截距函数”的在括号内打“√”，不是的在括号内打“×”；
① $y = - x + 3$ （）；② $y = \frac{2 - x}{x - 1}$ （）；③ $y = x^{2} - 4$ （）．

(2)、抛物线 $y = x^{2} + b x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点（点 $B$ 在原点右侧），与 $y$ 轴交于 $C$ 点，“等截距函数” $y = k x + m$ 的图象经过 $B 、 C$ 两点，点 $P$ 是第四象限内抛物线上的一个动点．
①如图1，连接 $B P 、 A P ， A P$ 与 $B C$ 相交于点 $G$ ，当 $\frac{S_{△ P B G}}{S_{△ A B G}} = \frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；
②如图2， $A P$ 平分 $∠ B A C$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，过 $M$ 点的直线 $l$ 与线段 $A B 、 A C$ 分别交于 $E 、 F$ ，当直线 $l$ 绕点 $M$ 旋转时， $\frac{1}{A E} + \frac{1}{A F}$ 为定值，请求出该定值．

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 是钝角， $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $D$ ， $E 、 F$ 分别为 $A C 、 A B$ 的中点， $∠ F C E = ∠ C E D$ ．连接 $D F 、 E F$ ，设 $D F$ 与 $E C$ 交于点 $O$ ．

(1)、求证： $C D = \frac{1}{2} B C$ ；

(2)、若 $O D = \frac{5}{2} ， sin B = \frac{4}{5}$ ，求 $A C$ 的长．

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18、2026年4月17日12时10分，搭载“高精度探测卫星”的“长征四号丙”运载火箭在酒泉航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面 $O$ 处竖直向上发射，当火箭到达 $A$ 处时，从位于地面 $C$ 处的雷达站测得 $A C$ 的距离是 $8 km$ ，仰角为 $30 °$ ；当火箭到达 $B$ 处时，从位于地面 $C$ 处的雷达站测得仰角为 $45 °$ ．

(1)、求 $O C$ 的距离；

(2)、求火箭从 $A$ 处到 $B$ 处的飞行距离．

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19、在平面直角坐标系中，将点 $P (3, - 1)$ 向左平移2个单位长度到点 $M$ ，则点 $M$ 的坐标是．

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20、如果 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是．

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