相关试卷

1、一个三位自然数 $n$ ，百位数字比个位数字多2，十位数字为4，则称这个数为“砺新数”，则最小的“砺新数”是；若 $n$ 是“砺新数”，将 $n$ 的百位数字与个位数字交换位置得新数 $n^{'}$ ，若 $n^{'}$ 是7的倍数，则 $n$ 的值是．

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2、关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x + k^{2} - k = 0$ 的两个实数根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4$ ，则k的值是．

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3、某市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4、不等式组 $\{\begin{array}{l} 5 (x - 2) \leq 3 x + 6 \\ \frac{x - 5}{2} < 1 + 4 x \end{array}$ 的解集为( )

A、 $- 1 < x \leq 8$ B、 $- 2 < x \leq 8$ C、 $- 1 < x \leq 4$ D、 $x < - 1$

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5、对一组数据：2、3、 $- 2$ 、3、4，描述正确的是（）

A、中位数是 $- 2$ B、平均数是2 C、众数是2 D、方差是1

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6、拒绝餐桌浪费，刻不容缓．一个人一日少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $324 \times 10^{5}$ B、 $32.4 \times 10^{6}$ C、 $3.24 \times 10^{7}$ D、 $0.324 \times 10^{8}$

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7、2的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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8、用4块相邻两边长分别为 $a$ ， $b$ 的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形．

(1)、根据图形，请你用等式表示 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的数量关系：______；

(2)、结合（1）中的结论，如果 $a + b = 3$ ， $a b = - 4$ ，求 $a^{2} - b^{2}$ 的值；

(3)、结合以上结论，如果 ${(2025 - x)}^{2} - {(x - 2026)}^{2} = 9$ ，求 $(2025 - x) (x - 2026)$ 的值．

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9、你能化简 $(x - 1) (x^{99} + x^{98} + \cdot \cdot \cdot + \cdot \cdot \cdot + x + 1)$ 吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．

(1)、分别化简下列各式：
$(x - 1) (x + 1) =$ ______；
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) =$ ______；
$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) =$ ______；
…
$(x - 1) (x^{99} + x^{98} + \cdot \cdot \cdot + x + 1) =$ ______．

(2)、请你利用上面的结论计算： $2^{2025} + 2^{2024} + \cdot \cdot \cdot + 2 + 1$ ．

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10、图1是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成．图2是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中 $B C$ 为转动杆， $C D$ 为水平杆，当转动杆 $B C$ 转动时， $C D$ 杆始终保持水平，即 $C D ∥ A E$ ．已知 $B A ⊥ A E$ ．

(1)、如图3，当转动杆 $B C$ 转动到 $B, C^{'}, D^{'}$ 三点在同一条直线上时， $B D^{'} ∥ A E$ ．若 $∠ B C D = 140 °$ ，求 $∠ C B C^{'}$ 的大小；
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
$∵ C D ∥ A E, B D^{'} ∥ A E$ （已知），
$∴ C D ∥$ （________）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
$∴ ∠ B C D +$ （________） $= 180 °$ （________）．
$∴ ∠ C B C^{'} = 180 ° - ∠ B C D = 180 ° - 140 ° = 40 °$ ．

(2)、如图2，在转动杆 $B C$ 转动过程中， $∠ A B C + ∠ B C D$ 的大小是否发生改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的大小．

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11、“整体思想”在数学中应用极为广泛．
例如：已知 $a^{2} - 2 = - 3 b$ ，求 $2 a^{2} + 6 b - 7$ 的值．
解：∵ $a^{2} - 2 = - 3 b$ ，
∴ $a^{2} + 3 b = 2$
∴ $2 a^{2} + 6 b - 7 = 2 (a^{2} + 3 b) - 7 = 2 \times 2 - 7 = - 3$ ．
请尝试应用“整体思想”解决以下问题：

(1)、已知 $x^{2} - 2 y - 3 = 0$ ，求 $3 x^{2} - 6 y + 1$ 的值；

(2)、已知 $a^{2} + 2 a - 8 = 0$ ，求 $a {(a + 2)}^{2} - a (a - 3) (a - 1) + 3 (5 a - 2)$ 的值．

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12、周末，某文具店进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据：
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
600
落在“矿泉水”的次数m
68
144
207

414
落在“矿泉水”的频率 $\frac{m}{n}$
$0.68$
$0.72$

$0.71$
$0.70$

(1)、补全表格；

(2)、估计转动该转盘一次，获得钢笔的概率．（结果保留一位小数）

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13、计算： ${(- 1)}^{2026} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(π - 1)}^{0} + |- 2|$ ．

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14、已知 $a - b = 6$ ， $a b = - 4$ ，则 $(2 + a) (2 - b) =$ ．

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15、若 $∠ 1 = 37 ° 1 8^{'}$ ，则 $∠ 1$ 的补角度数为．

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16、如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，两个泳池的面积之和 $S_{1} + S_{2} = 36$ ，点 $B$ 是线段 $C G$ 上一点，设 $C G = 8$ ，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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17、甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）

A、掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C、任意写出一个整数，能被2整除的概率 D、一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率

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18、已知 $a = 2^{- 2}, b = {(- \frac{1}{2})}^{0}, c = 2^{2}$ ，则下列关于 $a, b, c$ 的大小关系中正确的是（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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19、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

(1)、求抛物线的函数关系式及点 $M$ 的坐标；

(2)、点E是直线 $A B$ 下方的抛物线上一动点，连接 $E B$ ， $E A$ ，当 $△ E A B$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

(3)、将直线 $A B$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y = m x + n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D (2, 0)$ ，连接 $D M$ ，请探究 $∠ A D M$ 与 $∠ A C M$ 之间存在怎样的数量关系?

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20、阅读短文，解决问题．
若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图 $1$ ，在平行四边形 $A E F D$ 中， $∠ B A C$ 与 $∠ D A E$ 重合，点 $F$ 在 $B C$ 上，则称平行四边形 $A E F D$ 为 $Δ A B C$ 的“相依四边形”．

(1)、如图 $1$ ，平行四边形 $A E F D$ 为 $△ A B C$ 的“相依四边形”， $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，判断四边形 $A E F D$ 的形状，并进行证明．

(2)、在（1）的条件下，如图 $2 ， ∠ B = 90 °$ ．
①若 $A C = 6$ ， $F C = \sqrt{6}$ ，求四边形 $A E F D$ 的周长；
②如图 $3$ ， $M ， N$ 分别是 $D F ， A C$ 的中点，连接 $M N$ ，若 $M N = \frac{3}{2}$ ，求 $A D^{2} + C F^{2}$ 的值．

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转动转盘的次数n	100	200	300	400	500	600
落在“矿泉水”的次数m	68	144	207			414
落在“矿泉水”的频率 $\frac{m}{n}$	$0.68$	$0.72$		$0.71$	$0.70$