相关试卷

1、先化简，再求值： $(a - 1 - \frac{3}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 1}$ ，其中 $a = 1$ ．

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2、分解因式与解不等式组

(1)、 $- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x$ ；

(2)、 $x^{2} (3 x - 2) + (2 - 3 x)$

(3)、解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x - 3}{2} + 3 \geq x + 1 \\ 1 - 3 （ x - 1 ） < 8 - x \end{matrix}$ ，并求出它的整数解．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是 $A C$ 上的动点，连接 $B P$ ，以 $B P$ 为边作等边 $△ B P Q$ ，连接 $C Q$ ，则点 $P$ 在运动过程中，线段 $C Q$ 长度的最小值是．

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4、关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} x \geq a \\ 3 x - 2 \geq 1 \end{matrix}$ 的解集为 $x \geq 1$ ，请写出一个符合条件的a的值：．

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5、如图，把 $Rt △ A B C$ 放在直角坐标系内，其中 $∠ C A B = 90 °$ ， $B C = 5$ ，点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(1, 0)$ ， $(4, 0)$ ．将 $△ A B C$ 沿 $x$ 轴向右平移，当点 $C$ 落在直线 $y = 2 x - 4$ 上时，线段 $B C$ 扫过的面积为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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6、对于命题“如果 $a < 1$ ，那么 $a^{2} < 1$ ”，能说明它是假命题的反例是（）

A、 $a = - 2$ B、 $a = 2$ C、 $a = \frac{1}{2}$ D、 $a = 0$

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7、如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 35 °, ∠ B A C = 70 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A旋转逆时针旋转α度 $(0 < α < 180)$ 后得到 $△ A D E$ ，点E恰好落在 $B C$ 上，则 $α =$ （）

A、 $10 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $40 °$

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8、已知 $C A = C B, C D$ 是经过 $∠ B C A$ 顶点C的一条直线．E，F是直线 $C D$ 上的两点，且 $∠ B E C = ∠ C F A = α$ ．

(1)、若直线 $C D$ 在 $∠ B C A$ 的内部，且E，F在射线 $C D$ 上，请解决下面两个问题：
①如图1，若 $∠ B C A = 90 °, α = 90 °$ ，则 $B E$ ______ $C F$ ； $E F$ _____ $|B E - A F|$ （填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）；
②如图2，若 $0 ° < ∠ B C A < 180 °$ ，请添加一个关于 $α$ 与 $∠ B C A$ 数量关系的条件_____，使①中的两个结论仍然成立，补全图形并证明．

(2)、如图3，若直线 $C D$ 在 $∠ B C A$ 的外部， $∠ B C A = α$ ，请用等式直接写出 $E F, B E, A F$ 三条线段的数量关系_____．（不要求证明）

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9、六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪刻度弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观察测点的地理坐标．请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论．
已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为 $S$ ，两个反射镜面位于 $A, B$ 两处， $B$ 处的镜面所在直线 $F B C$ 与 $0 °$ 刻度线 $A E$ 保持平行（即 $B C ∥ A E$ ），并与 $A$ 处的镜面所在直线 $N A$ 交于点 $C, S A$ 所在直线与水平线 $M B$ 交于点 $D$ ，六分仪上刻度线 $A C$ 与 $0 °$ 刻度线的夹角 $∠ E A C = ω$ ，观测角为 $∠ S D M$ ．（请注意小贴士中的信息）
求证： $∠ S D M = 2 ω$ ．
请完成对此结论的以下填空及后续证明过程．

(1)、证明：∵ $B C ∥ A E$
$∴ ∠ C = ∠ E A C$ $(__________)$
$∵ ∠ E A C = ω$
$∴ ∠ C = ω$ $(__________)$
$∵ ∠ S A N = ∠ C A D$ $(__________)$
又∵ $∠ B A C = ∠ S A N = α$ （小贴士已知）
$∴ ∠ B A D = ∠ B A C + ∠ C A D = 2 α$
∵ $∠ F B A$ 是 $△_____$ 的外角，
$∴ ∠ F B A = ∠ B A C + ∠ C$ ，即 $β = α + ω$ ．

(2)、补全后续证明过程．

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10、如图1是一个长为 $4 a$ 、宽为 $b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

(1)、图2中的阴影部分的面积为_______；（用a、b的代数式表示）

(2)、观察图2请你写出 ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 、 $a b$ 之间的等量关系是_______；

(3)、根据（2）中的结论，若 $x + y = 5 ， x y = \frac{9}{4}$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ ．

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11、如图，在矩形ABCD中， $A B = 8$ ， $B C = 4$ ，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在 $D'$ 处，求重叠部分 $△ A F C$ 的面积．

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12、如图，A，C，B三点在同一条直线上， $△ D A C$ 和 $△ E B C$ 都是等边三角形， $A E$ ， $B D$ 分别与 $C D$ ， $C E$ 交于点 $M$ ， $N$ ，有如下结论：① $△ A C E ≌ △ D C B$ ；② $∠ D A E = ∠ A B D$ ；③ $A C = D N$ ；④ $E M = B N$ 其中正确结论的是（填序号）．

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13、现有一架天平和 $5 g$ 的砝码，为了称出橡皮和钢笔的质量，数学小组进行了测量实验，并记录如下：
天平右边
天平左边
天平状态
记录1
4块橡皮+1个5g砝码
1支钢笔
平衡
记录2
9块橡皮
2支钢笔+1个5g砝码
平衡
已知橡皮和钢笔的规格分别相同．

(1)、分别求1块橡皮和1支钢笔的质量；

(2)、该小组准备设计一种书写套装，每套中橡皮和钢笔的总数量为30，且橡皮数量不超过钢笔数量的 $\frac{1}{2}$ ，求橡皮的数量最多有多少块．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点D，已知 $A B = 25$ ， $B C = 15$ ， $D B = 9$ ．

(1)、求 $A C$ ， $C D$ 的长；

(2)、求证： $△ A B C$ 是直角三角形．

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15、若关于 $x$ 的不等式 $x - 5 > \frac{x + 1}{2} - 1$ 的解都能使不等式 $x \geq \frac{m - 6}{3} - 2 x$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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16、已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 5 (x + a) < 6 x - 12 \\ 2 (x - 3) < 6 - 4 x \end{array}$ 无解，求 $a$ 的取值范围．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B$ 的平分线 $C D$ 交 $A B$ 于点D，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于点E，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点F．

(1)、若 $∠ B A C = 40 °$ ，求 $∠ B D C$ 的度数；

(2)、求证： $C D$ 垂直平分 $B E$ ．

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18、舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

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19、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，点 $A$ 的坐标为 $(2, 4)$ ，请你解答下列问题．

(1)、在坐标系中，画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在坐标系中，画出 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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20、解不等式组： $\{\begin{array}{l} x + 3 > 1 \\ 4 x - 1 \leq x + 3 \end{array}$ ，并写出该不等式组的所有整数解．

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	天平右边	天平左边	天平状态
记录1	4块橡皮+1个5g砝码	1支钢笔	平衡
记录2	9块橡皮	2支钢笔+1个5g砝码	平衡