相关试卷

1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是边 $A B$ 上的高， $\frac{A D}{C D} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{△ A C D}}{S_{△ A B C}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2、据国家广电总局发布，9月3日上午举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会：直播转播规模、收视人数、收视时长均创历史新高．纪念大会直播期间，全国网络视听平台直播收视逾19.2亿人次．数据19.2亿用科学记数法表示为（）

A、 $1.92 \times 10^{7}$ B、 $1.92 \times 10^{8}$ C、 $1.92 \times 10^{9}$ D、 $1.92 \times 10^{10}$

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3、已知，点 $A$ 是平面直角坐标系内的一点，将点 $A$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到点 $B$ ，经过 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点的二次函数的图象记为 $G$ ．
（1）若点 $A$ 的坐标为 $(1, 2)$ ．
①点 $B$ 的坐标为___________．
②求图象 $G$ 所对应的函数表达式．
（2）若点 $A$ 的坐标为 $(m, 2 m) (m \neq 0)$ ，图象 $G$ 所对应的函数表达式为 $y = a x^{2} + b x$ （ $a$ 、 $b$ 为常数， $a \neq 0$ ）．写出 $b$ 的值，并用含 $m$ 的代数式表示 $a$ ．（直接写出即可）
（3）在（2）的条件下，直线 $x = - 2$ 与图象 $G$ 交于点 $P$ ，直线 $x = 1$ 与图象 $G$ 交于点 $Q$ ．图象 $G$ 在 $P$ 、 $Q$ 之间的部分（包含 $P$ 、 $Q$ 两点）记为 $G_{1}$ ．
①当图象 $G$ 在 $- 2 \leq x \leq 1$ 上的函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而增大时，设图象 $G_{1}$ 的最高点的纵坐标为 $h_{1}$ ，最低点的纵坐标为 $h_{2}$ ，记 $h = h_{1} - h_{2}$ ，求 $h$ 的取值范围．
②连结 $P Q$ ，当 $P Q$ 与图象 $G_{1}$ 围成的封闭图形与 $x$ 轴交于点 $D$ （点 $D$ 不与坐标原点重合）．当 $O D \geq \frac{1}{2}$ 时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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4、如图，已知矩形ABCD， $A B = \sqrt{5}$ ， $B C = 6$ ．点P从B出发，以1/s的速度沿边BC运动，（点P不与点C重合），连接AP，作 $P E ⊥ A P$ ，交矩形ABCD的边于N，设点P的运动时间为 $t s (t > 0)$
（1） $t = \frac{1}{2}$ 时，则 $C N =$ ______________；
（2）若 $A P ⊥ B D$ ，求 $t$ 的值；
（3）当N在CD边上时，且 $\tan ∠ A N P = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $△ P C N$ 的面积；
（4）当N在CD边上时，直接写出 $t$ 的取值范围．

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5、已知反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M₁ ， M₂ ， M₃…，M_n ，则 $S_{Δ P_{1} M_{1} M_{2}} + S_{Δ P_{2} M_{2} M_{3}} + \dots + S_{Δ P_{n - 1} M_{n - 1} M_{n}}$ =

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6、如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（　　）

A、中位数31，众数是22 B、中位数是22，众数是31 C、中位数是26，众数是22 D、中位数是22，众数是26

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7、在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 $A B, C D$ 和一块含 $60 °$ 角的直角三角尺 $E F G (∠ E F G = 90 °, ∠ E G F = 60 °)$ ”为主题开展数学活动．

(1)、如图1，三角尺的 $60 °$ 角的顶点 $G$ 在 $C D$ 上． $∠ 2 = 40 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为________．

(2)、如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点 $E, G$ 分别放在 $A B$ 和 $C D$ 上，请你探索 $∠ A E F$ 与 $∠ F G C$ 之间的数量关系是_______．

(3)、如图3，小亮把三角尺的直角顶点 $F$ 放在 $C D$ 上， $30 °$ 角的顶点 $E$ 在 $A B$ 上．若 $∠ A E G = α$ ， $∠ D F G = β$ ，请直接写出 $∠ A E G$ 与 $∠ D F G$ 的数量关系（用含 $α, β$ 的式子表示）．

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8、如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为 $- \sqrt{2}$ ．设点B表示的数为m．

(1)、实数m的值为_______；

(2)、在数轴上还有 $C, D$ 两点分别表示实数c和d，且 $|2 c + 4|$ 与 $\sqrt{d - 4}$ 互为相反数．请计算 $\sqrt{2 c + 3 d} - \sqrt{3 d - 2 c} - \sqrt{8}$ 的值．

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9、完成下面的证明：
如图， $B E$ 平分 $∠ A B D$ ， $D E$ 平分 $∠ B D C$ ，且 $∠ α + ∠ β = 90 °$ ，求证 $A B ∥ C D$ ．
证明： $∵ B E$ 平分 $∠ A B D$ （已知），
$∴ ∠ A B D = 2 ∠ α$ （______），
$∵ D E$ 平分 $∠ B D C$ （已知），
$∴ ∠ B D C =$ ______（______），
$∴ ∠ A B D + ∠ B D C = 2 ∠ α + 2 ∠ β = 2 (∠ α + ∠ β)$ （______），
$∵ ∠ α + ∠ β = 90 °$ （已知），
$∴ ∠ A B D + ∠ B D C =$ ______（______），
$∴ A B ∥ C D$ （______）．

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10、如图， $∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = 50 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为．

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11、如图， $A B ∥ C D$ ，用含 $∠ 1$ ， $∠ 2$ ， $∠ 3$ 的式子表示 $∠ 4$ ，则 $∠ 4$ 的值为（）

A、 $∠ 1 + ∠ 2 - ∠ 3$ B、 $∠ 1 + ∠ 3 - ∠ 2$ C、 $180^{\circ} + ∠ 3 - ∠ 1 - ∠ 2$ D、 $∠ 2 + ∠ 3 - ∠ 1 - 180^{\circ}$

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12、如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 6$ 与抛物线 $y_{1} = - x^{2} + \frac{1}{2} t x + t - 2$ 相交y轴于点C，抛物线 $y_{1}$ 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线 $y_{2} = k x + 3$ 交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且 $O C = O N$ ．

（1）求抛物线 $y_{1}$ 的解析式与k的值；
（2）抛物线 $y_{1}$ 的对称轴交x轴于点D，连接 $A C$ ，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与 $△ A O C$ 相似，求出 $D E$ 的长；
（3）如图2，过抛物线 $y_{1}$ 上的动点G作 $G H ⊥ x$ 轴于点H，交直线 $y_{2} = k x + 3$ 于点Q，若点 $Q^{'}$ 是点Q关于直线 $M G$ 的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点 $Q^{'}$ 落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．

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13、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以 $A B$ 为直径的圆与竖直网格线相交于点 $A$ 和 $B$ ，点 $C$ 为圆上的点．

(1)、 $∠ A C B =$ ______（度）；

(2)、点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$ ，使 $B P$ 平分 $∠ A B D$ ，并简要说明点 $P$ 的位置是如何找到的（不要求证明，完成任务的画线不超过3条）______．

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14、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，点D在边 $A C$ 上，且 $C D = 2$ ．过点D作 $D E ∥ A B$ ，与边 $B C$ 相交于点E，连接 $B D$ ．线段 $C E$ 的长为；

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15、如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（）

A、 $m (\cos α - \sin α)$ B、 $m (\sin α - \cos α)$ C、 $m (\cos α - \tan α)$ D、 $\frac{m}{\sin α} - \frac{m}{\cos α}$

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16、实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（　　）

A、a B、b C、c D、d

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17、定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”．

(1)、①如图1，在四边形 $A B C D$ 中，若 $A B = A C = A D = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ，则四边形 $A B C D$ ______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）；
②如图1，若四边形 $A B C D$ 为“奋进四边形”， $A C$ 为“奋进线”，且 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $∠ C A D = 90 °$ 时，当 $△ A B C$ 为等腰三角形时， $C D$ 的长为______；

(2)、如图2，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A M B C$ 均为“奋进四边形”， $∠ C A D = 90 °$ ， $∠ B A M = 90 °$ ，对角线 $A C ， A B$ 分别为这两个四边形的“奋进线”，求证： $B D = C M$ ；

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 为“奋进四边形”， $A C$ 为“奋进线”，若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ C B A = 45 °$ ，当 $A C$ 为“奋进线”时，且 $A C$ 恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时 $B D$ 的长．

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18、根据以下素材，探究完成任务．

背景

红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线上平台购买了笔袋与书签等文创品作为奖品．

素材一

线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元；若买12个笔袋和12个书签共需324元．

素材二

2026年线上平台促销活动信息如下：

方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；

方式二：非会员所有商品打9折．

解决问题：

(1)、任务一：线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？

(2)、任务二：董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（

0 < m < 35

），若董老师按方式一购买，共需____________元；若董老师按方式二购买，共需____________元．（均用含m的代数式表示）

(3)、任务三：请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？

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19、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、基本尺规作图：作 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ．（保留作图痕迹，不写作法和结论）

(2)、若 $A C = 6 ， B C = 8 ， A B = 10$ ，求 $△ A D E$ 的周长．

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20、在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，平面直角坐标系， $△ A B C$ 的位置如图所示，先作 $△ A B C$ 关于原点O成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，再把 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向上平移4个单位长度得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(1)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$

(2)、 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A B C$ 关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是______；

(3)、 $P (a, b)$ 为线段 $A B$ 上一点，其线段 $A_{2} B_{2}$ 上的对应点坐标为______．

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