相关试卷

1、某校八年级同学中，有 $32$ 人参加数学竞赛，有 $27$ 人参加英语竞赛，有 $22$ 人参加作文竞赛，其中同时参加数学、英语两科的共 $12$ 人，同时参加英语、作文两科的共有 $14$ 人，同时参加数学、作文两科的共有 $10$ 人，已知参加竞赛的同学有 $\frac{5}{8}$ 的同学得了奖，那么得奖的同学共有人 $.$

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2、已知在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， P为直线 $A B$ 上一点，且 $B P = B C$ ，则 $C P$ 的长为．

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3、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{2 x + 5}{3} > x - 3 \\ \frac{3 x + 2}{4} < x + a \end{array}$ 只有3个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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4、牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设．

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5、如图1，在平面直角坐标系中，点 $C (0, 6)$ ，点B在x轴正半轴上，连接 $A C$ 、 $B C$ ， $O B = 4 O A$ ， $A B = B C = 10$ ．

(1)、点A的坐标为________，点B的坐标为________；

(2)、 $△ A B C$ 的面积为________；

(3)、动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿 $C \to B \to O$ 的方向运动．设运动时间为t秒．
①当点P在 $B O$ 上运动且使 $S_{△ C O P} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$ 时，求出此时点P的坐标；
②当 $△ O C P$ 是以 $O C$ 为腰的等腰三角形时，t的值为________．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 120 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $A B = 4 A E$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ，求 $△ B D E$ 的周长．

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7、如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 2, 2)$ ， $B (2, 0)$ ， $C (3, 3)$ ， $P (a, b)$ 是三角形 $A B C$ 的边 $A C$ 上的一点，把三角形 $A B C$ 经过平移后得到三角形 $D E F$ ，点P的对应点为 $P^{'} (a - 2, b - 4)$ ．

(1)、写出D，E，F三点的坐标；

(2)、画出三角形DEF；

(3)、求三角形DEF的面积．

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8、解下列不等式和不等式组，并把解集表示在数轴上．

(1)、 $2 x - 11 \geq 4 (x - 3) + 3$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 1 - 3 (x - 1) \leq x + 8 \\ 2 x - \frac{1 + 3 x}{2} < 1 \end{matrix}$ ．

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9、因式分解

(1)、 $x (x - y) + y (y - x)$ ；

(2)、 $4 {(a - b)}^{3} + 8 {(b - a)}^{2}$ ．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，若 $△ A B C$ 的面积是 $24 {cm}^{2}$ ， $A B = 12 c m$ ， $A C = 8 c m$ ，则 $D E$ 的长是 $c m$ ．

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11、已知不等式组 $\{\begin{array}{l} x < m \\ x - 8 > 4 x + 1 \end{array}$ 的解集是 $x < - 3$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > - 3$ B、 $m \geq - 3$ C、 $m = - 3$ D、 $m < - 3$

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12、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 是 $B C$ 上一点，且满足 $∠ B A P = 20 °$ ， $∠ P D C = 70 °$ ，若 $A P = 6$ ， $D P = 10$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $5$ B、 $7$ C、 $2 \sqrt{34}$ D、 $8$

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13、下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）．

A、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$ B、 $- 18 x^{4} y^{3} = - 2 x^{2} y \cdot 9 x^{2} y^{2}$ C、 $b^{2} - 6 b + 9 = b (b - 6) + 9$ D、 $x^{2} - 3 x - 4 = (x + 1) (x - 4)$

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14、窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案．下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图，三个天平的托盘中放置了正方体、球、圆锥三种形状的物体，形状相同的物体的质量均相等，图①、②所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图③中的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置球，则右盘中需放入球的个数为（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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16、【问题情境】
小颖在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为8的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习．
【探究感悟】
（1）如图1，在正方形 $A B C D$ 中，小颖在边 $A B$ 上取点 $E$ （ $E$ 不与 $A$ 、 $B$ 重合），连接 $D E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使得点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 恰好落到对角线 $B D$ 上，则此时线段 $A E$ 的长是________．
【深入探究】
（2）小颖继续将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，发现： $A_{1}$ ， $B$ ， $C$ 三点能构成等腰三角形．请求出此时线段 $A E$ 的长．
【拓展延伸】
（3）如图2，在正方形 $A B C D$ 中，小颖又在边 $C D$ 上取点 $F$ （ $F$ 不与 $C$ 、 $D$ 重合），并将四边形 $A D F E$ 沿 $E F$ 翻折，使得点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 恰好落在边 $B C$ 上，记 $A_{1} D_{1}$ （ $D_{1}$ 为 $D$ 的对应点）与 $C D$ 的交点为 $G$ ，连接 $A D_{1}$ ，小颖再次发现：线段 $E F$ 与 $A D_{1}$ 的长度之和存在最小值，请求出此时线段 $F G$ 的长．

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17、通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求 $x^{2} + 10 x - 39 = 0$ 正数解的过程：
①变形： $x^{2} + 10 x - 39 = 0$ 变形为 $x^{2} + 10 x = 39$ ；②构图：如图1，画一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为 ${(x + 5)}^{2}$ ，也可表示为四部分相加为 $x^{2} + 5 x + 5 x + 5^{2} = x^{2} + 10 x + 5^{2} = 39 + 25$ ，所以得到等量关系 ${(x + 5)}^{2} = 39 + 25 = 64$ ，因为x表示线段长为正数，所以 $x + 5 = 8$ ，即 $x = 3$ ．
【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程． $x^{2} + 6 x - 55 = 0$ 的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）．
【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程 $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 973$ 的解．
类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形：
需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块；
需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块；
请直接写出方程 $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 973$ 的解 $x =$ ________．

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18、综合与实践
【问题情景】
北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【猜想证明】
小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下：
设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则 $\{\begin{matrix} x + y = \frac{3}{2}, \\ x y = 1. \end{matrix}$ 消去y，化简得 $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ， $△ = 9 - 16 = - 7 < 0$ ，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．
类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在．
（1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？
【拓广延伸】
（2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由．

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19、为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．

【数据收集】

试验田玉米株高（cm）	对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56．	41，52，40，44，54，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．

【数据整理】

把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用h表示株高）

组别类型	$A (40 \leq h < 44)$	$B (44 \leq h < 48)$	$C (48 \leq h < 52)$	$D (52 \leq h < 56)$	$E (56 \leq h \leq 60)$
试验田玉米株频数	4	8	15	11	2
对照田玉米株频数	7	5	6	14	8

【数据描述】

根据频数分布表分别制作试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图．

（1）补全试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图．

【数据分析】

（2）已知此生长期的玉米株高h满足 $48 cm \leq h < 56 cm$ 为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）

（3）为了对比分析数据，研究人员打算从试验田分好的5组（A、B、C、D、E）中随机选择2组进行研究，假设每组选中的可能性相同，求恰好选中A和B两组的概率．

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20、如图，已知 $△ A B C$ ， $A C = 2$ ， $A B = 3$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图在 $△ A B C$ 内部作 $∠ A C D = ∠ B$ ，射线 $C D$ 交线段 $A B$ 于点D．

(2)、应用与证明：在（1）的条件下，求 $A D$ 的长．

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