相关试卷

1、阅读材料：把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m，n，满足 $m^{2} + n^{2} = x$ 且mn= $\sqrt{y},$ ，则可以把. $x \pm 2 \sqrt{y}$ 变成 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n = {(m \pm n)}^{2}$ 后进行开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简。
例如：化简： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} 。$
解： $∵ 3 + 2 \sqrt{2} = 1 + 2 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2},$
$∴ \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2} 。$
请你仿照上面的方法，化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} 。$

(2)、 $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} 。$

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2、阅读下面的解题过程，判断其是否正确。若不正确，请写出正确的解答过程。
已知m为实数，化简： $- \sqrt{- m^{3}} - m \sqrt{- \frac{1}{m}} 。$
解：原式 $= - m \sqrt{- m} - m \cdot \frac{1}{m} \sqrt{- m} = (- m - 1) \sqrt{- m} 。$

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3、阅读材料，解答问题。
例：若代数式 $\sqrt{{(2 - a)}^{2}} + \sqrt{{(a - 4)}^{2}}$ 的值是常数2，求a的取值范围。
分析：原式=|a-2|+|a-4|，而|a|表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，|a-2|表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析。
在数轴上看，讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间，还是在数4表示的点右边，分析可得a的取值范围应是2≤a≤4。
解：原式=|a-2|+|a-4|。

(1)、此例题的解答过程用到了哪些数学思想?请列举。

(2)、化简： $\sqrt{{(3 - a)}^{2}} + \sqrt{{(a - 7)}^{2}} 。$

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4、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} - (2 m + 4) x + m^{2} + 4 m = 0 。$

(1)、求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根。

(2)、设方程的两个实数根分别为x₁ ， x₂。
①求代数式. $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ 的最大值。
②若方程的一个根是6，x₁和x₂是一个等腰三角形的两条边的长，求该等腰三角形的周长。

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5、【综合与实践】
【问题情境】对于关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a，b，c为常数，且a≠0)，求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立。一般情况下，如果有两个不同的x的具体的值都满足，这就说明这个方程有两个不同的根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系。
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：（1）当a+b+c=0时，一元二次方程（ $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根是1。（2）当a+c=b时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根是-1。请判断两个结论的真假，并说明原因。
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程（ ${(2025 x)}^{2} - 2024 \times 2026 x - 1 = 0$ 的较大的根为p，方程. $x^{2} + 2025 x - 2026 = 0$ 的较小的根为q，求p-q的值。

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6、某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件。

(1)、若这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率。

(2)、2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件。为了减少库存，商场决定降价销售。经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元?

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7、小明同学用配方法推导一元二次方程（ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的求根公式时，对于 $b^{2} - 4 a c > 0$ 的情况，他是这样做的：
由于a≠0，方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 变形为 $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ ……第一步
$x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ……第二步
${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ……第三步
$x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (b^{2} - 4 a c⟩ 0)$ ……第四步
$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ……第五步

(1)、小明的解法从第步开始出现错误。

(2)、当 $b^{2} - 4 a c > 0$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的求根公式为。

(3)、用配方法解方程： $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0 。$

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8、如图，依靠一面长18m的墙，用34m长的篱笆围成一个长方形花圃ABCD，AB边上留有一扇2m宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围)。

(1)、设花圃的一边AD的长为x（m)，用含x的代数式表示另一边CD的长为m。

(2)、当花圃的面积为160m²时，求AD的长。

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9、如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”。下列关于“倍根方程”的说法：①方程、 $x^{2} - x - 2 = 0$ 是“倍根方程”；②若（x-2)（mx+n)=0是“倍根方程”，则 $4 m^{2} + 5 m n + n^{2} = 0;$ ③)若p，q满足pq=2，则关于x的方程 $p x^{2} + 3 x + q = 0$ 是“倍根方程”；④若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 是“倍根方程”，则必有 $2 b^{2} = 9 a c 。$ 。其中正确的有（填序号)。

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10、若关于x的一元二次方程（ $(a + 1) x^{2} + 4 x + a^{2} - 1 = 0$ 的一个根是0，则a=。

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11、已知关于x的一元二次方程； $m x^{2} - 2 (m + 2) x + m = （$ 有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，若x₁+) $x_{2} = 2 m,$ ，则m的值是。

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12、已知m是关于x的方程. $x^{2} - 2 x - 7 = 0$ 的一个根，则 $2 (m^{2} - 2 m) =$ 。

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13、方程x（2x-1)=2x-1的根为。

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14、将关于x的一元二次方程. $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q,$ 就可以将x²表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如. $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x - q) = \dots,$ 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式。根据“降次法”，已知 $x^{2} - x - 1 = 0,$ 且x>0，则. $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x$ 的值为（）。

A、 $1 - \sqrt{5}$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $1 + \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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15、为了提高社区居民对“垃圾分类”的知晓率，某街道工作人员用了两个月的时间在该社区加强了宣传，若社区的知晓人数的平均月增长率为m%，两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万人，现在的知晓人数为b万人，则（）。

A、b=（1+m%×2)a B、b=（1+m%)²a C、b=（1+m%)2a D、b=m%×2a

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16、用配方法解一元二次方程. $x^{2} + 3 = 4 x,$ 下列配方正确的是（）。

A、 ${(x + 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 7$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 1$

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17、如图，将一块长为40cm、宽为30cm的长方形硬纸板的四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600cm² ，设剪去小正方形的边长为x（cm)，则可列方程为（）。

A、（30-2x)（40-x)=600 B、（30-x)（40-x)=600 C、（30-x)（40-2x)=600 D、（30-2x)（40-2x)=600

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18、关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有下列说法：①若a≠0，则方程必定是一元二次方程；②若a=0，则方程必定是一元一次方程，那么上述说法中（）。

A、①②均正确 B、①②均错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

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19、下列关于一元二次方程的根的说法，正确的是（）。

A、方程. $x^{2} + x - 2 = 0$ 有一个根为-1 B、方程. $x^{2} + x = 0$ 有一个根为1 C、方程. $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 有两个不相等的实数根 D、方程. $x^{2} + 4 = 0$ 有两个实数根，并且这两个根互为相反数

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20、利用求根公式求 $5 x^{2} + \frac{1}{2} = 6 x$ 的根时，其中a=5，则b，c的值分别是（ )。

A、 $\frac{1}{2}$ ， 6 B、6， $\frac{1}{2}$ C、-6， $\frac{1}{2}$ D、-6， $\frac{1}{2}$

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