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1、如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 $2 m$ 时，水面宽 $4 m$ ，当水面宽度为 $4 \sqrt{3}$ 时，水面下降了．

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2、下列两个电子数字成中心对称的是．（填序号）

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3、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $y$ 轴的交点在 $(0, 1)$ 与 $(0, 2)$ 之间，对称轴为 $x = - 1$ ，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：① $b = 2 a$ ；② $- 3 < a < - 2$ ；③ $4 a c - b^{2} < 0$ ；④若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + a = m - 4 (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根，则 $m > 4$ ；⑤当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C A B = 30 °$ ， $B C = 1 .$ 将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ，点 $B_{1}$ 恰好落在 $A B$ 边上，连接 $A A_{1}$ ，取 $A A_{1}$ 的中点 $D$ ，连接 $B_{1} D$ ，则 $B_{1} D$ 的长是（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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5、对于二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是直线 $x = - 1$ C、当 $x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、函数的最大值为4

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6、一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的两根为 $- 1$ 和3，则 $n$ 的值是（）

A、－3 B、3 C、－2 D、2

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7、抛物线 $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1, - 3)$ B、 $(- 1, - 3)$ C、 $(2, - 3)$ D、 $(- 2, - 3)$

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8、已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与x轴正方向的夹角为150°．
（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ，求证： $B C = C D$ ．

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10、（1）先化简，再求值： $(a^{2} b - 2 a b^{2} - b^{3}) \div b - (a + b) (a - b)$ ，其中 $a = \frac{1}{2}, b = - 1$ ．
（2）已知 $x^{m} = 3, x^{n} = 2$ ，求 $x^{3 m + 2 n}$ 的值．
（3）已知 ${(x + y)}^{2} = 6, {(x - y)}^{2} = 2$ ，求下列各式的值：
① $x^{2} + y^{2}$ ；
② $x y$ ．

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11、如图，已知△ABC，点P为BC上一点．

(1)、尺规作图：作直线 $E F$ ，使得点A与点P关于直线 $E F$ 对称，直线 $E F$ 交直线 $A C$ 于 E，交直线 $A B$ 于F；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、连接 $P E$ ， $A P$ ， $A P$ 交 $E F$ 于点O，若 $A P$ 平分 $∠ B A C$ ，请在（1）的基础上说明 $P E = A F$ ．

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12、计算：

(1)、 $3 x^{2} y \cdot (- 2 x y^{3})$

(2)、 $(- 2 a^{2}) (3 a b^{2} - 5 a b^{3})$

(3)、 $(3 + 2 a) (- 3 + 2 a)$

(4)、 ${(2 a + b - c)}^{2}$

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13、如图，边长为 $2 a$ 的等边 $△ A B C$ 中， $B F$ 是 $A C$ 上的中线，且 $B F = b$ ，点D在 $B F$ 上，连接 $A D$ ，在 $A D$ 的右侧作等边 $△ A D E$ ，连接 $E F$ ，则 $△ A E F$ 周长的最小值是（用含a，b的式子表示）．

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14、已知 $a b^{2} = - 3$ ，则 $- a b (- a b^{3} - b)$ 的值是．

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15、计算： $a - b - c + d = a -$ （）．

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16、已知：如图， $B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $B D = B C, E$ 为 $B D$ 延长线上的一点， $B E = B A$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥ A B, F$ 为垂足，下列结论：① $△ A B D ≌ △ E B C$ ；② $∠ B C E + ∠ B C D = 180 °$ ；③ $A D = E F = E C$ ；④ $B A + B C = 2 B F$ ，其中正确的结论有（）个

A、4 B、3 C、2 D、1

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17、计算 ${(\frac{2}{3})}^{2023} \times {1.5}^{2022} \times {(- 1)}^{2021}$ 的结果是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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18、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于 $D$ ，交 $A C$ 于 $E$ ， $D E = 2$ ，则 $B C =$ （）

A、8 B、10 C、12 D、15

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19、在平面直角坐标系中， $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5$ 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 $x = t$ ．

(1)、若 $M (- 2, 15)$ ， $N (3, 5)$ ，求 $t$ 的值；

(2)、求证：当点 $M$ ， $N$ 的坐标是 $M (- m, 0)$ ， $N (3 m, 0)$ 时， $3 b^{2} - 20 a = 0$ ；

(3)、若对于任意 $x_{1}, x_{2} (0 < x_{1} < 1, 1 < x_{2} < 2)$ ，都有 $y_{1} > y_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = B C$ ，连接 $B D$ ，过点 $D$ 的直线与 $C A$ 的延长线交于点 $E$ ，且 $∠ E D A = ∠ E C D$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、以下与线段 $A D$ ，线段 $C D$ ，线段 $B D$ 有关的三个结论：① $A D + C D = B D$ ， ② $A D + C D = \sqrt{2} B D$ ， ③ $A D + C D = \sqrt{3} B D$ ，你认为哪个正确？请说明理由．

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