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1、对于二次函数 $y = x^{2} - 4 x - 1$ 的图象，下列叙述正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴为直线 $x = 2$ C、顶点坐标为 $(- 2, - 5)$ D、当 $x > 2$ 时，y随x增大而减小

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2、阅读下列材料：如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．求证： $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ ．
证明：过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ．
$∵ \sin A = \frac{C D}{b}, \sin B = \frac{C D}{a},$ $∴ C D = b \sin A, C D = a \sin B,$
$∴ b \sin A = a \sin B,$ $∴ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} .$
根据上面的材料解决下列问题：

(1)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．求证： $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C};$

(2)、为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知 $∠ A = 67 °, ∠ B = 53 °, A C = 160$ 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8, \sin 67 ° \approx 0.9)$

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中，以 $A B$ 的中点 $O$ 为圆心，以 $O A$ 为半径作半圆，连接 $O D$ 交半圆 $O$ 于点 $E$ ，在 $\overset{⌢}{B E}$ 上取点 $F$ ，使 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{E F}$ ，连接 $B F, D F$ ．

(1)、求证： $D F$ 与半圆 $O$ 相切；

(2)、如果 $A B = 8, A D = 2 \sqrt{6}$ ，求 $B F$ 的长．

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4、自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 $A B = 200$ 米，坡度为 $1 : \sqrt{3}$ ；斜坡 $A B$ 改造为斜坡 $C D$ ，斜坡 $C D = 260$ 米，其坡度为 $1 : 3$ ．求斜坡 $A B$ 下降的高度 $A C$ ．（结果保留根号）

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5、已知：如图， $⊙ O$ 的弦 $A B, C D$ 的延长线相交于点 $P$ ，且 $A B = C D$ ．求证：点 $O$ 在 $∠ P$ 的平分线上．

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6、如图， $C D$ 是 $Rt △ A B C$ 的斜边 $A B$ 上的高，若 $A D = 5, A B = 15$ ，求 $A C$ 的长．

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7、在如图的方格纸中， $△ O A B$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0), A (- 2, - 1)$ ， $B (- 1, - 3)$ ， $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ 与 $△ O A B$ 是以点 $P$ 为位似中心的位似图形．

(1)、在图中标出位似中心点 $P$ 的位置并直接写出点 $P$ 的坐标为， $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ 与 $△ O A B$ 的相似比为．

(2)、 $△ O A B$ 的内部一点 $M$ 的坐标为 $(a, b)$ ，直接写出点 $M$ 在 $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ 中的对应点 $M_{1}$ 的坐标为．

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8、计算：

(1)、 $\tan^{2} 60 ° - 2 \cos 60 ° - \sqrt{2} \cos 45 °$ ；

(2)、 $2 \sin 60 ° + 2 \cos 30 ° \cdot \tan 30 ° - 2 \sin^{2} 45 °$ ．

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9、如图，轮船在 $A$ 处观测灯塔 $C$ 位于北偏西 $70 °$ 方向上，轮船从 $A$ 处以每小时 $20$ 海里的速度沿南偏西 $50 °$ 方向匀速航行， $3$ 小时后到达码头 $B$ 处，此时，观测灯塔 $C$ 位于北偏西 $25 °$ 方向上，则灯塔 $C$ 与码头 $B$ 的距离是海里．（结果保留根号）

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10、如图， $△ A B C$ 的面积是 $54 {cm}^{2}$ ，它被一平行于 $B C$ 的矩形所截， $A B$ 被截成等份，则图中阴影部分的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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11、已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，且 $A B = \sqrt{2}, ⊙ O$ 的半径为 $1$ ，则 $∠ C$ 的度数为．

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12、如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $P$ 为 $B C$ 上一点， $D$ 为 $A C$ 上一点，且 $∠ A P D = 60 °$ ， $B P = 6$ ， $C D = 4$ ，则 $\frac{D P}{A P}$ 的值为．

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13、如果两个相似多边形面积的比为1：4，则它们的相似比为．

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14、如图， $⊙ O$ 的半径为1，动点 $P$ 从点 $A$ 处沿圆周以每秒 $45 °$ 圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点 $P$ 位于如图所示位置，第2秒点 $P$ 位于点 $C$ 的位置……则第2023秒点 $P$ 所在的位置为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(0, - 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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15、如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 5, B C = 3$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠到 $△ B E D$ 的位置， $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $\tan ∠ A D F$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\frac{8}{17}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{15}{17}$

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16、如图， $A B, C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，延长 $A B, C D$ 相交于点 $P$ ．已知 $\overset{⌢}{B D}$ 的度数为 $20 °$ ， $\overset{⌢}{A C}$ 的度数为 $80 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $25 °$ C、 $20 °$ D、 $35 °$

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17、如图， $△ A B C$ 的内切圆 $⊙ O$ 与各边分别相切于点 $D, E, F$ ，则点 $O$ 是 $△ D E F$ 的（）

A、重心 B、内心 C、外心 D、以上选项都不正确

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18、已知 $⊙ O$ 的半径为 $5 cm$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上．若 $O P = 6 cm$ ，则直线 $l$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相离或相切 D、相离或相切或相交

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19、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B D = 5$ ，若 $\frac{E F}{F C} = \frac{1}{4}$ ，则线段 $A E$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、4

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20、如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 与弦 $C D$ （不是直径）交于点 $E$ ，若 $E$ 为 $C D$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{A D}$ B、 $O E = B E$ C、 $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{B D}$ D、 $A B ⊥ C D$

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