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1、【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了 $\tan 15 °$ 的值．如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 15 °$ ，作线段 $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ，则 $B D = A D$ ， $∠ B A D = ∠ B = 15 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ ．设 $A C = k$ ，则 $B D = A D = 2 k$ ， $D C = \sqrt{{(2 k)}^{2} - k^{2}} = \sqrt{3} k$ ， $\tan B = \tan 15 ° = \frac{A C}{B C} = \frac{k}{2 k + \sqrt{3} k} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出 $tan 22.5 ° =$ ______________．
（2）如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，设 $∠ B = α$ ， $tan α = \frac{3}{4}$ ，由上述小明思路的启发，你能算出 $tan \frac{α}{2} =$ _____________． $tan 2 α =$ _______________．
【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树 $A B$ 的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为 $α$ ， $tan α = \frac{3}{4}$ ．然后她向后退到 $D_{1}$ 处，测得此时的仰角为 $\frac{α}{2}$ ，接着，她向前移动到 $D_{2}$ 处，测得此时的仰角变为 $2 α$ ．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点 $C 、 C_{1} 、 C_{2}$ 共线且与地面 $D B$ 平行），若小红眼睛到地面的距离为 $1.6$ 米（即 $C D = C_{1} D_{1} = C_{2} D_{2} = 1.6$ 米），后退与前进的距离之和为21米（即 $C C_{1} + C_{1} C_{2} = 21$ 米），请求出这棵树 $A B$ 的高度．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $B E = A E = A C = 10$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $sin B$ 的值．

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3、计算：

(1)、 $2 cos 60 ° - 2 sin 45 ° - sin 30 °$ ；

(2)、 ${cos}^{2} 45 ° - tan 60 ° tan 30 ° + |sin 60 ° - 1| - {(- tan 45 °)}^{2025}$ ．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 21, \tan B = \frac{4}{3}$ ，点D在 $A B$ 边上且满足 $B D = \frac{10}{21} A B$ ，点E在 $B C$ 边上，将 $△ B D E$ 沿线段 $D E$ 折叠至 $△ F D E$ ，若 $E F ∥ D C$ ，则 $B E =$ ．

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5、如图，抛物线 $y = a x^{2} - 6 a x + 7 (a < 0)$ 交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段 $B P ⊥ y$ 轴交抛物线于点 $C$ ， $P C = \frac{2}{3} B C$ ，则 $△ A B P$ 的面积是．

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6、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + 1 (a \neq 0)$ 的图象过正方形 $A B O C$ 的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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7、已知点 $A (- 2, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ ， $C (6, y_{3})$ 都在二次函数 $y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ 的图像上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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8、已知 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，那么下列各式中正确的是（）

A、 $\sin B = \frac{3}{4}$ B、 $\cos B = \frac{3}{4}$ C、 $\tan B = \frac{4}{3}$ D、 $\tan B = \frac{3}{4}$

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9、已知 $α$ 是锐角，且 $cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $tan α$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、如图，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 分别与x轴、y轴交于B点和A点，点C在线段 $O B$ 上，沿着直线 $A C$ 对折，使点O落在直线 $A B$ 上．

(1)、点B的坐标为______；直线 $A C$ 的表达式为______．

(2)、点P在线段 $C B$ 上，过点P作x轴的垂线分别交直线 $A B$ 和直线 $A C$ 于点M、N，若 $S_{△ A M N} = 10$ ，求出点P的坐标．

(3)、是否存在等腰直角三角形 $△ O D E$ ，使直角顶点D在直线 $A C$ 上，同时点E在直线 $A B$ 上，如果存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

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11、如图，分别以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 和边 $A C$ 向外作等边三角形 $△ A B D$ ， $△ A C E$ ，连接 $C D$ 和 $B E$ ．

(1)、求证： $△ A D C ≌ △ A B E$ ；

(2)、若 $A B = 5$ ， $B C = 2 \sqrt{6}$ ， $B E = 7$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．

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12、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 2, 3)$ ， $B (- 3, 2)$ ， $C (- 1, 1)$ ．
请按要求完成下列各题：

(1)、将 $△ A B C$ 向右平移7个单位，请画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标______；

(2)、在图中画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标______；

(3)、观察可知 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标______；

(4)、在x轴上找一点P，使 $P B + P C$ 最短，则P点坐标为______．

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13、解二元一次方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} y = 3 x - 1 ① \\ 2 x - y = - 3 ② \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} \frac{x + 2}{3} - y = 0 ① \\ 5 x + 3 y = 5 ② \end{matrix}$

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14、计算：

(1)、 $\sqrt{25} + {(π - \sqrt{3})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 3}$

(2)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) + |3 - \sqrt{12}|$

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15、若 $\{\begin{array}{l} x = a \\ y = b \end{array}$ 是二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = - \frac{2}{3} \\ 2 x + 3 y = \frac{1}{3} \end{array}$ 的解，则 $2 a - 2 b + 2025 =$ ．

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16、若函数 $y = 2 x + 3 - 5 a$ 是正比例函数，则 $a =$ ．

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17、如图， $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} A_{4} A_{5}$ ， $△ A_{5} A_{6} A_{7}$ ， …，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $A_{1} (2, 0)$ ， $A_{2} (1, 1)$ ， $A_{3} (0, 0)$ ，则依图中所示规律， $A_{2025}$ 的坐标为（）

A、 $(1010, 0)$ B、 $(1012, 0)$ C、 $(1014, 0)$ D、 $(1016, 0)$

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18、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（）．

A、64 B、16 C、8 D、4

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19、数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示 $- 2$ 和5两点间的距离是7；
一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为 $|a - b|$ ；
运用：

(1)、若 $|a - 2| = 3$ ，则a的值为________；

(2)、若数轴上表示数a的点位于 $- 5$ 与2之间，则 $|a - 2| + |a + 5| =$ ________．

(3)、若代数式 $|a - 2| + |a + 5| = 17$ ，求a的值．

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20、计算题：

(1)、 $- 20 + (- 14) - (- 18)$ ；

(2)、 $- 1^{4} - 8 \div (- 4) \times |- 6 + 4|$ ．

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