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1、如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 在第二象限内图象上一点，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 在第一象限内图象上一点，直线AB与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $A C = B C$ ，连接OA，~OB，则 $△ A O B$ 的面积是（）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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2、如图，在第二象限的双曲线 $y = - \frac{32}{x}$ 上有一点 $A$ ，过 $A$ 作AB $/ / x$ 轴交第二象限的另一条双曲线 $y = - \frac{12}{x}$ 于点 $B$ ，连接OA，OB，则 $△ A O B$ 的面积为．

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3、如图， $⊙ C$ 在平面直角坐标系第一象限内，同时与 $X$ 轴， $y$ 轴相切，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $⊙ C$ 相交于点 $A, B, ∠ A C B = 9 0^{°}$ ，扇形CAB的面积等于 $\frac{π}{4}$ ，则 $k =$

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4、如图在反比例函数 $y = - \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上有三点 $P_{1}$ ， $P_{2}, P_{3}$ ，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作 $x$ 轴， $y$ 轴的垂线，设图中阴影部分面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} =$ ．

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5、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上的一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 在 $y$ 的负半轴上，连接AC，BC，若 $△ A B C$ 的面积为3，则 $k$ 的值为．

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6、如图，在 $△ A O B$ 中， $∠ A B O = 9 0^{°}, \frac{A B}{O B} = 2$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限的图象分别交OA、AB于点C、D，且 $S_{△ B D} = 2$ ，则 $C$ 的坐标为（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(\sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})$

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7、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象在第一象限上的一点，连接OA并延长使 $A B = O A$ ，过点 $B$ 作 $B C / / x$ 轴，交反比例函数图象于点 $C$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ．连接AC，且 $△ A B C$ 的面积为2，则 $k$ 的值为．

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8、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC，~OA分别在 $x$ 轴， $y$ 轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 分别与边AB，边BC相交于点 $E$ ，点 $F$ ，且点 $E$ ，点 $F$ 分别为AB，~BC边的中点，连接EF．若 $△ B E F$ 的面积为3，则 $k$ 的值是．

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9、如图，点A、B在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．

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10、我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ， B两点）作x轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x轴上的“足距”，记作 $\bar{A B}$ ．根据该约定，完成下列各题

(1)、若点 $A (x_{1}, 6), B (x_{2}, - 4)$ ．当点A、B在函数 $y = 2 x$ 的图象上时， $\bar{A B} =$ ；当点A，B在函数 $y = - \frac{24}{x}$ 的图象上时， $\bar{A B} =$ ．

(2)、若反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x} (k \neq 1)$ 的图象上有两点 $A (x_{1}, k), B (x_{2}, k^{2} - k)$ ，当 $\bar{A B} =$ $k$ 时，求整数 $k$ 的值．

(3)、抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A_{1}, B_{1}$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．如图，点 $D$ 是该抛物线的顶点，点 $P (m, n)$ 是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接 $A_{1} D 、 A_{1} C 、 A_{1} P$ ，当 $∠ P A_{1} B_{1} = 2 ∠ C A_{1} D$ 时，求 $m$ 的值．

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11、如果一个自然数 $M$ 的个位数字不为0，且能分解成 $A \times B$ ，其中 $A$ 与 $B$ 都是两位数， $A$ 与 $B$ 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数 $M$ 为＂合和数＂，并把数 $M$ 分解成 $M = A \times B$ 的过程，称为＂合分解＂．
例如 $∵ 609 = 21 \times 29, 21$ 和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
$∴ 609$ 是＂合和数＂．
又如 $∵ 234 = 18 \times 13, 18$ 和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
$∴ 234$ 不是＂合和数＂．

(1)、判断168，621是否是＂合和数＂？并说明理由；

(2)、把一个四位＂合和数＂ $M$ 进行＂合分解＂，即 $M = A \times B . A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的和记为 $P (M); A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的差的绝对值记为 $Q (M)$ ．令 $G (M) = \frac{P (M)}{Q (M)}$ ，当 $G (M)$ 能被4整除时，求出所有满足条件的 $M$ ．

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12、在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦AB^'^' ， (AB^'^'分别为点A，B的对应点），线段AA^'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

(1)、如图，平移线段AB到 $⊙ O$ 的长度为1的弦 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{3} P_{4}$ ，则这两条弦的位置关系是；在点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ 中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到 $⊙ O$ 的＂平移距离＂；

(2)、若点 $A, B$ 都在直线 $y = \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ 上，记线段AB到 $⊙ O$ 的＂平移距离＂为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

(3)、若点A的坐标为 $(2, \frac{3}{2})$ ，记线段AB到 $⊙ O$ 的＂平移距离＂为 $d_{2}$ ，直接写出 $d_{2}$ 的取值

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13、问题提出：如图①，已知直线l与线段AB平行，试只用直尺作出AB的中点．
初步探索：如图②，在直线l的上方取一个点E，连接EA、EB，分别与l交于点M、N，连接MB、NA，交于点D，再连接ED并延长交AB于点C，则C就是线段AB的中点．
推理验证，利用图形相似的知识，我们可以推理验证AC=CB．

(1)、若线段a、b、c、d长度均不为0，则由下列比例式中，一定可以得出b=d的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a}{d}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{d}{a}$ D、 $\frac{a}{c} = \frac{d}{b}$

(2)、由MN∥AB，可以推出△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，△FND∽△CAD．所以，有 $\frac{F N}{C B} = \frac{()}{()} = \frac{M N}{A B} = \frac{()}{()} = \frac{F N}{A C}$
所以，AC=CB．

(3)、拓展研究，如图③，△ABC中，D是BC的中点，点P在AB上．
在图③中只用直尺作直线l∥BC．

(4)、求证：l∥BC

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14、如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy

(1)、已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）= ， d（∠xOy，B）= ．

(2)、若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形

(3)、如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线0T的函数关系式为 $y = \frac{4}{3} x (x ⩾ 0)$ ．
①在图3中，点 $C$ 的坐标为 $(4, 1)$ ，试求 $d (∠ x 0 T, C)$ 的值；
②在图4中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{5}{2}$ 经过 $A (5, 0)$ 与点 $D (3, 4)$ 两点，点 $Q$ 是A，D两点之间的抛物线上的动点（点 $Q$ 可与A，D两点重合），求当 $d (∠ x 0 T, Q)$ 取最大值时点 $Q$ 的坐标．

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15、将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB^'C^' ，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．

(1)、如图①，对△ABC作变换[60°， $\sqrt{3}$ ]得△AB^'C^' ，则S△AB^'C^'：S△ABC=；
直线BC与直线B^'C^'所夹的锐角为度；

(2)、如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC
作变换[θ，n]得△AB^'C^' ，使点B、C、C^'在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；

(3)、如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB^'C^' ，使点B、C、B^'在同一直线上，且四边形ABB^'C^'为平行四边形，求θ和n的值

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16、我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．

(1)、等边三角形“内似线”的条数为；

(2)、如图，△ABC中，AB＝AC ，点D在AC上，且AD＝BD＝BC ，求证：BD是△ABC的“内似线”；

(3)、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．（松泉巫小斌供）

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17、在初中函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．小涵根据已学知识对函数 $y = {\begin{array}{l} - 2 x - 3, (x \leq 0) \\ \frac{x^{2} + 4}{x} + a, (x > 0) \end{array}$ 的图象与性质进行了探究，其探究过程中列表如下：

(1)、请写出a ， b的值；

(2)、在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；

(3)、结合你所画的函数图象，直接写出y≥3时自变量x的取值范围.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
b
-1
-3
3
2
$\frac{7}{3}$
3
…

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18、2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 $π$ 精确到小数点后第七位的人，他给出 $π$ 的两个分数形式： $\frac{22}{7}$ （约率）和 $\frac{355}{113}$ （密率）．同时期数学家何承天发明的＂调日法＂是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $x$ 的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ （即有 $\frac{b}{a} < x < \frac{d}{c}$ ，其中 $a, b, c, d$ 为正整数），则 $\frac{b + d}{a + c}$ 是x的更为精确的近似值．例如：已知 $\frac{157}{50} < π < \frac{22}{7}$ ，则利用一次＂调日法＂后可得到 $π$ 的一个更为精确的近似分数为： $\frac{157 + 22}{50 + 7} = \frac{179}{57}$ ；由于 $\frac{179}{57}$ $\approx 3.1404 < π$ ，再由 $\frac{179}{57} < π <$ $\frac{22}{7}$ ，可以再次使用＂调日法＂得到 $π$ 的更为精确的近似分数 $⋯$ 现已知 $\frac{7}{5} < \sqrt{2} < \frac{3}{2}$ ，则使用两次＂调日法＂可得到 $\sqrt{2}$ 的近似分数为．

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19、在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段 $B C = 2$ ，使用作图工具作 $∠ B A C = 3 0^{°}$ ，尝试操作后思考：（1）这样的点 $A$ 唯一吗？（2）点 $A$ 的位置有什么特征？你有什么感悟？
＂追梦＂学习小组通过操作，观察，讨论后汇报：点 $A$ 的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B，C除外）， $⋯$ ．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

(1)、小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为；
② $△ A B C$ 面积的最大值为；

(2)、经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 $A^{^{'}}$ ，请你利用图1证明 $∠ B A^{^{'}} C > 3 0^{°}$ ．

(3)、请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长 $A B = 2, B C = 3$ ，点 $P$ 在直线CD的左侧，且 $t a n ∠ D P C = \frac{4}{3}$ ．
①线段PB长的最小值为；
②若 $S_{△ P C D} = \frac{2}{3} S_{△ P A D}$ ，则线段PD长为．

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20、如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为＂果圆＂，已知点A，~B，~C，~D分别是＂果圆＂与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 $y = x^{2}$ $- 4 x - 12, A B$ 为半圆的直径，则这个＂果圆＂被 $y$ 轴截得的弦CD的长为．

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